- •2.4. Системы случайных величин
- •2.4.1. Общий случай
- •2.4.2. Функция распределения системы двух св
- •2.4.3. Совместное распределение вероятностей системы двух дсв.
- •2.4.4. Плотность распределения системы двух нсв
- •2.4.5. Математические ожидания и дисперсии.
- •2.4.6. Показатели статистической зависимости двух св
- •1. Ковариация (корреляционный момент):
- •2. Коэффициент корреляции:
- •3. Коэффициенты детерминации и корреляционные отношения
- •2.4.7. Двумерное нормальное распределение.
- •2.4.8. Показатели статистической зависимости св. Общий случай
- •Множественный коэффициент корреляции.
- •Частный коэффициент корреляции. Рассмотрим теперь совокупность случайных величин
- •2.5. Функции многих случайных величин.
- •2.5.1. Сумма двух случайных величин.
- •2.5.2. Среднее арифметическое n случайных величин.
- •2.5.3. Центральная предельная теорема Ляпунова.
- •2.5.4. Распределение Пирсона
- •Распределение Стьюдента.
- •2.5.6. Распределение Фишера.
2.5.2. Среднее арифметическое n случайных величин.
Пусть где Хi – независимые СВ с математическими ожиданиями и дисперсиями (i= ). Применяя свойства математического ожидания и дисперсии к случайной величине Z , получим: . В частности, если все , , то . Можно показать, что , если
Теорема Чебышева. Если последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин с и (i= ), то для (краткая запись: ), т.е. сходится к a по вероятности.
Теорема Бернулли. Является частным случаем теоремы Чебышева для схемы Бернулли, в которой каждая случайная величина имеет распределение Бернулли, т. е. принимает значение 1 (с вероятностью p) или 0 (с вероятностью 1–p). Тогда – частость.
Обе теоремы определяют так называемый закон больших чисел. На них основана вся математическая статистика.
2.5.3. Центральная предельная теорема Ляпунова.
Пусть последовательность независимых случайных величин с (i= ), причем ни одна из них не оказывает существенного влияния на их сумму. Тогда распределение СВ при n приближается к нормальному, а распределение сходится к .
Эта теорема объясняет, почему случайные величины часто имеют нормальное распределение. На практике замечено, что если имеют разные распределения, но дисперсии не сильно отличаются друг от друга, то при числе слагаемых n>10 распределение суммы часто можно заменить нормальным.
2.5.4. Распределение Пирсона
Пусть читается: «хи-квадрат»), где независимые СВ, при Распределение этой случайной величины называется распределением Пирсона (или распределением 2) с n степенями свободы. Плотность распределения СВ 2 имеет вид:
где С = Г – значение гамма-функции Г(х) в точке n/2, Г(х) –табулированная гамма-функция. В частности, если х – целое число, то Г(х)= х! На рис.10 изображены плотности вероятности при n=2 и n=6.
Рис10. Плотность распределения величины 2
При n=2 f(z) –функция монотонная. Математическое ожидание МZ=n, дисперсия DZ=2n.
Распределение Пирсона (оно, как видно из формулы, – однопараметрическое) является частным случаем двухпараметрического гамма-распределения, часто используемого на практике, когда СВ не может принимать отрицательные значения.
В табл.3П приложения содержатся квантили плотности распределения случайной величины для различных значений степени свободы n≡k и различных значений вероятности р т.е. такие значения , при которых справедливо равенство .
Распределение Стьюдента.
Пусть где X и независимы, .
Распределение этой случайной величины называется распределением Стьюдента (или Т-распределением) с n степенями свободы.
Плотность распределения Стьюдента имеет вид (рис. 11):
,
где an = Г , bn = Г , Г(х) – гамма-функция.
Рис.11. Плотность распределения Стьюдента
Математическое ожидание, коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса случайной величины Z равны 0, дисперсия DZ= при n>2. Из этого следует, что распределение Стьюдента имеет чуть больший разброс по сравнению со стандартным нормальным N(0;1). При n fn (z) сходится к нормальному с математическим ожиданием а=0 и дисперсией .
В табл.2П приложения содержатся квантили tp плотности распределения случайной величины T(n) для различных значений степени свободы n ≡ k и различных значений вероятности р , т.е. такие значения tp, при которых справедливо равенство .