Руководство к решению задач по алгебре

Часть IV Комплексные числа

Учебное пособие для ВУЗов

Составители:

Т.Н. Глушакова,

И.Б. Крыжко

Утверждено научно-методической комиссией факультета ПММ 30.10.2010 г., протокол №.4

Рецензент канд. физ.-мат. Наук, доцент Ю.В. Бондаренко

Учебное пособие подготовлено на кафедрах вычислительной математики и прикладных информационных технологий, программного обеспечения и администрирования информационных систем факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов 1-го курса дневного и вечернего отделений факультета ПММ Воронежского государственного университета.

Для специальностей: 010501 – Прикладная математика и информатика;

010901 – Механика

1. Понятие комплексного числа

Комплексными числами называются числа вида

, (1)

где , число i называется мнимой единицей, .

Представление комплексного числа в виде (1) называется алгебраической формой комплексного числа. Число называется действительной (вещественной) частью, а число – мнимой частью комплексного числа , что записывается следующим образом: , .

Числа , для которых , называются мнимыми числами, а числа, для которых , – чисто мнимыми числами. Очевидно, что при – действительное число.

Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: и .

Пример. Решить уравнение .

Вычислим дискриминант: , тогда .

2. Операции над комплексными числами

Пусть нам даны два комплексных числа , . Определим следующие операции над комплексными числами.

1) .

При сложении комплексных чисел складываются их действительные и мнимые части соответственно.

2) .

Число называется комплексно сопряжённым к числу или просто сопряженным к числу .

У комплексно сопряженных чисел действительные части совпадают, а мнимые отличаются только знаком.

З а м е ч а н и я.

1. Комплексно сопряженные числа симметричны относительно вещественной оси.

2. Сумма и произведение комплексно сопряженных чисел – действительные числа.

3)

.

При делении одного комплексного числа на другое и числитель, и знаменатель дроби умножаются на число, комплексно сопряженное к знаменателю.

Комплексное число можно изобразить точкой или радиус-вектором на комплексной плоскости. Через обозначается действительная ось, через – мнимая.

З а м е ч а н и е. Комплексные числа можно складывать как радиус-векторы на комплексной плоскости. В этом случае комплексное число записывают в виде .

Пример. Изобразить на комплексной плоскости следующие комплексные числа: , , , .

Р е ш е н и е.

Отметим на комплексной плоскости точки , , , (рис. 1).

Рис. 1