20. Логарифмический критерий устойчивости. Оценка запаса устойчивости по фазе и амплитуде

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы ЛАЧХ разомкнутой системы пересекала ось частот раньше чем ЛФЧХ линию фазового сдвига –π.

Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы частота среза располагалась левее точки пересечения ЛФЧХ с линией фазового сдвига –π.

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при положительных значениях ЛАЧХ разность между числом положительных(снизу вверх) и отрицательных(с верху вниз) переходов фазочастотной характеристики линии фазового сдвига –π=l/2, гдеl– число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. Начало характеристики на линии фазового сдвига принимается за 0,5 перехода.

Логарифмический критерий устойчивости позволяет просто определить запасы устойчивости системы по амплитуде.

h1,h2– запас устойчивости системы по амплитуде.

Φ– запас устойчивости системы по фазе.

Необходимые значения запаса устойчивости зависят от классов систем и требований к качеству регулирования.

Ориентировочно: Δφ(w)=30..60⁰; Δl(w)=6..20 дб.

20. Точность систем автоматического регулирования. Установившаяся ошибка при различных типовых воздействиях. Коэффициенты ошибок

Точность линейной системы управления:

; (установившаяся ошибка);

Ошибка регулирования может быть определена в системе с использованием теоремы оконечных значениях преобразования Лапласа.

– теорема

Из теоремы

Ошибка регулирования зависит от динамических свойств и от выходной характеристики.

1) Ступенчатое воздействие.

1.1) Статическая:W(p)=B(p)/A(p);

– статическая ошибка.

1.2) Астатизм 1-го порядка;

– статическая ошибка по возмущающему воздействию

2) Инерционное воздействие.

2.1 статическая W(p)=B(p)/A(p)

В статической системе при линейном воздействии внешнего регулирования будет достигнуто нелинейное значение.

2.2 Астатическая система.ν=1:W(p)=B(p)/pA(p);

– скоростная ошибка

2.3 Астатическая система.ν=2:W(p)=B(p)/pA(p);

Коэффициенты ошибок:

Установившиеся значения ошибки воспроизведения задающего воздействия: , являющегося произвольной, но достаточно плавной функцией времени можно определить с помощью коэффициентов ошибок по следующей формуле:

C_0, C₁,C₂– коэффициенты ошибок

Можно вычислять по передаточной функции для ошибки слежения и ее производным пор, прир=0.

Для статической системы:

Для астатической первого порядка ν=1:

C₀=0;C₁=1/k;

Для астатической второго порядка ν=2:

C₀=C₁=0;C₂=1/k

k– добротность системы по скорости

g=at²+bt+c; dq/dt=2at+b; d²q/dt²=2a

Аналогично можно записать выражение для установившейся ошибки создавшей возмущающее воздействие

–третья производная обращается в ноль

1) Случай:

(астатич)(статич)

2) Случай:

(статич)(астатич)

21.Качество процессов регулирования. Основные показатели качества

Прямые оценки качества определяются по переходной характеристике.

К прямым оценкам относятся:

1) время регулирования(длительность переходного процесса:t_p.). Это время от момента приложения внешнего воздействия до момента, когда отклонение регулируемой величины от ее установившегося значения станет меньше чем период заданной величины δ.

Для систем общепромышленного класса принимается δ=0,05h(∞)

2) Перерегулирование– максимальное отношение регулируемой величины в % к установившемуся значению.

Обычно рекомендуют 10-30%

3) Число колебанийрегулируемой величины за время регулирования.n(2..3)

4) Собственная частота колебаний.w₀=2π/T

5) Декремент затухания. q_i– амплитуда колебаний.

6) Максимальная скорость изменения регулируемой величины. [dh/dt]_max

Косвенные оценки качества позволяют оценить качество системы без построения переходных характеристик.

7) Время достижения первого максимума

К косвенным оценкам относятся:

1) корневые– регулируют с помощью корней уравнения.

Степень устойчивости (η) – расстояние от мнимой оси до ближайшего корня.

J(t)=C₁e^α1t+C₂e^α2t; 0.05C₁=C₁e^α1t=C₁e^α2t; 0.005=e^ηt=>ηt_p=ln0.05=>t_p=3/η;L_p=ln0.05/η

Колебательность m=tgφопределяет перерегулирование в системе. σ возрастает с ростомm.

2) интегральные

J₁=∫E(t)dt– линейная интегральная оценка.

J₂=∫E²(t)dt– квадратичная интегральная оценка, для качества процесса регулирования.

В ТАУ находят применение улучшенные интегральные оценки –

J=∫(E²(t)+k₁(dE/dt)²+k₂(d²E/dt²)²)dt

3) частотные

Для частотных оценок используются различные характеристики: АЧХ, ВЧХ(вещественные), ЛЧХ.

ОНЧ отвечает за точность; ОСЧ характеризует качество процессов

ОВЧ показывает энергетические характеристики.

По ОСЧ можно следить за качеством, w_ср– с помощью нее можно следить.

t_p=βπ/w_ср; β – коэффициент зависящий от перерегулирования ~ 2..4

Наклон среднечастотного участка ЛАЧХ определяет перерегулирование.

Рекомендуемый наклон – 20 дб