3. Другие виды степенных средних величин

Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной.

Формула для расчета средней гармонической простой будет иметь вид:

Формулу для расчета средней гармонической взвешенной можно представить в общем виде:

Например, имеются следующие данные:

	Выпуска продукции, тн.	Производительность труда, тн./чел.-час
Цех 1	40000	40
Цех 2	75000	50
Итого	115000

Необходимо определить среднюю производительность труда. Для решения этой задачи необходимо пользоваться средней гармонической взвешенной:

Средняя хронологическая применяется для оценки среднего уровня ряда динамики. При наличии информации на моменты времени с равными интервалами между ними используется средняя хронологическая простая:

, где

n – число моментов (дат)

Средняя геометрическая применяется, как правило, для оценки среднего показателя относительных величин (например, средний темп роста).

Средняя геометрическая простая определяется по формуле:

Средняя геометрическая взвешенная определяется по формуле:

Средняя квадратическая применяется для определения средних размеров диаметров труб стальных, стволов деревьев и т.д. Этот вид средней также используется при расчете показателей вариации

• простая:

• взвешенная:

При расчете различных степенных средних по одним и тем же данных статистического наблюдения средние не буду одинаковы. Чем выше степень k средней, тем больше ее величина. Математически доказано, что между величинами степенных средних, рассчитанных по одной и той же совокупности единиц статистического наблюдения и одному и тому же признаку, существует следующее соотношение:

_{гарм < геом} < _{ар < кв.}

4. Мода и медиана

Для характеристики структуры совокупности применяются особые показатели, которые можно назвать структурными сред­ними. К таким показателям относятся мода и медиана.

Мода - это величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианта с наибольшей частотой.

Например, если совокупность состоит из значений:

2,4,5,4,5,3,2,4,5,5,5,4,4,3,3,2,3,4

то мода равна 4, поскольку повторяется больше всех (6 раз)

Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианта с наибольшей частотой.

Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:

где - начальное значение интервала, содержащего моду;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

При этом модальным интервалом называется интервал с наибольшей частотой.

Медиана - это варианта, расположенная в середине упорядоченного вариационного ряда. Если ряд распределения дискретный и имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине упорядоченного ряда (упорядоченный ряд - это расположение единиц совокупности в возрастающем или убывающем порядке).

Рассмотрим пример расчета медианы в дискретном ряду.

Определим медиану заработной платы рабочих.

Месячная з/п , руб.	Число рабочих	Сумма накопительных частот
1100	2	2
1300	6	8 (2+6)
1600	16	24 (8+16)
1900	12	—
2200	4	—
	40

Для определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание итога продолжается до получения накопленной суммы частот, превышающей половину. В нашем примере сумма частот составила ее половина - 20.

Накопленная сумма частот ряда получилась равной Варианта, соответствующая этой сумме, т.е. 1600 руб., и есть медиана ряда.

Если же сумма накопленных частот против одной из вариант равна точно половине сумме частот, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.

Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле

где — начальное значение интервала, содержащего медиану;

— величина медианного интервала;

— сумма частот ряда;

— сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

— частота медианного интервала.