3.2. Краевые условия
Начальное условие определяется заданием закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени, т.е.
Во многих задачах принимают равномерное распределение температуры в начальный момент времени
Граничное условие может быть задано различными способами.
Граничное условие I рода состоит в задании распределения температуры по поверхности тела в любой момент времени и математически описывается следующим образом
,
где
-
температура на поверхности тела.
В частном
случае
,
т.е температура на поверхности постоянна
на протяжении всего процесса теплообмена.
Это может быть осуществлено при
искусственном поддержании постоянной
температуры или при особых условиях
теплообмена между окружающей средой и
поверхностью тела.
Граничное условие II рода состоит в задании плотности теплового потока для каждой точки поверхности тела, как функции времени, т.е.
Простейший случай граничного условия второго рода состоит в постоянстве плотности теплового потока:
Такой случай имеет место, например, при нагревании тел в высокотемпературных печах.
Граничное условие III рода характеризует закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой при постоянном потоке тепла. В этом случае количество тепла, передаваемого в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду с температурой Tc в процессе охлаждения (Tn > Tc), прямо пропорционально разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, т.е.
,
где
коэффициент пропорциональности,
называемый коэффициентом теплообмена.
4. Математическое описание наиболее распространенных сварочных источников тепла
4.1. Дельта-функция Дирака
Рассмотрим функцию
,
имеющую максимум при
,
быстроубывающую в обе стороны от
,
и такую, что
.
Эти условия не определяют вид функции
,
так как можно привести несколько функций,
удовлетворяющих поставленным выше
требованиям, например:
;
Можно доказать, например, что во
второй функции
,
тогда числовой множитель обеспечивает
равенство интеграла единице. График
этой функции приведен на рис.2.
Рис.2
Произведем над линией
следующее преобразование: увеличим ее
высоту в m раз и одновременно
уменьшим ее ширину во столько же раз. В
этом случае уравнение приобретает вид
.
Например, из рассмотренного выше
уравнения получим
Рис.3
Видно, что площадь, заключенная между графиком и осью х, при растяжении кверху увеличивается в m раз, а при сжатии с боков уменьшается во столько же раз, т.е. в конечном итоге останется без изменений. Впрочем, это легко доказывается и с помощью интегрирования после замены переменной интегрирования mxs.
При любом фиксированном х0 величина будет неограниченно приближаться к нулю при неограниченном росте m (см. рис.4)
Р
ис.
4
Следовательно, неограниченно увеличивая m, мы получаем функцию со следующими свойствами:
функция равна нулю при всех x<0 и при всех х>0;
функция бесконечна при x0;
интеграл от этой функции, взятый в пределах от - до +, равен
Функции, обладающие этими свойствами, называется дельта-функцией Дирака и обозначается через (х). Для применения (х) достаточно знать три ее свойства, перечисленные выше, и совершенно не требуется знать, из какой именно функции она получена. Можно сказать, что (х) – это функция, принимающая на узком участке большие значения, причем эти значения согласованы с шириной участка так, что выполняется условие 3.
Из свойств (х) следует основное соотношение
.
Так как (х) 0 при всех х 0, то
,
где - малая величина.
Необходимо отметить, что (х-а) отлично от нуля (и притом бесконечно) только при х а. По аналогии с формулой (1) получим
Дельта-функцию можно рассматривать
также на плоскости и в пространстве.
Например, в пространстве под функцией
на до понимать функцию, равную нулю
всюду вне начала координат (0,0,0), равную
бесконечности в начале и при том такую.,
что интеграл от нее по всему пространству
равен единице. Этим условиям удовлетворяет
функция
Таким образом, тепловой поток q, сосредоточенный в точке (a, b, c), можно рассматривать как тепловой поток, распределенный в пространстве с плотностью
