2.3. Дифференциальное уравнение теплопроводности

Для расчета температур необходимо не только знать тепловой поток, проходящий через рассматриваемое сечение, но и определенное количество теплоты, которое накапливается или теряется элементарным объемом тела. Если количество теплоты в этом объеме возрастает, то температура увеличивается и наоборот. На основании закона сохранения энергии и закона теплопроводности Фурье можно получить дифференциальное уравнение теплопроводности, которое описывает процесс изменения температуры.

Для однородного изотропного тела уравнение теплопроводности с внешним источником имеет вид

,

где с – удельная теплоемкость, Дж/(кгК);  – плотность конструкционных материалов, кг/м³;  температуропроводность, м²/с;  функция, описывающая тепловой источник.

3. Математическая постановка краевых задач теплопроводности

3.1. Условия однозначности

Дифференциальное уравнение теплопроводности является математической моделью целого класса явлений теплопроводности и само по себе не характеризует процесс развития теплопереноса в рассматриваемом теле. Математически это объясняется не единственностью решения дифференциальных уравнений в частных производных, к которым относится уравнение теплопроводности. Чтобы получить из множества решений одно частное решение, необходимо иметь дополнительные данные, не содержащиеся в исходном дифференциальном уравнении теплопроводности. Эти дополнительные условия, которые в совокупности с дифференциальным уравнением однозначно определяют конкретную задачу т, называют условиями однозначности.

В условия однозначности входят.

Геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс теплообмена. Формы тел, нагреваемых при сварке, весьма разнообразны. Распространение теплоты существенно зависит от формы размеров тела. Но точный учет конфигурации тела значительно усложняет математическую модель, а в ряде случаев получить ее аналитическим путем невозможно. Поэтому чаще всего упрощают формы рассматриваемых тел, сводя их к простейшим. Выбор схемы должен основываться на четком понимании сущности процесса в целом.

При решении задач приняты следующие схемы теплопроводящих тел: бесконечное тело; полубесконечное тело; бесконечная пластина; полубесконечная пластина; ограниченная пластина; бесконечный стержень; полубесконечный стержень; ограниченный стержень. Математически эти тела можно описать такими неравенствами:

Бесконечное тело. Этой схеме соответствует массивное тело, имеющее неограниченную протяженность по всем трем координатам x, y, z. Математически это описывается следующим образом:

, , .

Полубесконечное тело. Этой схеме соответствует массивное тело с одной ограничивающей плоскостью z=0. Математически это описывается следующим образом:

, , .

Бесконечная пластина (рис. 1 а). Бесконечная пластина представляет собой тело, ограниченная двумя параллельными плоскостями z=0 и z=L (L – толщина пластины):

Полубесконечная пластина (рис. 1 б). Полубесконечная пластина представляет собой тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями z=0, z=L и плоскостью y=0:

, , .

Ограниченная по ширине пластина (рис. 1 в). Такая пластина представляет собой тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями z=0, z=L и двумя параллельными плоскостями y=0, y=B (В – ширина пластины):

, , .

Ограниченная пластина (рис. 1 г). Ограниченная пластина представляет собой тело, ограниченное шестью плоскостями z=0, z=L, y=0, y=B, х=0, х=S:

, , .

Бесконечный стержень (рис. 1 д). Представляет собой одномерное тело с любым сечением и неограниченное в направлении х, а температура равномерна в пределах поперечного сечения: .

Полубесконечный и ограниченный стержни (рис.1 е и 1 ж). Представляют собой одномерные тела, ограниченные соответственно одной (х=0) и двумя (х=0 и х=L) плоскостями. Описываются они следующим образом: 0  х   и 0  х  L.

Физические условия, характеризующие физические свойства тела (тепло- и температуропроводность), а также закон распределения внутренних источников теплоты.

Граничные условия, характеризующие особенности теплового взаимодействия граничной поверхности тела с окружающей средой.

Временные, или начальные условия, характеризующие состояние тела в исходный момент времени, или, иначе, определяющие распределение температуры в любой точке тела в некоторый момент времени, который для исследуемого процесса теплообмена принимается за начальный.

Перечисленные условия в совокупности определяют одно (конкретное) явление теплопроводности и в этом смысле могут быть также названы условиями единственности.

Для тела определенной геометрической формы с определенными (известными) физическими свойствами условия однозначности сводятся к заданию начального и граничного условия. Эти условия в совокупности называются краевыми условиями. Итак, начальное условие является временным краевым условием, а граничные условия – пространственными краевыми условиями. Дифференциальное уравнение теплопроводности вместе с краевыми условиями составляет краевую задачу уравнения теплопроводности.

Для установившегося процесса теплопроводности необходимость задавать начальное условие отпадает, и в этом случае краевая задача будет состоять из уравнения теплопроводности и граничных условий.