7.3. Нагрев бесконечной пластины непрерывно-действующим линейным по глубине (оси z) источником

Трехмерное уравнение теплопроводности в подвижной системе координат имеет вид

Получим решение для следующих краевых условий:

, ,

функции источника тепла

, ,

где h – длина линейного источника.

Общее выражение для решения по методу функций Грина принимает в этом случае следующий вид

Рассмотрим интеграл

Этот интеграл можно разбить на два интеграла:

,

Для решения первого интеграла произведем замену переменной

, ,

В этом случае для первого интеграла получим следующее выражение

Определим новые пределы интегрирования А и В, для чего в выражение для U подставим пределы интегрирования из выражения для J₁ и получим:

,

Используя новые пределы интегрирования преобразуем выражение для J₁:

Таким же образом преобразуем интеграл

Интеграл принимает вид

Окончательное решение с учетом постоянной времени можно выразить в виде

26