Iі Завдання додому

1)

2)

3)

4)

Відповіді:

1. х=1, у=5, z=2

2. система несумісна

3. нескінченна множина розв’язків

4. х=7k, y=8k, z=13k, k-

Практичне заняття № 5

Тема: Розв’язування систем лінійних рівнянь за допомогою матриць

Мета: сформувати вміння та навики розв’язування систем лінійних рівнянь за допомогою матриць

Хід заняття

При матричному розв’язанні системи лінійних рівнянь домножаємо її на обернену матрицю зліва:

, де ,

Розв’язування матричних рівнянь ,

де А, В і С - задані матриці, Х –невідома матриця:

1. 2.

І Розв’язування вправ

1) Виконати дії:

2) Розв’язати матричне рівняння:

3) Розв’язати систему рівнянь:

4) Розв’язати матричне рівняння:

5) Модель Леонтьєва многогалузевої економіки.

Нехай - загальний (валовий) об’єм продукції і-ої галузі (і = ); - об’єм продукції і-ої галузі, яку використовує j-та галузь (і,j = ); у - об’єм кінцевого продукту і-ої галузі.

Валовий об’єм продукції і-ої галузі дорівнює

(1)

Це рівняння називають співвідношенням міжгалузевого баланса.

Коефіцієнт прямих витрат має вигляд:

( ) (2)

Він показує витрати продукції і-ої галузі на виробництво одиниці продукції j-ої галузі. Тоді рівняння (1) перетворюється:

(3)

Матричний вигляд рівняння (3) поступний:

Х = АХ+ , (4)

де Х – вектор – стовбець валового випуску виробу,

- вектор – стовбець кінцевого виробу, (і,j = ) – матриця прямих витрат.

З рівняння (4) знаходимо Х – через матрицю нових витрат S = (E - A) , якщо вона не дорівнює нулю

Х = (Е-А) .

Модель Леонтьева називають продуктивною, якщо А 0, 0, Х 0.

Знайти валовий випуск виробів Х, якщо

Галузь	Використання		Кінцевий продукт
	Енергетика	Машинобудування
Енергетика	7	21	72
Машинобудування	12	15	123

Додатково:

1) Розв’язати систему рівнянь:

2) Знайти А^-1

Iі Завдання додому

1) Розв’язати систему рівнянь:

а)

б)

2) Виконати дії:

3) Розв’язати матричне рівняння:

Відповіді:

1) х = 2, у = 3 , z = – 2

2) х = 1, у= 2, z = 3

3) (68 16)

4)

5) х1 = 100; х2 = 150

Практичне заняття № 6 Тема: Обчислення рангу матриці. Теорема Кронекера - Капеллі

Мета: сформувати вміння та навики обчислення рангу матриці, дослідження сумісності системи за теоремою Крон екера - Капеллі.

Хід заняття

Мінор матриці розміром на називається визначник, складений з виділених рядків і стовпців цієї матриці .

Рангом матриці ; називають найвищий порядок мінорів цієї матриці, які не дорівнюють нулю.

Одним з методів знаходження рангу матриць є метод зведення її до східчатого вигляду, тобто до матриці, у якій всі елементи нижче та ліворуч від елементів дорівнюють нулю. Тоді ранг цієї матриці буде дорівнювати кількості ненульових членів .

За іншим методом елементарними перетвореннями приводимо матрицю до вигляду, в якому формуються рядки ті стовпці з одним, відмінним від нуля елементом. Кількість таких стовпців (рядків) дає ранг матриці. Такі стовпці називаються базовими, а відповідні їм елементи – базовими.

Елементарні перетворення: помножати будь-який рядок (стовпець) на дійсне число та додавати (віднімати) до (від) будь-якого рядка (стовпця).

Розширеною матрицею системи (1) називається матриця ; , в якої стовпець складається з елементів вектора , тобто зі стовпця вільних членів.

; , (1)

З теореми Кронекера-Капеллі витікає, що система (1) сумісна і має один роз’вязок, якщо ( - кількість невідомих), безліч рішень, якщо < , та несумісна, коли .