5.Интервальные оценки основных числовых характеристик

генеральной совокупности

Оценка характеристики распределения называется интервальной, если она определяется двумя числами - границами интервала, содержащего оцениваемую характеристику.

В математической статистике используют так называемые доверительные интервалы, соответствующие заданной доверительной вероятности.

Доверительной вероятностью (надежностью) оценки числовой характеристики с помощью доверительного интервала называется вероятность того, что эта характеристика находится в данном интервале.

Чем шире доверительный интервал, тем выше соответствующая доверительная вероятность, и наоборот: чем большую доверительную вероятность мы хотим обеспечить, тем большим окажется соответствующий доверительный интервал.

В фармации, медицине и биологии доверительную вероятность принимают равной 0,95 или 0,99.

Рассмотрим метод нахождения доверительного интервала для заданной доверительной вероятности при оценке генеральной средней по результатам выборочных наблюдений. Предполагается, что изучаемый признак в генеральной совокупности распределен по нормальному закону. Метод основан на использовании распределения Стьюдента для случайной величины

, (12)

где

= , (13)

- исправленное среднее квадратическое отклонение средней выборочной.

Полуширина доверительного интервала для интервальной оценки генеральной средней при заданной доверительной вероятности находится по формуле

, (14)

где - коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности и числа степеней свободы . Тогда интервальная оценка генеральной средней представляется доверительным интервалом

, (15)

в котором с доверительной вероятностью находится генеральная средняя .

Пример 3. При доверительной вероятности дать интервальную оценку генеральной средней количества листьев на комнатных растениях определенного вида по данным примера 1.

Решение. Пользуясь вычисленным в примере 1 значением исправленного выборочного среднего квадратического отклонения , по формуле (13) найдем исправленное среднее квадратическое отклонение средней выборочной

.

По таблицам, для доверительной вероятности и числа степеней свободы распределения Стьюдента находим соответствующее значение коэффициента Стьюдента: . По формуле (14) для полуширины доверительного интервала получаем

.

Учитывая, что , окончательно получаем, что с доверительной вероятностью 0,95 генеральная средняя количества листьев на комнатных растениях рассматриваемого вида находится в интервале .