5. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
Пусть даны два
комплексных числа
и
.
1) Найдем произведение двух комплексных чисел:
.
Таким образом,
,
(8)
то есть при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
2) Правило умножения комплексных чисел (8) автоматически распростра-няется на любое число сомножителей.
С л е д с т в и е. Если , то
.
(9)
Иными словами, при возведении комплексного числа в степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.
Отметим частный случай формулы (9), называемый формулой Муавра.
Положим в равенстве
(9)
,
тогда
.
(10)
Этой формулой можно пользоваться для выражения синусов и косинусов кратных углов через синусы и косинусы угла .
Пример.
Найдем
и
.
.
Но из равенства комплексных чисел вытекает равенство действительных и мнимых частей, поэтому
,
.
3) Найдем частное двух комплексных чисел:
.
4) Найдем корень
-й
степени из комплексного числа.
Корнем
-й
степени из комплексного числа
называется такое комплексное число
,
что
.
Корень
-й
степени из
обозначают
.
Покажем, что из любого комплексного числа можно извлечь корень -й степени, причем, если , то принимает ровно значений.
Такое комплексное
число
,
-я
степень которого равна
,
будем искать в тригонометрической
форме:
,
тогда
.
Очевидно, что
,
Таким образом,
,
Заметим, что при
,
при
,
… , при
,
при
,
при
,
… . Очевидно, что все остальные значения
аргумента будут повторять уже выписанные
для
с точностью до
,
а так как
и
– функции
-периодические,
то мы получим ровно
различных
значений корня.
Таким образом, корнем -й степени из комплексного числа является группа из чисел.
З а м е ч а н и е.
Точки, изображающие все получаемые
значения
,
лежат на одной окружности (центром
которой является точка
,
а радиусом – число
)
и делят эту окружность на
равных частей, то есть являются вершинами
правильного
-угольника.
6. Формула Эйлера
Важную роль в математике играет формула Эйлера
.
Применяются также формулы
,
.
Упражнения
№ 103.
.
Найти
и
,
считая их вещественными.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
.
№ 107. Выполнить указанные действия:
c)
.
№ 108. Решить системы уравнений:
a)
,
.
Выразим из первого
уравнения
и подставим во второе уравнение, получим
.
№ 109. Вычислить:
b)
.
I способ.
.
II способ.
.
№ 112. Вычислить:
g)
.
Представим
как
.
Так как
,
то из уравнения
следует, что
.
Таким образом,
получили два значения корня
.
№ 113. Решить уравнения:
b)
.
,
.
Таким образом,
,
.
с)
.
,
.
Таким образом,
,
.
№ 115. Решить уравнения:
b)
.
Сделаем замену
переменных:
,
получим
.
,
.
Вернемся к обратной замене:
.
№ 119. Представить в тригонометрической форме следующие числа:
a)
;
e)
;
j)
.
№ 137. b)
Вычислить, пользуясь формулой Муавра:
.
1) Представим сначала числитель и знаменатель дроби в тригонометрической форме:
,
.
2) Дальше существуют два способа решения.
I способ. Разделим числитель на знаменатель и полученное число возведем в данную степень:
.
II способ. Возведем числитель и знаменатель в данную степень и затем разделим:
.
с)
.
I способ.
;
.
II способ.
.
Таким образом,
,
и, следовательно,
,
поэтому
,
причем
и, следовательно,
.
Дальнейшее решение аналогично рассмотренному ранее.
III
способ.
Воспользуемся формулами
,
.
,
.
Таким образом, .
Пример.
Вычислить
.
Представим
комплексное число
в тригонометрической форме. Очевидно,
что
,
тогда
,
.
При
:
;
:
;
:
;
:
.
Таким образом,
получили 4 разных значения:
.
№ 145. с) Вычислить
.
1) Как и в предыдущем номере, представим числитель и знаменатель дроби в тригонометрической форме:
,
.
2) Разделим числитель на знаменатель:
.
3) Извлечем корень 6-й степени из получившегося комплексного числа:
,
З а м е ч а н и е. При извлечении корня -й степени из комплексного числа пункты 2 и 3 менять местами нельзя!!!
№ 143. Извлечь корни:
a)
,
При
:
;
:
;
:
.
Таким образом,
получили 3 различных значения:
,
.
b)
,
.
При
:
;
:
;
:
.
№ 146. Выразить
через
и
:
a)
.
Воспользуемся формулой Муавра (10):
.
Для возведения выражения в 5-ю степень воспользуемся треугольником Паскаля:
.
Таким образом,
,
.