Пример_

Предположим, изучается влияние на зрительскую оценку различных фильмов (зависимая переменная) двух факторов: жанра фильма (мелодрама, комедия, боевик) и пола зрителя. Вполне вероятно, что в результате такого исследования будут обнаружены не главные эффекты изучаемых факторов (влияние каждого из них в отдельности), а их взаимодействие. Взаимодействие факторов «жанр фильма» и «пол зрителя» будет означать, что мужчины и женщины по-разному оценивают фильмы в зависимости от их жанра (фильмы разных жанров оцениваются по-разному, в зависимости от пола зрителя).

ANOVA с повторными измерениями (Repeated Measures ANOVA) применяется, когда по крайней мере один из факторов изменяется по внутригрупповому плану, то есть различным градациям этого фактора соответствует одна и та же выборка объектов (испытуемых). Соответственно, в модели ANOVA с повторными измерениями выделяются внутригрупповые и межгрупповые факторы. Для двухфакторного ANOVA с повторными измерениями по одному из факторов проверяются три гипотезы: а) о влиянии внутригруппового фактора;

б) о влиянии межгруппового фактора; в) о взаимодействии внутригруппового и межгруппового факторов.

Многомерный ANOVA (Multivariate ANOVA, MANOVA) применяется, когда зависимая переменная является многомерной, иначе говоря, представляет собой несколько (множество) измерений изучаемого явления (свойства).

Дополнительно выделяют модели ANOVA с постоянными (фиксированными) и случайными эффектами — различаются способами задания уровней (градаций) фактора. В модели с постоянными эффектами (Fixed Factors) уровни остаются фиксированными (одними и теми же) и при проведении данного выборочного исследования: как при обобщении результата на генеральную совокупность, так и при повторном проведении исследования. В модели со случайными эффектами (Random Factors) уровни фактора представляют собой более или менее случайную выборку из множества других возможных уровней данного фактора. Конечно, интерпретация (обобщение) результатов будет зависеть от используемой модели. При обработке данных различие между моделями в однофакторном ANOVA может не учитываться, но должно учитываться в двух- (и более) факторном ANOVA. В последнем случае результаты обработки для разных моделей будут различными. Допускается сочетание фиксированных и случайных факторов в одном исследовании.

Пример_

Сравнивалась эффективность двух учебных программ. Для этого из нескольких сотен школ города было выбрано 5, а в них — по два параллельных класса, ученики которых обучались по разным программам. Исследование представляло собой реализацию двухфакторного плана с одним фиксированным (учебная программа: две градации) и одним случайным факторами (школа: пять градаций). Такое исследование позволяет проверить гипотезу не только об эффективности учебных программ, но и о том, будет ли различаться их эффективность в разных школах города.

В случае, если фактор имеет более двух градаций, то подтверждение гипотезы о его влиянии позволяет сделать лишь неопределенный вывод о том, что по крайней мере две градации фактора различаются. Для более конкретного вывода о том, какие именно градации фактора различаются, в ANOVA предусмотрена процедура множественных сравнений (Post Hoc multiple comparison tests).

Во всех вариантах ANOVA наряду с изучением влияния факторов допускается изучение влияния метрической независимой переменной. Метрическая независимая переменная в этом случае называется ковариатой (Covariate), и дисперсионный анализ включает в себя ковариационный анализ.

Математическая идея ANOVA основана на соотнесении межгрупповой и внутригрупповой частей дисперсии (изменчивости) изучаемой зависимой переменной. Известно, что при объединении двух (или более) выборок с примерно одинаковой дисперсией, но с разными средними значениями дисперсия увеличивается пропорционально различиям средних значений этих выборок. Это связано с тем, что к внутригрупповой дисперсии добавляется дисперсия, обусловленная различиями между группами. В модели ANOVA внутригрупповая изменчивость рассматривается как обусловленная случайными причинами, а межгрупповая — как обусловленная действием изучаемого фактора на зависимую переменную. Соответственно, в общей изменчивости (дисперсии) зависимой переменной выделяются две компоненты: внутригрупповая (случайная) и межгрупповая (факторная) изменчивость. Чем больше отношение межгрупповой изменчивости к внутригрупповой, тем выше факторный эффект — тем больше различаются средние значения, соответствующие разным градациям фактора.

Нулевая гипотеза в ANOVA содержит утверждение о равенстве межгрупповой и внутригрупповой составляющих изменчивости и подразумевает направленную альтернативу — о том, что межгрупповая составляющая изменчивости превышает внутригрупповую изменчивость. Нулевой гипотезе соответствует равенство средних значений зависимой переменной на всех уровнях фактора. Принятие альтернативной гипотезы означает, что по крайней мере два средних значения различаются (без уточнения, какие именно градации фактора различаются).

Основные допущения ANOVA: а) распределения зависимой переменной для каждой градации фактора соответствуют нормальному закону; б) дисперсии выборок, соответствующих разным градациям фактора, равны между собой;

в) выборки, соответствующие градациям фактора, должны быть независимы (для межгруппового фактора). Выполнение допущения о независимости выборок является обязательным в любом случае. Последствия нарушений остальных двух допущений требуют специального рассмотрения.

Нарушение предположения о нормальности распределения, как показали многочисленные исследования, не оказывает существенного влияния на результаты AN OVA (Шеффе, 1980; Гласс, Стэнли, 1977 и др.). Следовательно, перед проведением ANOVA нет необходимости в проверке соответствия выборочных распределений нормальному закону.

Нарушение предположения о равенстве (однородности, гомогенности) дисперсий имеет существенное значение для ANOVA в том случае, если сравниваемые выборки отличаются по численности. Таким образом, если выборки, соответствующие разным градациям фактора, отличаются по численности, то необходима предварительная проверка гомогенности (однородности) дисперсий. В компьютерных программах это осуществляется при помощи критерия Ливена (Levene’s Test of Homogeneity of Variances). Если выборки заметно различаются по численности и дисперсии по критерию Ливена различаются статистически достоверно, то ANOVA к таким данным не применим, следует воспользоваться непараметрической альтернативой.

В основе современных программных реализаций дисперсионного анализа лежит представление о родственности дисперсионного и множественного регрессионного анализа: оба метода исходят из одной и той же линейной модели. В связи с этим, а также в связи с применением в дисперсионном анализе процедур и показателей, характерных для множественной регрессии, в последнее время все варианты дисперсионного анализа объединяются (например, в программе SPSS) под названием: Общая линейная модель (GLM — General Linear Model).

Параметрическими аналогами ANOVA являются такие многомерные методы, как множественный регрессионный анализ (глава 15) и дискриминантный анализ (глава 17). Отличие модели множественного регрессионного анализа заключается в том, что все переменные в ней, в том числе и независимые, представлены в метрической шкале. В модели дискриминантного анализа, в отличие от ANOVA, зависимая переменная является классифицирующей (номинативной), а независимые переменные — метрическими.

Непараметрическими аналогами ANOVA, как отмечалось, являются критерии Я-Краскала-Уоллеса (для независимых выборок) и х2-Фридмана (для повторных измерений).

Вычислительные сложности, связанные с проведением ANOVA, представляли проблему до появления компьютеров и специальных статистических программ. Современные статистические программы (SPSS, STATISTICA) избавляют пользователя от утомительных расчетов. Однако понимание и правильная интерпретация получаемых показателей обязательно требуют наличия общего представления о том, как они вычисляются. Поэтому изложение основных методов ANOVA будет сопровождаться демонстрацией расчетов на упрощенных примерах, которые будущему пользователю компьютерных программ желательно внимательно изучить.