- •П.1 Логарифмічна функція і її властивості …………………………………
- •Розділ 1. Вступні зауваження і факти
- •§1. Комплексні числа. Операції над комплексними числами
- •§2. Збіжність послідовностей комплексних чисел
- •§3 Нескінченно віддалена точка. Розширена комплексна площина. Стереографічна проекція
- •§4 Ряди комплексних чисел
- •§5 Комплекснозначні функції комплексного аргументу та деякі їх властивості
- •Розділ 2. Похідна функції комплексного аргументу. Аналітичні функції
- •§1 Похідна функції комплексної змінної. Критерій її існування
- •Доведення
- •§2 Геометричний зміст аргументу і модуля похідної
- •§3 Дробово-лінійна функція. Властивості і відображення здійснювані нею
- •П.1 Група дробово-лінійних відображень
- •П.2. Кругова властивість дробово-лінійних відображень
- •П.3. Нерухомі точки дробово-лінійного відображення
- •§4 Експоненціальна і тригонометрична функції в комплексній області
- •П.1 Логарифмічна функція і її властивості
- •§5 Виділення однозначних віток многозначної функції
- •§6 Показникова та степенева функції в комплексній області
Доведення
Необхідність. Нехай диференційовна в точці . Тоді . З означення похідної будемо мати:
, , коли . (2)
, , , де і , коли , .
Підставимо все це в (2) і виділивши дійсні і уявні частини та зрівнявши їх, одержимо
( )
( )
, коли , . Останні дві рівності, врахувавши як ведуть себе та , а також що числа і незалежні від та , означають як ми знаємо з дійсного аналізу, що функції і як функції двох дійсних змінних диференційовні в точці . Перша частина необхідності доведена.
З рівності ( ) будемо мати
,
З рівності ( ) випливає
, .
З останніх 4-ох рівностей і одержуємо умови Коші-Рімана (1). Необхідність доведена, причому ми ще й отримали
.
Достатність. Нехай умови (1) виконуються. Покажемо, що похідна функції існує. З умови (1) матимемо, що
, , коли , (3)
, , коли , . (4)
Покладемо та . Підставивши в (3) і (4) замість відповідних часткових похідних та і помноживши (4) на та додавши її до (3) одержимо:
.
З цієї рівності будемо мати:
.
Оскільки останні два доданки справа прямують до 0, коли (бо при цьому , ), , то з останньої рівності маємо, що існує .
Теорема доведена.
Приклад. Перевіримо на диференційованість функцію
, .
1) функції і диференційовані на всій площині як функції двох дійсних змінних;
2) Перевіримо умови Коші-Рімана
, ,
, , .
Ці умови виконуються, а отже за критерієм диференційованості дана функція є диференційованою на всій комплексній площині.
§2 Геометричний зміст аргументу і модуля похідної
Простий аналіз показує, що якщо ми маємо комплексно-значну функцію , де , то ця функція зображатиме на площині неперервну криву, якщо тільки , неперервні на відрізку функції. Нехай далі неперервна на відрізку функція, причому існує . З’ясуємо що це геометрично буде означати.
Візьмемо довільну точку і відмітимо на нашій кривій точку . Початок кривої точка . Проведемо січну . Очевидно, що кут, який утворює ця січна з додатнім напрямом осі буде співпадати з аргументом комплексного числа . Далі зрозуміло, що існування граничного положення цієї січної при прямуванні точки до точки по кривій, а воно буде дотичною до кривої в точці буде залежати від того існує чи ні . Оскільки аргумент числа 0 невизначений, то переконаємося, що при всіх достатньо близьких до . Справді, якби це було не так, то знайшлася б послідовність : і , а тоді ми мали б, що і оскільки і в точці існує похідна , то вона дорівнювала б 0, а в нас це не так. Отже, при всіх достатньо близьких до дріб під знаком аргументу відмінний від 0 і цей вираз має зміст при . Оскільки існує , то існує . Звідси одержимо, що . Таким чином ми встановили:
Наявність відмінної від 0 похідної від комплексно-значної функції дійсного аргументу в деякій точці означає існування у відповідній точці цієї кривої дотичної, кут нахилу якої до додатного напряму осі дорівнює .
Нехай тепер ми знову ж в комплексній площині маємо таку саму неперервну криву , причому і далі в деякій області, що містить цю криву, задана неперервна функція (комплексно значна комплексного аргументу), причому в точці існує . Тоді ця функція переведе нашу неперервну криву в -площині в деяку також неперервну (бо функція неперервна на ) криву в -площині, яка пройде через точку . Покажемо, що функція (комплексно значна дійсного аргументу ) має похідну в точці . Справді, це є складна функція така, що диференційовна в точці , а диференційована в точці . Тоді за теоремою про похідну складеної функції (вона, як ми відмітили, теж переноситься на комплексну площину) матимемо, що . Отже, існування відмінної від нуля похідної цієї функції означає (див. попередній висновок) наявність до кривої дотичної в точці . Причому з того ж висновку маємо, що кут її нахилу до додатного напряму осі дорівнює аргументу цієї похідної, тобто . Одержана рівність показує, що дотична до кривої в точці при нашому відображенні повернулася на кут . Зауважимо, що величина цього кута не залежить від кривої . А раз так, то «випустивши» з точки дві такі криві, ми зразу одержимо, що при відображенні , для якого існує , криві в -площині, які є образами тільки що описаних кривих, при цьому відображенні утворять в точці той самий кут, що і криві в - площині (бо обидві дотичні до кривих і повернуться при відображенні на один і той же кут ).
Відображення, які не змінюють кутів між кривими ( ні по величині ні по напрямку) називаються конформними.
Підсумуємо все зроблене вище у вигляді такого твердження:
відображення, що здійснюється неперервною в області функцією, яка в деякій точці має відмінну від 0 похідну, є конформними в цій точці;
якщо ж функція має похідну в кожній точці області, яка до того ж там відмінна від 0, то відображення, що здійснюється такою функцією, буде конформним на всій області.
В цьому полягає геометричний зміст аргументу похідної.
Розберемося тепер з геометричним змістом модуля похідної. З означення похідної маємо:
.
Простий аналіз останньої рівності показує, що означає в скільки разів збільшуються довжини векторів , які виходять з точки , коли точки близькі до точки , при відображенні їх функцією . Інакше кажучи, − це коефіцієнт розтягу або стиску комплексної площини при відображенні в точці .
Зауважимо, повертаючись до конформних відображень, що умова для конформності відображення в точці є суттєвою. Є функції, для яких похідна в цій точці дорівнює 0 , але кути між кривими, що виходять з цієї точки змінюються. Прикладом останньої є функція в точці .
Приклад. Перевіримо яка частина простору
стискується при відображенні , а яка розтягується і яка залишається незмінною.
− область розтягу,
− область стиску,
− незмінна область. (Див. рис. 9).
Проілюструємо все вище сказане на прикладі дробово-лінійної функції.