6. Одномерные задачи теплопроводности со сварочными источниками тепла

6.1. Нагрев бесконечного стержня мгновенным точечным источником

У равнение теплопроводности и краевые условия при нагреве бесконечного стержня, площадь которого равна F, точечным источником, действующим в начале координат, имеют вид

,

(начальные условия)

, (граничные условия I рода)

, .

Известно, что для этих условий функция Грина (№1) описывается выражением

.

функция теплового источника имеет вид

, ,

где: Q – количество введенной в стержень теплоты (Дж), S – площадь стержня (м²).

Таким образом, выражение для распределения температуры в стержне при использовании метода функций Грина имеет вид:

Вынесем постоянные величины за знак интеграла

Принимая во внимание рассмотренные ранее свойства дельта-функции получим

,

,

и окончательно получаем следующее выражение

6.2. Нагрев конечного стержня мгновенным точечным источником тепла

Уравнение теплопроводности и краевые условия имеет вид

,

, , , ,

Для указанных выше условий функций Грина (№4) описывается следующим выражением

.

функция источника имеет вид

,

Тогда выражение для расчета температурных полей приобретает вид:

После соответствующих преобразований с использованием свойств дельта-функции получим окончательное решение:

.

6.3. Нагрев конечного стержня непрерывно-действующим точечным источником

Уравнение теплопроводности и краевые условия имеет вид

,

, , , , .

Для указанных выше условий функция Грина имеет вид

Примем, что точечный тепловой источник находится в центре стержня, тогда функция теплового источника принимает следующий вид

,

В этом случае выражение распределения температуры принимает вид:

После преобразования данного выражения с использованием дельта-функции получим окончательное решение

,

где q – удельный тепловой поток, Вт/м².

Полученную формулу можно использовать для определения температуры в процессе нагрева, т.е. в любой момент действия источника тепла. Эту же формулу можно использовать и для определения температуры в процессе охлаждения, т.е. в любой момент после окончания действия источника тепла. Для этого обозначим текущее время через t, тогда его можно представить в виде , где: - длительность действия источника тепла; - текущее время после окончания действия источника тепла. Так как при интегрировании мы как бы суммируем действие мгновенных точечных источников, то пределы интегрирования изменяются от 0 до . В этом случае формула принимает следующий вид:

6.4. Нагрев стержня проходящим током.

Поскольку свариваемые стержни зажимаются в массивных токоподводах, можно принять, что температура зажатых частей стержней равна комнатной (для упрощения равной нулю). Поэтому принимается схема ограниченного стержня с граничными условиями первого рода.

Нагрев стержней при прохождении по ним электрического тока нагревается в соответствии с законом Джоуля-Ленца. Уравнение теплопроводности и краевые условия имеют вид

,

, , , , .

Для указанных условий выбираем функцию Грина № 4

Так как тепло выделяется в течение всего времени сварки и по всей длине свариваемых стержней, то функция теплового источника принимают следующий вид

,

,

.

При контактной сварке сопротивлением ток плотностью j протекает непрерывно, его среднее значение находится либо расчетным путем, либо с помощью специальных измерительных приборов. Обычно при сварке сопротивлением малоуглеродистой стали плотность тока составляет 20…60 А/мм².

Мощность теплового источника можно определить по формуле

,

где r – удельное электросопротивление свариваемой стали,

l – длина конечного стержня

Выражение распределения температуры принимает вид:

Из таблиц интегралов известно, что

,

Проинтегрируем выражение для по длине:

Данный интеграл можно представить в виде двух интегралов: .

Тогда

Произведем замену переменных

, ,

Подставим полученные выражения в формулу I₁

Определим новые пределы интегрирования:

,

Выражение для I₁ принимает вид

С использованием табличного интеграла данное выражение принимает следующий вид

Проведем такие же преобразования с интегралом

Введем обозначения

, ,

Интеграл I₂ принимает вид

Пределы интегрирования принимают следующие значения:

,

Тогда

Окончательное решение получим подставляя выражения для I₁ и I₂ в формулу

Таким образом