- •2.4. Системы случайных величин
- •2.4.1. Общий случай
- •2.4.2. Функция распределения системы двух св
- •2.4.3. Совместное распределение вероятностей системы двух дсв.
- •2.4.4. Плотность распределения системы двух нсв
- •2.4.5. Математические ожидания и дисперсии.
- •2.4.6. Показатели статистической зависимости двух св
- •1. Ковариация (корреляционный момент):
- •2. Коэффициент корреляции:
- •3. Коэффициенты детерминации и корреляционные отношения
- •2.4.7. Двумерное нормальное распределение.
- •2.4.8. Показатели статистической зависимости св. Общий случай
- •Множественный коэффициент корреляции.
- •Частный коэффициент корреляции. Рассмотрим теперь совокупность случайных величин
- •2.5. Функции многих случайных величин.
- •2.5.1. Сумма двух случайных величин.
- •2.5.2. Среднее арифметическое n случайных величин.
- •2.5.3. Центральная предельная теорема Ляпунова.
- •2.5.4. Распределение Пирсона
- •Распределение Стьюдента.
- •2.5.6. Распределение Фишера.
2.4.5. Математические ожидания и дисперсии.
В случае, когда задано совместное распределение вероятностей системы двух ДСВ, математические ожидания и дисперсии определяются по формулам:
В случае двух НСВ знаки заменяются на , а рij – на .
Условное математическое ожидание для НСВ:
Оно называется уравнением (функцией) регрессии Y на X.
Аналогично определяется уравнение регрессии X на Y, т. е.
Условная дисперсия для НСВ:
Аналогично определяется .
Для ДСВ знак ∫ заменяется на Σ, а – на .
Условные математическое ожидание и дисперсия характеризуют случайную величину Y при фиксированном значении параметра x или наоборот.
2.4.6. Показатели статистической зависимости двух св
1. Ковариация (корреляционный момент):
В частности, для системы из двух непрерывных случайных величин:
Свойства: 1) 2) КХХ≡
3) 4) 5) Если X и Y – независимы, то они некоррелированы, т. е.
(обратное бывает не справедливо).
Эти свойства легко доказываются, если воспользоваться общей формулой для ковариации и свойствами математического ожидания, в частности, если вспомнить, что для независимых СВ .
Пример. Пусть Y и X связаны зависимостью , где независимые СВ, . Тогда .
Вывод: зависимые X и Y оказались некоррелированными.
2. Коэффициент корреляции:
Свойства: 1) , 2)
3) тогда и только тогда, когда где причем , если и , если
4) Для независимых X и Y (так как )
Докажем второе и третье свойство. Пусть , где независимые СВ. Тогда, используя свойства дисперсии, получим: DY=a2DX+D , так как Db=0; D(XY)=D(X )= +D .
Применим формулы: cov(X,Y)= ; D(XY)=DX+DY2cov(X,Y).
Подставляя в последнюю предыдущие выражения, получим:
+D =DX+a2DX+D 2 ;
= . Отсюда .
Так как знаменатель не меньше, чем , то получаем неравенство: . Если т.е. D =0, то имеем: .
Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной связи между двумя случайными величинами.
3. Коэффициенты детерминации и корреляционные отношения
Коэффициенты детерминации определяются по формулам:
;
,
где – одномерные плотности вероятности;
; ;
, – условные математические ожидания;
, – условные дисперсии.
Часто =σ2= const, тогда =1– .
Можно показать, что 0 ρ2 η2 1, где ρ – коэффициент корреляции. Равенство η2=ρ2 имеет место лишь при линейных функциях , .
Корреляционным отношением называют корень квадратный из коэффициента детерминации, взятый со знаком плюс, т.е. – величину η= .
2.4.7. Двумерное нормальное распределение.
Плотность вероятности:
,
где
В общем случае график f(x,y) имеет вид сплюснутого с боков колокола, в сечениях которого – эллипсы: . При главные оси эллипсов параллельны осям координат. Если и , то сечениями являются окружности.
Пользуясь формулами в п.2.4.5 и п.2.4.6, можно определить, что коэффициент корреляции.
Если , то, подставляя этот ноль в формулу для двумерной плотности распределения, получим: , т. е. для нормального распределения из некоррелированности случайных величин следует их независимость.
Условную плотность распределения нетрудно получить, используя формулы для одномерного и двумерного нормального распределений:
,
где условное математическое ожидание и условная дисперсия:
т. е. уравнение регрессии является линейной функцией, а
Аналогично можно определить условную плотность распределения .
Второе уравнение регрессии:
Оба уравнения регрессии можно записать иначе:
Уравнения этих прямых проходят через точку и совпадают только при детерминированной зависимости между X и Y , т.е. при .