- •Лабораторная работа № 11 динамические модели объектов управления
- •Порядок выполнения работы
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения
- •1. Аналитическое решение
- •2. Численные методы решения Решение с помощью функции odesolve
- •Решение с помощью функции rkfixed
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Задания
- •Лабораторная работа № 12 синтез регулятора
- •Порядок выполнения работы
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Задания
- •Лабораторная работа №13 синтез компенсаторов перекрестных связей системы
- •Порядок выполнения работы
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Задания
- •Библиографический список
Лабораторная работа № 12 синтез регулятора
Цель работы: изучение метода синтеза регулятора по заданному запасу устойчивости объекта управления и ограничениям на колебательность выхода системы.
Порядок выполнения работы
Для заданного объекта управления выбрать структуру регулятора (ПИ или ПИД) и пользуясь изложенной методикой получить параметры настройки регулятора.
Построить динамические характеристики системы. Решения найти при нулевых начальных условиях:
аналитическим способом;
одним из численных методов, реализованным в виде процедуры Mathcad.
Теоретические сведения
Пусть передаточная функция разомкнутой цепи (см. рис. 27, 28):
, (69)
тогда передаточная функция замкнутой системы имеет вид:
, (70)
где N(s) – числитель передаточной функции разомкнутой системы;
L(s) – знаменатель передаточной функции разомкнутой системы;
k – коэффициент усиления;
y(t) – выход системы;
g(t) – задание для системы регулирования.
y(s) и g(s) характеризуют соответственно состояние динамического процесса и задание в изображениях по Лапласу. Эти переменные связаны соотношением:
,
в котором е(s) – величина рассогласования между заданием g(s) и текущим значением регулируемой переменной y(s).
В (69) предполагается, что степень числителя меньше степени знаменателя. Из (70) следует:
. (71)
Если в (71) формально заменить s на оператор дифференцирования , то выражение
(72)
является дифференциальным уравнением в операторной форме для замкнутой системы.
В задачах автоматического регулирования переменная y(t) часто представляет собою отклонение текущего состояния от его номинального (заданного) значения. Поэтому целью регулирования в этом случае является выполнение «нулевого» задания, в результате которого переменная состояния y(t) совпадает с его номинальным значением g(t). Следовательно, в такой постановке g(t) можно принять равным нулю, и в результате дифференциальное уравнение (72) приобретает вид
.
Уравнение является характеристическим уравнением замкнутой системы.
При проектировании регулятора необходимо решать задачу распределения на комплексной плоскости корней = j характеристического полинома (полюсов передаточной функции). Требуется решить вопрос, как расположить корни, чтобы переходной процесс был в некотором смысле оптимальным, а система обладала желаемыми показателями качества.
Для этого можно поступить следующим образом: в характеристическом полиноме необходимо выделить полюсы, предназначенные для компенсации нулей, а оставшийся полином формировать из условия желаемого расположения корней, учитывая следующее.
Обычно переходной процесс характеризуется степенью устойчивости и колебательностью . Эти два показателя должны обеспечиваться расположением полюсов независимо от порядка замкнутой системы.
Задание определенной колебательности заставляет ограничивать область расположения корней двумя лучами (АО и DО на рис. 63), которые составляют с вещественной осью угол . Задание степени устойчивости заставляет ограничивать область расположения корней вертикальной прямой ВС, проходящей параллельно мнимой оси на расстоянии внутри сектора с углом , как изображено на рис. 63.
Для решения задачи расположения корней на комплексной плоскости ломаную линию АВСD можно аппроксимировать левой ветвью гиперболы. При этом сектор формируется двумя асимптотами:
,
а угловой коэффициент асимптот
.
Рис. 63. Область расположения корней замкнутой системы
Гипербола описывается уравнением:
.
Полагая a = , выделим произвольную точку M(x, y) на гиперболе (рис. 64). Расстояние OМ от точки M(x, y) до начала координат обозначим R. Координаты точки M(x, y):
, ,
где R – радиус-вектор точки M(x, y), а – угол радиус-вектора. Подставляя x и y в уравнение гиперболы, получаем:
, (73)
где
b = atg() = a.
Рис. 64. Расположение корней на комплексной плоскости
Из (73) определяем величину радиус-вектора:
.
С учетом того, что a = ,
.
Свяжем положение точки M(x, y) с порядком характеристического полинома замкнутой системы.
Разделим сектор POK на n равных секторов, соответствующих порядку характеристического уравнения замкнутой системы. Элементарный сектор будет иметь величину . Положение точки M(x, y) на пересечении луча i – сектора с гиперболой определяется полярными координатами:
. (74)
, i = 1, 2, …n. (75)
Отсюда следует, что, задавая величину колебательности , степень устойчивости и порядок замкнутой системы, определяем координаты точек Mi(xi, yi) из соотношений
, .
Координаты xi и yi соответствуют действительным и мнимым частям корней характеристического уравнения:
xi = Re i yi = Im i.
Корни замкнутой системы регулирования будут иметь вид
i = Re xi Im yi ,
а в случае действительных корней
i = Re xi .
Характеристическое уравнение будет иметь вид произведения состоящего из этих сомножителей:
(76)