П.1 Група дробово-лінійних відображень

Позначимо через множину все можливих відображень ( ). Відображення будемо називати тотожним. Задамо на множині наступну операцію: візьмемо на цій множині дробово-лінійне відображення та і подивимося чи послідовне виконання цих дробово-лінійних відображень з відмінними від 0 визначниками дасть дробово-лінійне відображення -площини на -площину теж з відмінним від 0 визначником. Будемо мати,

.

Таким чином, послідовне виконання цих відображень дає дробово-лінійне відображення. Легко перевірити, що визначник цього відображення відмінний від 0. Значить належить до множини і . Така дія, як ми помітили ніколи не виводить нас з множини і завжди при довільних фіксованих і з множини приводить нас до конкретного єдиного відображення з цієї ж множини, тому ця дія є операцією на і, якщо ми покажемо, що для неї виконуються аксіоми групи, то цим і встановимо, що множина відносно цих операцій є групою.

Тотожне відображення позначатимемо . Очевидно справедливо, що і : . Неважко догадатися, що якщо , то для знаходження треба з цієї рівності знайти . Простою перевіркою переконуємось, що наша операція асоціативна, а отже, все це дозволяє стверджувати, що множина із введеною на ній операцією є групою (взагалі кажучи не комутативною).

П.2. Кругова властивість дробово-лінійних відображень

Як ми знаємо рівняння задає в площині коло або пряму (пряма, коли і хоча б один з коефіцієнтів ). Останнє рівняння через комплексні числа можна переписати в дещо іншому вигляді. Оскільки,

, , ,

то

- комплексне число, - спряжене до нього, тому

(1)

Останнє рівняння, де і дійсні числа, а - комплексне число, задає коло або пряму в -площині.

Подивимось що буде образом об’єкта, що задається рівнянням (1), при відображенні . Для цього потрібно в (1) замість поставити (бо ми шукаємо образ при відображенні ). Будемо мати,

або .

А це рівняння аналогічне до рівняння (1), тільки в - площині ,а отже, воно зображатиме в цій площині теж пряму або коло. Домовимося в майбутньому для простоти викладу колом в широкому розумінні називати власне коло або пряму (як коло, що проходить через нескінченно віддалену точку).

Ми встановили, що відображення коло в широкому розумінні переводить в коло в широкому розумінні. Неважко здогадатися, як випливає з тільки що сказаного, що відображення кожну пряму або коло, які проходять через точку 0, переводить в пряму.

Подивимося що буде, коли .

.

Відображення можна зобразити у вигляді композиції відображень. А саме: , , ,

.

Нехай ми маємо коло (1) в -площині. − лінійне відображення, тому воно це коло переведе в коло. За тільки що доведеним відображення коло в широкому розумінні знову переведе в коло в широкому розумінні. Оскільки і − лінійні відображення, то кожне з них коло в широкому розумінні переведе в коло в широкому розумінні. А отже, відображення , як послідовне виконання вказаних вище відображень, коло в широкому розумінні (1) переведе в коло в широкому розумінні в -площині.

Знову неважко здогадатися, що це відображення довільне коло або пряму, які проходять через точку переведе обов’язково в пряму, а кола або прямі, які не проходять через цю точку це відображення переведе в коло.