- •Руководство к решению задач по алгебре
- •Часть IV Комплексные числа
- •1. Понятие комплексного числа
- •2. Операции над комплексными числами
- •3. Комплексно сопряжённые числа и их свойства
- •4. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •5. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
- •6. Формула Эйлера
- •Упражнения
- •Задачи для самоподготовки
- •Литература
3. Комплексно сопряжённые числа и их свойства
Пусть нам даны два комплексных числа , . Докажем следующие свойства.
1) .
Число, комплексно сопряженное к сумме комплексных чисел, равно сумме комплексно сопряженных чисел.
Действительно, так как , то
. (2)
С другой стороны,
. (3)
Из (2), (3) и следует доказательство свойства 1.
2) .
Число, комплексно сопряженное к произведению двух комплексных чисел, равно произведению комплексно сопряженных чисел.
Действительно, так как , то
. (4) С другой стороны, так как , , то
. (5)
Из формул (4), (5) и следует доказательство свойства 2.
3) .
Число, комплексно сопряженное к частному двух комплексных чисел, равно частному комплексно сопряженных чисел.
Так как , то
. (6)
С другой стороны,
. (7)
Из формул (6), (7) следует доказательство свойства 3.
4. Тригонометрическая форма комплексного числа
На комплексной плоскости часто рассматриваются также полярные координаты. Чтобы задать полярную систему координат, выбирают точку (полюс) и выходящий из этой точки луч (полярную ось).
Модулем комплексного числа называется число .
Пусть , тогда угол между положительным направлением полярной оси и радиус-вектором числа называется аргументом
числа : , .
Угол измеряется в радианах и откладывается против часовой стрелки. Очевидно, что и, следовательно, .
Числу может быть приписан любой аргумент.
Im z
r
О Re z
З а м е ч а н и е. Пару чисел часто называют полярными координатами комплексного числа .
Таким образом, каждому комплексному числу можно поставить в соответствие пару .
Найдем связь между полярными и комплексными координатами числа . Очевидно, что , и, следовательно,
.
Запись комплексного числа в виде называется тригонометрической формой комплексного числа.
З а м е ч а н и я.
1. Аргумент комплексного числа всегда одинаковый у синуса и косинуса, его менять нельзя!
2. В тригонометрической форме комплексного числа между действительной и мнимой частями всегда стоит знак “+” !