Тема 7. Случайные величины.

Литература: 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. «Высшая школа». М. 2003.Главы 6 -8.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. «Высшая школа». М. 2004.Гл. 5.

Примеры решения задач.

Задача 12. Задан закон распределения случайной дискретной величины X. Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

X	-3	-1	1	3	5
р	0,1	0,2	0,3	0,25	0,15

Решение. Математическое ожидание случайной дискретной величины

В нашем случае

Дисперсия случайной дискретной величины

Для нахождения математического ожидания квадрата случайной величины составим закон ее распределения

Х²	9	1	1	9	25
р	0,1	0,2	0,3	0,25	0,15

Тогда

Среднее квадратичное отклонение случайной величины X

Вопросы для самопроверки

1. Что такое дискретная случайная величина и ее ряд распределения?

2. Дайте определение числовых характеристик случайной величины и объясните их смысл.

Тема 8. Элементы математической статистики.

Литература: 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. «Высшая школа». М. 2003.Главы 15 - 19.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. «Высшая школа». М. 2004.Гл. 9-13.

Методические указания.

Математическая статистика – раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов. При этом статистическими данными называются сведения о числе объектов в какой - либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками.

Различные значения признака, наблюдающиеся у членов совокупности, называются вариантами. Число m_i , показывающее, сколько раз встречается вариант в совокупности, называется его частотой, а отношение частоты варианта к числу n членов совокупности – его относительной частотой , где i принимает значения от 1 до k - числа различных вариант.

, i = 1,2,3,…, k.

Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания или убывания ряд вариант с соответствующими им относительными частотами.

Вся подлежащая изучению совокупность объектов называется генеральной совокупностью.

Экономически невыгодно производить обследование всей совокупности, если по результатам изучения сравнительно небольшой ее части можно получить с достаточной для практики достоверностью необходимую информацию о всей совокупности. Такой метод исследования носит название выборочного.

Пусть имеется ряд распределения значений признака. Для того, чтобы подвергнуть его анализу рассматриваются постоянные величины, которые характеризуют ряд в целом и отражают присущие изучаемой совокупности закономерности. К таким постоянным относятся средние арифметические, дисперсии, средние квадратические отклонения.

Примеры решения задач.

Задача № 13. Известны урожайности в центнерах на один гектар яровой пшеницы в 20 хозяйствах: 13,9; 12,4; 13,1; 6,3; 11,8; 11,6; 10,5; 10,4; 10,6; 11,3; 15,1; 11,7; 11,3; 10,2; 11,0; 10,7; 8,2; 9,6; 10,2; 15,1. Получить интервальный ряд распределения и начертить гистограмму.

Решение. Записываем исходные данные в виде ранжированного ряда: 6,3; 8,2; 9,6; 10,2; 10,2; 10,4; 10,5; 10,6; 10,7; 11,0; 11,3; 11,3; 11,6; 11,7; 11,8; 12,4; 13,1; 13,9; 15,1; 15,1.

Рассматривая этот ряд, видим, что диапазон изменения вариант в выборке составляет 6 – 16.

Весь диапазон изменения вариант в выборке разбиваем на несколько интервалов. Размер интервала выбирается произвольно, но следует иметь в виду, что чем меньше интервал, тем точнее результаты. В данном случае принимаем размер интервала равным 2 единицам ( ∆x_i = 2 ). Получаем пять интервалов: первый 6 – 8, второй 8 – 10, третий 10 – 12, четвертый 12- 14, пятый 14 – 16.

Определяем частоту попадания вариант выборки в каждый интервал. В первый интервал попадает одно значение (6,3) из ряда, поэтому m₁ = 1. Во второй интервал попадает два значения (8,2 и 9,6), поэтому m₂ = 2. Аналогично получаем m₃ = 12, m₄ = 3, m₅ = 2.