- •2.4. Системы случайных величин
- •2.4.1. Общий случай
- •2.4.2. Функция распределения системы двух св
- •2.4.3. Совместное распределение вероятностей системы двух дсв.
- •2.4.4. Плотность распределения системы двух нсв
- •2.4.5. Математические ожидания и дисперсии.
- •2.4.6. Показатели статистической зависимости двух св
- •1. Ковариация (корреляционный момент):
- •2. Коэффициент корреляции:
- •3. Коэффициенты детерминации и корреляционные отношения
- •2.4.7. Двумерное нормальное распределение.
- •2.4.8. Показатели статистической зависимости св. Общий случай
- •Множественный коэффициент корреляции.
- •Частный коэффициент корреляции. Рассмотрим теперь совокупность случайных величин
- •2.5. Функции многих случайных величин.
- •2.5.1. Сумма двух случайных величин.
- •2.5.2. Среднее арифметическое n случайных величин.
- •2.5.3. Центральная предельная теорема Ляпунова.
- •2.5.4. Распределение Пирсона
- •Распределение Стьюдента.
- •2.5.6. Распределение Фишера.
2.4.8. Показатели статистической зависимости св. Общий случай
Пусть имеется система, состоящая из k случайных величин: . Пусть известна функция распределения или плотность распределения . На практике большое распространение получило нормальное распределение, плотность которого имеет вид:
f (x1,x2,…,xk) = ,
где (х-а) и (х-а)′ – вектор-столбец, соответственно, вектор-строка переменных, состоящие из элементов хi-a (i=1,2,…,k);
B-1– матрица, обратная ковариационной матрице B=(Кij)≡(cov(Xi,Xj));
ΔB– определитель матрицы B.
В частности, при k=2 имеем:
B= ; B-1= ; ΔB= ;
(х-а)′B-1(х-а) =
Подставляя полученные выражения в формулу для f (x1,x2,…,xk) при k=2, получим выражение для двумерной плотности вероятности нормально распределенной случайной величины, приведенное ранее.
При k≥3, по аналогии с тем, как одномерные распределения выражаются через двумерные, можно получить двумерные распределения для каждой пары Xi, Xj (i ≠ j): для НСВ – плотности , для ДСВ – матрицы ( ) вероятностей произведения событий: . Определяя для каждой пары ковариации и коэффициенты корреляции, получим ковариационную матрицу (Кij), по главной диагонали которой будут стоять дисперсии, и корреляционную матрицу , по главной диагонали которой будут стоять единицы, причем Кij= Кji и = .
Функция распределения зависит от условий проведения испытаний или наблюдений. Значит, от этих условий зависят и . Пусть, например, испытания будут проведены теперь при некоторых фиксированных значениях всех случайных величин, кроме X1 и X2. Если при этом уменьшится, то можно сделать вывод, что взаимозависимость между X1 и X2 во многом (или даже в значительной степени) была вызвана действием других (ныне фиксированных) факторов. И наоборот, если увеличится, то это будет означать, что другие факторы маскировали истинную взаимозависимость между X1 и X2. Поэтому, наряду с (их называют коэффициентами парной корреляции) используют и другие показатели статистической зависимости: множественные коэффициенты корреляции и частные коэффициенты корреляции.
Множественный коэффициент корреляции.
Рассмотрим совокупность случайных величин
Yj=a0j+ , ,
где коэффициенты аij определяются из условия минимума математического ожидания:
М[(Xj - Yj)2]≡М[(Xj – a0j – )2] →
Случайная величина Yj называется наилучшим линейным приближением случайной величины Xj всеми остальными случайными величинами Xi, где . Тогда множественными коэффициентами корреляции называются величины:
,
Множественный коэффициент корреляции характеризует степень линейности связи между случайной величиной Xj и случайной величиной Yj, являющейся линейной комбинацией остальных случайных величин Xi, наиболее близкой к случайной величине Xj в смысле среднего квадрата разности между Xj и Yj. Заметим, что если Xj является линейной комбинацией всех остальных случайных величин, то и тогда =1. С другой стороны, =0 тогда и только тогда, когда Xj не коррелирована ни с одной из остальных случайных величин, т.е. когда = 0 при всех .
Квадрат множественного коэффициента корреляции можно вычислять по формуле:
,
где – определитель корреляционной матрицы R= , составленной из коэффициентов парной корреляции, Rjj – алгебраическое дополнение элемента .
При k=2 оба множественных коэффициента корреляции совпадают с обычным коэффициентом корреляции, т.е. = = . Действительно, в этом случае (j=1,2). Поэтому можно записать: , .
Подставляя это в первую формулу, получаем:
.
Чтобы воспользоваться второй формулой, вычисляем = , и определяем R11= R22=1. Тогда . Результат тот же.
При k=3 =1+ , R11= , R22= , R33= . Пользуясь второй формулой, получим:
Заметим, что числитель не может быть отрицательной величиной и не может обратиться в ноль, кроме как в случае, когда и (если ). При . Таким образом, если X1 не коррелированна ни с X2, ни с X3, то и наоборот. Аналогичный вид имеют и .