Алгебраические свойства золотой пропорции

Что же это за "чудо" природы и математики, интерес к которому не только не увядает с течением времени, а наоборот - возрастает с каждым столетием. Для ответа на этот вопрос мы предлагаем напрячь все математические знания и погрузиться в мир математики - только таким путем вы сможете насладиться чудесными математическими свойствами золотой пропорции и через эти математические свойства понять и оценить всю красоту и гармонию золотой пропорции.

Начнем с алгебраических свойств "золотой пропорции". Из уравнения "золотой пропорции"

н епосредственно вытекает первое очень простое и тем не менее весьма удивительное свойство золотой пропорции. Если корень t

подставить вместо x в уравнение (1), то мы получим следующее тождество для "золотой пропорции":

Убедимся, что тождество (2) является истинным. Для этого нам необходимо осуществить элементарные математические преобразования над левой и правой частями тождества (2) и доказать, что они совпадают.

Действительно, мы имеем для правой части:

Тождество (2) может быть представлено в виде:

и ли

Проанализируем, например, тождество (3-b). Известно, что любое число а имеет обратное к нему число 1/а. Например, дробь 0.1 является числом, обратным к 10. Традиционный алгоритм получения обратного числа 1/а из исходного числа а состоит в делении числа 1 на число а. Это довольно сложная процедура. Попробуйте, например, путем деления получить число, обратное к числу а = 357821,093572. Это можно сделать только с помощью современного компьютера.

Рассмотрим теперь "золотую пропорцию"

Как получить из нее обратное число 1/t? Выражение (3-b) дает очень простой ответ на этот вопрос. Для этого достаточно вычесть единицу из "золотой пропорции" t.

Задача о размножении кроликов

Одним из наиболее известных математиков эпохи Средневековья по праву считается Леонардо Пизано Фибоначчи. Позже мы расскажем о Фибоначчи и его роли в развитии западноевропейской математики более подробно. По иронии судьбы Фибоначчи, который внес выдающийся вклад в развитие математики, стал известным в современной математике только лишь как автор интересной числовой последовательности, называемой числами Фибоначчи. Эта числовая последовательность была получена Фибоначчи при решении знаменитой "задачи о размножении кроликов". Формулировка и решение этой задачи считается основным вкладом Фибоначчи в развитие комбинаторики. Именно с помощью этой задачи Фибоначчи предвосхитил метод рекуррентных соотношений, который считается одним из мощных методов решения комбинаторных задач. Рекуррентная формула, полученная Фибоначчи при решении этой задачи, считается первой в истории математики рекуррентной формулой.

Существо своей "задачи о размножении кроликов" Фибоначчи сформулировал предельно просто:

"Пусть в огороженном месте имеется пара кроликов (самка и самец) в первый день января. Эта пара кроликов производит новую пару кроликов в первый день февраля и затем в первый день каждого следующего месяца. Каждая новорожденная пара кроликов становится зрелой уже через месяц и затем через месяц дает жизнь новой паре кроликов. Возникает вопрос: сколько пар кроликов будет в огороженном месте через год, то есть через 12 месяцев с начала размножения?"

Д ля решения этой задачи, которая наглядно демонстрируется с помощью рисунка, обозначим через A пару зрелых кроликов, а через B - пару новорожденных кроликов. Тогда процесс "размножения" может быть описан с помощью двух "переходов", которые описывают ежемесячные превращения кроликов в процессе размножения:

Заметим, что переход (1) моделирует ежемесячное превращение каждой зрелой пары кроликов А в две пары, а именно в ту же самую пару зрелых кроликов А и новорожденную пару кроликов В. Переход (2) моделирует процесс "созревания" кроликов, когда новорожденная пара кроликов В через месяц превращается в зрелую пару А. Тогда, если мы начнем в первом месяце со зрелой пары А, тогда процесс размножения кроликов может быть представлен с помощью Таблицы 1.

Дата	Пары кроликов	A	B	A + B
1-го января	A	1	0	1
1-го февраля	AB	1	1	2
1-го марта	ABA	2	1	3
1-го апреля	ABAAB	3	2	5
1-го мая	ABAABABA	5	3	8
1-го июня	ABAABABAABAAB	8	5	13

Заметим, что в столбцах А и В таблицы 1 указаны количества зрелых и новорожденных пар кроликов в каждом месяце года, а в таблице А+В - суммарное количество кроликов.

Изучая последовательности А-, В- и (А+В)-чисел, можно установить следующую закономерность в этих числовых последовательностях: каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих. Если теперь обозначить n-й член последовательности, удовлетворяющей этому правилу через F_n, тогда указанное выше общее правило может быть записано в виде следующей математической формулы:

Fn = Fn-1 + Fn-2

(3)

Такая формула называется рекуррентной формулой.

Заметим, что конкретные значения числовой последовательности, порождаемой рекуррентной формулой (3), зависят от начальных значений последовательности F₁ и F₂. Например, мы имеем F₁ = F₂ = 1 для A-чисел и для этого случая рекуррентная формула (3) "генерирует" следующую числовую последовательность:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... .

(4)

Для В-чисел мы имеем: F₁ = 0 и F₂ = 1; тогда соответствующая числовая последовательность для этого случая будет иметь вид:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... .

Наконец, для (А + В)-последовательности мы имеем: F₁ = 1 и F₂ = 2; тогда соответствующая числовая последовательность для этого случая будет иметь вид:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... .

В математике под числами Фибоначчи, как правило, понимается числовая последовательность (4). Числа Фибоначчи обладают удивительными математическими свойствами

Ф ибоначчи не стал изучать математические свойства полученной им числовой последовательности

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... .

(1)

Это за него сделали другие математики. Начиная с 19 в., математические работы, посвященные свойствам чисел Фибоначчи, по остроумному выражению одного математика "начали размножаться как фибоначчиевые кролики".

Следующая задача, рассмотренная Фибоначчи, называется "задачей о выборе наилучшей системы гирь для взвешивания на рычажных весах" или просто "задачей о гирях". В русской историко-математической литературе "задача о гирях" известна под названием "задачи Баше-Менделеева", названной так в честь французского математика 17 в. Баше де Мезириака, который поместил эту задачу в своем "Сборнике приятных и занимательных задач" (1612 г.) и выдающегося русского химика Дмитрия Ивановича Менделеева, который интересовался этой задачей в бытность директором Главной Палаты мер и весов России.

Суть "задачи Баше-Менделеева" состоит в следующем: при какой системе гирь, имея их по одной, можно взвесить всевозможные грузы Q от 0 до максимального груза Q_max, чтобы значение максимального груза Q_max было бы наибольшим среди всех возможных вариантов? Известно два варианта решения этой задачи: (1) когда гири разрешается класть на свободную чашу весов; (2) когда гири разрешается класть на обе чаши весов.

В первом случае "оптимальная система гирь" сводится к двоичной системе гирь: 1, 2, 4, 8, 16, ..., а возникающий при этом "оптимальный" алгоритм или способ измерения "порождает" классическую двоичную систему счисления, лежащую в основе современных компьютеров.

Во втором случае "оптимальной" является "троичная" система гирь: 1, 3, 9, 27, 81, ..., а возникающий при этом способ измерения "порождает" так называемую троичную симметричную систему счисления, которая была использована в "троичном" компьютере "Сетунь", созданном в 50-е годы в Московском университете.

Методологическое значение "задачи о гирях" состоит прежде всего в том, что она является одной из первых "оптимизационных" задач в истории математики. Во-вторых, она касается "проблемы измерения", то есть одной из фундаментальных проблем математики. В третьих, она связана с проблемой систем счисления, одной из фундаментальных проблем современной информатики. Именно развитие этой задачи с указанных точек зрения привело в последние годы к разработке так называемой "алгоритмической теории измерения", о которой мы расскажем позже.

Но возвратимся снова к Фибоначчи и его сочинениям. Хотя Фибоначчи был одним из наиболее ярких математических умов в истории западно-европейской математики, однако его вклад в математику незаслуженно принижен. Наиболее четко значение математического творчества Фибоначчи для математики подчеркнуто русским математиком проф. А.В. Васильевым в его книге "Целое число" (1919 г.):

"Сочинения ученого пизанского купца были настолько выше уровня математических знаний даже ученых того времени, что их влияние на математическую литературу становится заметным только через два столетия после его смерти в конце 15-го века, когда многие из его теорем и задач вводятся другом Леонардо да Винчи, профессором многих итальянских университетов Лукою Пачиоли в его сочинениях и в начале 16-го века, когда группа талантливых итальянских математиков: Сципион дель Ферро, Иероним Кардано, Тарталия, Феррари решением кубического и биквадратного уравнения положили начало высшей алгебре".

Из этого высказывания вытекает, что Фибоначчи почти на два столетия опередил западно-европейских математиков своего времени. Подобно Пифагору, который получил свое "научное образование" у египетских и вавилонских жрецов и затем способствовал передаче полученных знаний в греческую науку, Фибоначчи получил свое математическое образование в арабских учебных заведениях и многие из полученных там знаний, в частности, арабо-индусскую десятичную систему счисления, он попытался "внедрить" в западно-европейскую науку. И подобно Пифагору историческая роль Фибоначчи для западного мира состояла в том, что он своими математическими книгами способствовал передаче математических знаний арабов в западно-европейскую науку и тем самым заложил основы для дальнейшего развития западно-европейской математики.

В 1958 г. "опыты Фехнера" были повторены английскими учеными. Эти опыты вновь оказались весьма благоприятными для золотого сечения. Большинство испытуемых (35%) без промедления указали на "золотой" прямоугольник 21:34. Соседние к нему фигуры (2:3 и 13:23) также были оценены весьма высоко (20% - верхняя фигура и 19% - нижняя). Все остальные прямоугольники получили не более 10%.

Эти же опыты, проведенные в детской аудитории, дали совершенно иные результаты, не обнаружив чувства гармонии, свойственного взрослым. Отсюда было сделано заключение, что, по-видимому, ощущение прекрасного в его наиболее тонких и глубоких сторонах присуще лишь человеку зрелому.

Мир неживой природы - это прежде всего мир симметрии, придающий его творениям устойчивость и красоту. Мир живой природы - это прежде всего мир гармонии, в которой действует "закон золотого сечения".

В мире неживой природы действует так называемый принцип наименьшего действия. В соответствии с этим принципом система постоянно переходит от менее устойчивого к наиболее устойчивому состоянию. При этом всякое тело стремится принять такую форму, при которой оно обеспечивает минимум энергии его поверхности, совместимую с ориентирующими силами. Симметрия порождающей среды, в которой образуется тело, накладывается на симметрию тела. Получающаяся при этом форма тела сохраняет те элементы собственной симметрии, которые совпадают с наложенными на него элементами симметрии среды.

Принципу наименьшего действия подчиняются все системы неорганического мира. В биологическом и растительном мире это принцип не имеет такого широкого распространения. Любое животное или растение стремятся создать такую морфологическую оболочку, которая бы была благоприятна для размножения и годна для сопротивления условиям среды.

В этом случае вступает в действие принцип экономии материи, который не действует в неорганическом мире. Ярким примером этому служит стремление живых организмов к экономии костной субстанции при распределении материи, дающее максимум прочности во всех нужных направлениях.

Кроме этого, живые организмы проявляют лишь одним им свойственный феномен - феномен роста. Неорганические кристаллы увеличиваются путем присоединения идентичных элементов; живой организм растет путем "всасывания", идущего изнутри и направляющегося наружу.

Мы имеем также еще одно коренное различие: молекулярные элементы неорганической материи, не меняются во все время существования данной совокупности, тогда как элементы, образующие живую ткань, в процессе роста сгорают, удаляются и возобновляются, сохраняя общее начертание формы организма. Например, раковина (внешний скелет морских организмов) растет, сохраняя свою первоначальную форму, несмотря на свой асимметричный рост; рога животных растут только с одного конца.