2.1.2. Несимметричный «c-l» фвч.

Для «C-L» ФВЧ, представленного на рис. 7.4.б., в соответствии со вторым законом Кирхгофа, для режима холостого хода вторичных зажимов «pq» можно записать следующие соотношения:

(9)

где в режиме холостого хода: I₁(Р) = I₂(Р).

Выражая из второго уравнения системы (9) ток I₁(Р) и подставляя его значение в первое уравнение системы (9), получим:

(10)

Откуда коэффициент передачи ФВЧ для «L-C» структуры:

(11)

Заменяя в (11) (в случае гармонических сигналов) Р нa jω, получим:

(12)

Из анализа (12) следует, что:

1. При частотах сигналов ω>>ω₀= , модуль коэффициента передачи ФВЧ: К(ω) = 1, что соответствует зоне прозрачности (α=0).

2. При частотах сигналов ω<<ω₀= , модуль коэффициента передачи ФВЧ оказывается мнимым:

что соответствует зоне затухания, т.е. α≠О.

3. При частоте сигнала ω=ω₀= , модуль коэффициента передачи ФВЧ: К(ω) =∞, что соответствует частоте среза.

К числу важнейших параметров ФВЧ наряду с характеристической постоянной gc относятся характеристическое сопротивление Zc. Особый интерес представляет его зависимость в функ­ции частоты. Так, для Т- и П-образных схем ФВЧ эти зависимости представлены на рис. 7.6, а аналитические соотношения имеют вид:

(13)

где: Х₁=1/ωС₁-сопротивление последовательного звена фильтра; а Х₂=ωL₂-сопротивление параллельного звена фильтра.

Рисунок 7.6. Зависимость характеристического

Сопротивления реактивного фвч от частоты.

Также как и у фильтра низкой частоты, у ФВЧ в зоне прозрачности Zc должно иметь чисто активный характер и ориентировочно может определяться как:

. (14)

Если рассматривать фильтр как ЧП, то в зоне прозрачности фильтр должен быть согласован с нагрузкой, а это значит, что его характеристическое сопротивление должно быть равно по мо­дулю сопротивлению нагрузки хотя бы на какой-то одной частоте из зоны прозрачности:

. (15)

Тогда, используя положение (15), для заданной частоты среза ω_С и заданного ZН, можно рассчитать ориентировочные значения «C-L» параметров ФВЧ:

(16)

2.2. Фвч как дифференцирующее звено.

Для полной характеристики фильтров необходимо знать какими свойствами обладают ФВЧ в крайних режимах.

2.2.1. C-R ФВЧ как дифференцирующее звено.

Для «C-R» ФВЧ, представленного на рис. 7.4.а. ранее были получены соотношения (2):

(17)

Для упрощения рассуждений примем, что сопротивления звеньев фильтра выбраны из усло­вия:

. (18)

В этом случае второй составляющей I₁(p)R первого уравнения системы (17) можно пренеб­речь, тогда из первого уравнения найдем ток I₁(p):

I₁(p) = pCU₁(p), (19)

и подставим (19) во второе уравнение системы (17);

U₂(p) = pRCU₁(p) =rcpU₁(p), (20)

Где = RC - постоянная времени C÷R цепи.

Из операторного метода расчета переходных процессов известно, что умножение «изобра­жения» или операторной функции «U₁(p)» на оператор «p» соответствует операции дифферен­цирования «оригинала» или временной функции U₁(p). Тогда, переходя от операторных функ­ций в (20) к временным функциям, получим:

(21)

На рис. 7.7.а и 7.7.б представлены формы входного сигнала U₁(t) и выходного U₂(t), полу­ченного из условия (18).

Здесь в соответствии с (18) С—>0 и R—>0, следовательно = RC—>0 безусловно, но в этом случае выходной сигнал ФВЧ U₂(t) согласно (24) буде определяться как дифференциал от входного сигнала и будет очень мал по величине.

Рисунок 7.7. Формы входного u₁(t) и выходного u₂(t) сигналов «C-R» ФВЧ при различных соот­ношениях f_сигн и f_среза.

Если учесть при этом, что согласно (18) длительность сигнала оказывается много меньше постоянной времени (t_сиг./ ) 0.1, то частота среза сигнала f_сиг = 1/t_сиг будет во много раз меньше частоты среза fcp = 1/ , а это значит, что сигнал попадет в зону затухания ФВЧ чем и объясняется его существенное ослабление по амплитуде и изменение по форме (рис. 7.7.б.).

Если изменить условие (18) и принять, что:

1/pC = R; (22)

то из первого уравнения системы (20) получим ток I₁(p):

. (23)

Подставляя (23) во второе уравнение системы (17), найдем выходной сигнал «C-R» ФВЧ:

. (24)

Иначе выражение (24) можно представить как

U₂(p)=F₁(p)pU₁(p), (25)

где оригинал для F₁(p) = 1/(p+x) легко определяется согласно «табличного» варианта пере­хода от изображений к оригиналам:

. (26)

Тогда, переходя от операторной функции (25) к временной, с учетом (26), получим выход­ной сигнал в виде:

. (27)

На рис. 7.7.в. представлена форма выходного сигнала, построенного в соответствии с (27). Если изменить условие (22) и принять, что

, (28)

то из первого уравнения системы (2) получим ток

I1(P)=U1(P)/R. (29)

Подставляя (29) во второе уравнение системы (17), найдем выходной сигнал «C-R» ФВЧ:

U₂(P) = U₁(P) ;

или (30)

u₂(t) = u₁(t).

А это значит, что при (t _сиг/ ) 0.1, частота сигнала f_сиг = 1/t_сиг>>f_среза = 1/τс, т.е. он попадает в зону прозрачности ФВЧ и пропускается в нагрузку практически без искажения (рис. 7.7.г).

2.2.2. С-L ФВЧ как дифференцирующее звено.

Для «C-L» ФВЧ, представленного на рис. 7.4.б. ранее были получены соотношения (9):

(31)

Подобно случаю с «C-R» ФВЧ примем, что сопротивления звеньев «L-C» фильтра выбраны из условия:

. (32)

В этом случае падение напряжения I₁(p)pL в сравнении с I₁(p)/pС можно пренебречь, тогда из первого уравнения системы (31) найдем ток I₁(p):

I₁(p)=pCU₁(p). (33)

Подставляя (33) во второе уравнение системы (31), получим:

U₂(p)=p²LCU₁(p). (34)

Переходя от операторной функции в (34) к временной функции u₂(t), получим:

. (35)

Последнее соотношение означает, что при выполнении условия (32) выходной сигнал по­лучается в результате двойного дифференцирования входного сигнала u₁(t), но также, как и в случае «C-R» ФВЧ он будет мал по величине, т.к. сигнал попадает в зону затухания фильтра (f_сиг <<f_среза).

Если изменить условие (32) и принять, что

1/pC=pL, (36)

то из первого уравнения системы (31) получим ток:

. (37)

Подставляя (37) во второе уравнение системы (31) найдем выходной сигнал «C-L» ФВЧ:

(38)

где ω²_o = 1/LC - собственная резонансная частота незатухающих колебаний «C-L» контура ФВЧ.

Из (38) следует, что при выполнении условия (36) также, как и в случае выполнения усло­вия (32) имеет место двойное дифференцирование входного сигнала.

Применяя к (38) формулу разложения можно получить оригинал или временную функцию сигнала ФВЧ:

(39)

где Р_1,2 = ±jω₀, - корни полинома знаменателя М(p) = p² + ω²₀ в выражении (38), М(p) = (p²+ ω₀² )'= 2p; N(p) = p²U₁(p).

После очевидных преобразований в (39), получим:

(40)

Если изменить условие (36) и принять, что сопротивление звеньев «C-L» фильтра выбраны из условия:

, (41)

то из первого уравнения системы (31) получим ток:

I₁(p) = U₁(p)/pL. (42)

Подставляя (42) во второе уравнение системы (31), получим выходной сигнал «C-L» ФВЧ:

U₂(p)=U₁(p),

u₂(t) = u₁(t). (43)

А это значит, что выходной сигнал «C-L» фильтра при выполнении условия (41) попадет в зону прозрачности фильтра (т.к. f_сиг >> f_среза) и пропускается в нагрузку практически без искажения.

Таким образом, из рассмотренного следует, что для «C-R» и «C-L» ФВЧ свойственны об­щие закономерности, но имеются и отличия, которые проще всего можно проследить на приме­ре прохождения через «C-R» и «C-L» фильтры синусоидальных сигналов. Так, если выбрать частоту синусоидального сигнала u₁(t) = U_msinωt равной или меньшей частоты среза ФВЧ (f_сиг ≤ f_cp), то в соответствии с (21) для «C-R» ФВЧ на его выходе получим косинусоидальный сигнал:

(44)

Для «C-L» ФВЧ, в соответствии с (35), в результате двойного дифференцирования u₁(t), на выходе ФВЧ получим противофазный по отношению ко входному синусоидальный сигнал:

(45)

На рис. 7.8. представлен входной (а) и выходные сигналы «C-R» (б) и «C-L» (в) ФВЧ для f_сиг >> f_среза.

Рисунок 7.8. Формы входного и выходного сигналов ФВЧ.