6. Математическое описание элементов и систем автоматического регулирования. Дифференциальные уравнения звеньев и систем. Линеаризация нелинейных зависимостей

Математическая модель– уравнения (структурные схемы) автоматической системы управления. Она должна быть, как можно более полно отражать свойства оригинала, так и по возможности простой.

Режимы систем:

1. Установившейся(входные и выходные данные постоянные)

2. Неустановившейся(при изменении данных, переходной режим)

Алгоритмическая (Структурная) схема – представление системы в виде соединения динамических звеньев

Общий вид линейной системы автоматического управления

В реальных условиях большинство элементов автоматической системы являются не линейными (имеют статические характеристики)

Линеаризация– Процесс преобразования нелинейных уравнений в линейные

1. Графически:

2. Аналитически:

С помощью разложения в ряд Тейлора в районе рабочей точки и исключая члены высших порядков малости

7. Преобразование Лапласа в применении к теории автоматического управления. Понятие передаточной функции системы

Анализ и синтез САУ существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления.

Имеется функция вещественной переменной f(t), ей можно поставить в соответствиеF(p), гдеf(t) – оригинал,F(p) – изображение.

–интеграл Лапласа

; ;– комплексная переменная;

Преобразование Лапласа обладает следующими свойствами: операциям дифференцирования и интегрирования в приведении вещественной переменной соответствуют эквивалентные алгебраические операции умножения и деления с использованием комплексной переменной

- справедливы при нулевых начальных условиях

Применение преобразования Лапласа позволяет перейти от исходных дифференциальных уравнений к эквивалентным алгебраическим уравнениям в представительстве комплексной переменной.

–передаточная функция.

Передаточной функция звена или системы– отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях.

8. Типовые внешние воздействия. Временные характеристики звеньев и систем. Частотные характеристики. Основные понятия и определения, виды характеристик

Основные характеристики динамических звеньев и систем.

1) Статические: это зависимость изменения выходной величины от изменения входной величины в установившемся режиме.

2) Динамические: временные и частотные.

Временная характеристика звена системы– закон изменения выходной величины в функции времени при изменении входной величины по определенному закону и при условии, что до приложения внешнего воздействия звено находилось в покое. Зависит от характера звена.

Типовые внешние воздействия

1. Воздействие с наиболее неблагоприятным законом изменения.

2. Воздействие с законом наиболее близким к реальному

3. С наиболее простым математическим описанием

Типовой набор:

1) Ступенчатоевоздействиеприt=0,входная величинаX

2)Линейноевоздействиес постоянной скоростью

Металлообработка

Степенное воздействие –

3)Импульсное–кратковременный импульс с большой амплитудой и малой длительностью.

– Ударные нагрузки

4) Гармонические воздействия– одна входная величина изменяет по синусоидальному или косинусоидальному закону.

– Вибрации

5) Переходная функция звена– реакция звена на единичное ступенчатое воздействие.

Y(p)=W(p)*X(p); H(p)=>W(p)/p; L{1(t)}=1/p; h(t)=L^-1[W(p)/p]

6) Импульсная переходная или весовая функция– реакция звена на импульсное воздействие в видеδU

Y(p)=W(p)*X(p); L[δ(t)]=1; K(p)=W(p)*1; k(t)=L^-1[W(p)]; W(p)=pH(p)=k(p); k(t)=dh/dt

Достоинством временных характеристик является то, что они могут быть получены экспериментально.