Метод Крамера
Решение СЛАУ находится по формулам Крамера:
,
где
— определитель матрицы системы (главный
определитель),
— определители матриц
(вспомогательные определители), которые
получаются из матрицы
заменой
-го
столбца на столбец свободных членов
.
Линейная алгебраическая система
несовместна (не имеет решений), если
.
Для рассматриваемой СЛАУ вспомогательные
матрицы имеют следующий вид:
,
,
.
Разместим их на рабочем листе (рис 8.3).
Рисунок 8.3 — Матрицы системы уравнений
Далее, воспользовавшись функцией МОПРЕД, вычислим определители всех матриц (рис. 8.3).
Рисунок 8.4 — Вычисление определителей матриц
Аналогичная
формула (=МОПРЕД(A3:C5)) для вычисления
определителя матрицы A
записана в
ячейку E8. Осталось по формулам Крамера
найти решение системы. Соответствующие
формулы Excel запишем в интервал решения
B7:B9 (рис.8.5),
в котором и увидим результат (рис.
8.6). Обратите внимание на то (рис.
8.5), что при вычислении
анализируется значение определителя
матрицы системы A,
вычисленное в ячейке E8, и, если оно равно
нулю (система несовместна), то в B7
помещается текст Решения нет, а в ячейки
B8 и B9 — пустые строки.
Рисунок
8.5 — Вид записи формул при вычислении
Рисунок 8.6 — Численные значения решения СЛАУ
Матричный способ решения
Матричный
способ решения СЛАУ достаточно прост.
Обе части матричного равенства
умножим слева на обратную матрицу
.
Тогда решение системы запишется в
следующем виде
.
Записываем СЛАУ на текущий лист аналогично предыдущему примеру (Рис. 8.7).
Рисунок 8.7 — Вид записи матрицы на рабочем листе
Для решения системы необходимо найти для матрицы обратную и умножить ее справа на вектор-столбец B свободных членов. Для чего, воспользовавшись функциями Excel МУМНОЖ(матрица1; матрица2) и МОБР(матрица), введем в интервал B7:B9 табличную, т. е. используем для ввода комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ ENTER, мегаформулу МУМНОЖ(МОБР(A3:C5);D3:D5).
После чего в строке формул увидим {=МУМНОЖ(МОБР (A3:C5);D3:D5)}, а в интервале B7:B9 — решение, точно такое же, как и в предыдущем случае (см. рис. 8.6).
Решение слау методом Гаусса
Найдем решение системы:
.
В ячейки А1:Е4 вводим расширенную матрицу системы.
Эту матрицу копируем в диапазоны ячеек А6:Е9
Прямой ход метода Гаусса. Предположим, что в ячейке А1 не ноль. Если это не так, то переставим строки таким образом, чтобы число в ячейке А1 было отлично от нуля.
Выделяем диапазон А7:Е7 и в строке формул вводим формулу:
=A2:E2-$A$1:$E$1*A2/$A$1
и нажимаем CTRL+SHIFT+ENTER. При этом формула примет вид:
{=A2:E2-$A$1:$E$1*A2/$A$1},
где фигурные скобки указывают на операции над матрицами.
Протащив за маркер
автозаполнения, скопируем формулу в
ячейки А8:Е9. В результате этих операций
коэффициенты при
во всех уравнениях кроме первого
обратятся в ноль.
Выделяем диапазон А6:Е9 и копируем значения, хранящиеся в нём в ячейки диапазонов А11:Е14. Для копирования значений нужно воспользоваться специальной вставкой. Ей соответствует пункт меню Правка->Специальная вставка, после выбора которого появляется диалоговое окно Специальная вставка, в котором нужно выбрать Вставить->Значения и нажать кнопку Ок.
Аналогичным образом
обращаем в ноль коэффициенты при
.
В диапазон ячеек В13:Е13 вводим формулу
=B8:E8-$B$7:$E$7*B8/$B$7
Протащим маркер автозаполнения этого диапазона так, чтобы заполнить ячейки диапазона В14:Е14. Это обратит в ноль коэффициенты при в двух последних уравнениях.
Далее содержимое (только значения!) диапазона A11:Е14 скопируем в ячейки диапазона A16:Е19.
Выделим диапазон С19:Е19 введем в него формулу
{=C14:E14-$C$13:$E$13*C14/$C$13},
что обратит в ноль коэффициент при х3 в последнем уравнении.
В результате этих преобразований матрица системы примет треугольный вид:
B$7:$E$7*B8/$B$7.
Протащим маркер автозаполнения этого диапазона так, чтобы заполнить ячейки диапазона В14:Е14. Это обратит в ноль коэффициенты при х2 в последних двух уравнениях.
Далее содержимое (только значения!) диапазона A11:Е14 скопируем в ячейки диапазона A16:Е19.
Выделим диапазон С19:Е19 введем в него формулу
{=C14:E14-$C$13:$E$13*C14/$C$13},
что обратит в ноль коэффициент при х3 в последнем уравнении.
В результате этих преобразований матрица системы примет треугольный вид (рис. 8.8).
Рисунок 8.8 — Вид записи матрицы на рабочем листе
Обратный ход метода Гаусса. В ячейки G1, G2, G3 и G4 введем «х4», «x3», «x2» и «х1» соответственно, а в ячейки Н1:Н4 — представленные ниже формулы:
Ячейка |
Формула |
Н1 |
=E19/D19 |
Н2 |
=(E18-D18*H1)/C18 |
Н3 |
=(E17-D17*H1-C17*H2)/B17 |
Н4 |
=(E16-D16*H1-C16*H2-B16*H3)/A16 |
В результате чего в диапазоне Н1:Н4 будет получено решение системы.