Относительное положение прямой и плоскости.

Задание 1.1. Определить расстояние от точки D до плоскости треугольника АВС (метрическая задача).

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости. В качестве пересекающихся прямых выбираем горизонталь и фронталь плоскости треугольника ABC, так как при прямоугольном проецировании прямой угол проецируется без искажения, если одна его сторона параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей.

Алгоритм решения задачи:

1. Из точки D проводим перпендикуляр DF произвольной длины, используя горизонталь А2 и фронталь С1 плоскости треугольника ABC. При этом горизонтальная проекция перпендикуляра D₁F₁ перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали А₁2₁, а фронтальная проекция перпендикуляра D₂F₂ перпендикулярна фронтальной проекции фронтали

С₂1₂(D₁F₁ ⊥ A₁2₁, D₂F₂ ⊥ C₂1₂)

I

2. Определим точку пересечения построенного перпендикуляра DF с плоскостью треугольника ABC. Для этого перпендикуляр DF заключаем во вспомогательную фронтально проецирующую плоскость α. Находим линию пересечения плоскости треугольника ABC и вспомогательной плоскости α - прямую MH. Определим точку K, точку пересечения прямой MH с перпендикуляром DF; это и есть искомая точка пересечения перпендикуляра DF с плоскостью треугольника ABC.

3. Определим натуральную величину отрезка DK (расстояния от точки D до плоскости треугольника ABC) способом прямоугольного треугольника. В качестве одного катета треугольника выбираем фронтальную проекцию перпендикуляра D₂K₂, вторым катетом будет отрезок ΔY_DK, равный разности координат У точек D и К.

4. Видимость проекций перпендикуляра DK определим, используя конкурирующие точки. Точка пересечения всегда видима и является границей видимости. На горизонтальной плоскости проекций в качестве конкурирующих то­чек рассмотрим точки 4 и 5 , принадлежащие разным геометрическим объектам. Точка 5 принадлежит перпендикуляру DK, а точка 4 сторо­не треугольника СВ. Координата Z точки 4 больше координаты Z точ­ки 5 , следова­тельно, точка 4 расположена выше точки 5. На горизонтальной плоскости проекций сторона треугольника СВ видима, DK невидима. На фронтальной плоскости проекций в качестве конкурирующих точек выбираем точ­ки 2 и 3 , принадлежащие разным геометрическим объектам. Точка 3 принадлежит прямой DK, а точка 2 принадлежит стороне треугольни­ка AB. Координата Y точки 3 больше координаты Y точки 2, следова­тельно, точка 3 расположена от фронтальной плоскости дальше, чем точка. 2 . На фронтальной плос­кости проекции сторона треугольника СВ видима, прямая DK невиди­ма.

Относительное положение плоскостей

Задание 1.2. Построить плоскость DEF, перпендикулярную тре¬угольнику ABC (рис. 1).

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них со­держит прямую, перпендикулярную другой плоскости. Искомая плос­кость должна содержать в себе заданную прямую DE и перпендику­ляр, опущенный из любой точки этой прямой на заданную плоскость треугольника ABC. (Например, из точки D - перпендикуляр DF).

Алгоритм решения задачи:

1. Строим плоскость, перпендикулярную плоскости треуголь­ника ABC, используя исходную прямую DE и построенный в преды­дущей задаче перпендикуляр DF.

2. Две плоскости пересекаются по прямой линии. Для построе­ния линии пересечения необходимо найти две точки, одновременно принадлежащие двум плоскостям. Точка К принадлежит треугольнику ABC и треугольнику DEF. Вторую точку M определяем, используя ал­горитм нахождения точки пересечения прямой DE с плоскостью AВС, как в задании 1. Линия пересечения плоскостей всегда видима.

3. Определим видимость пересекающихся плоскостей, види­мость плоскостей определяется с помощью конкурирующих точек. Видимость стороны DF определена в задании 1.1. Зная видимость стороны DF, можно определить видимость остальных сторон тре­угольников.