- •Аннотация
- •От автора
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1. СИСТЕМЫ И ПРОЦЕССЫ
- •2. ПОРЯДОК, НЕПОРЯДОК, БЕСПОРЯДОК И ХАОС
- •3. ТЕРМОДИНАМИКА
- •3.1 Начала термодинамики
- •3.2 Равновесная термодинамика
- •4. НЕРАВНОВЕСНАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
- •4.1 Диссипативные структуры, системы и среды
- •4.2 Термодинамика необратимых процессов
- •4.3 Линейная неравновесная термодинамика
- •4.4 Нелинейная неравновесная термодинамика
- •4.5 Статистическая термодинамика
- •5. ЭНТРОПИЯ
- •5.1 Определение и свойства энтропии
- •5.2 Энтропия в химической термодинамике
- •5.3 Энтропия в статистической физике
- •5.3.1 Энтропия Больцмана-Планка
- •5.3.2 Энтропия Гиббса
- •5.4 Тсаллис (Цаллис) энтропия (Революция в термодинамике)
- •6. ГЕОМЕТРИЯ ФРАКТАЛОВ
- •6.1 Элементы геометрии фракталов
- •6.2 Размерности фракталов
- •6.3 Примеры фракталов
- •6.4 Фракталы и энтропия
- •7. ИНФОРМАТИКА
- •7.1 Информация, информатика и информационные технологии
- •7.2 Теория информации
- •7.2.1 Информация Хартли
- •7.2.2 Энтропия Шеннона
- •7.3 Отрицательная энтропия, антиэнтропия, экстропия
- •7.4 Алгоритмическая теория информации
- •7.4.1 Энтропия Колмогорова
- •7.4.2 Эпсилон-энтропия
- •7.5 Энтропия Кульбака-Лернера
- •7.6 Энтропия Реньи
- •7.7 Квантовая информатика
- •7.7.1 Некоторые положения квантовой механики
- •7.7.2 Энтропия фон Неймана
- •7.7.3 Линейная энтропия
- •7.7.4 Сравнение энтропий Реньи, Цаллиса и Неймана
- •7.7.5 Энтропия Холево
- •8. СИНЕРГЕТИКА
- •8.1 Синергизм и синергетика
- •8.2 Детерминизм, случайность и неопределённость
- •8.3 Простые и сложные системы
- •8.4 Анализ систем
- •8.5 Параметры порядка (управляющие параметры)
- •8.6 Процессы самоорганизации
- •9. СИСТЕМЫ И ЗАКОНЫ ИХ ЭВОЛЮЦИИ
- •9.1 Статические системы
- •9.2 Динамические системы
- •9.3 Линейные динамические системы
- •9.4 Нелинейные динамические системы
- •9.5 Эволюция динамической системы
- •9.6 Математическое описание эволюции динамической системы
- •10. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ОПИСАНИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- •10.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •10.2 Фазовое пространство и пространство состояний
- •10.3 Линейные ОДУ на плоскости
- •10.4 Нелинейные дифференциальные уравнения
- •11. ОТОБРАЖЕНИЯ
- •11.1 Системы с дискретным временем в отображениях
- •11.2 Итерации в исследовании динамических систем
- •11.3 Графические методы нахождения неподвижных точек и исследования их свойств
- •11.4 Многопараметрические отображения
- •11.5 Примеры некоторых важные отображений
- •12. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- •12.1 Дифференциальные уравнения и особые точки
- •12.2 Классификация точек равновесия
- •12.3 Фазовые портреты и особые точки нелинейных ОДУ
- •12.4 Многомерные системы
- •13. РЕГУЛЯРНЫЕ АТТРАКТОРЫ И РЕПЕЛЛЕРЫ
- •13.1 Типы аттракторов
- •13.2 Фазовый объём
- •13.3 Репеллеры
- •13.4 Осциллятор и осцилляции
- •14. УСТОЙЧИВОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- •14.1 Устойчивые и неустойчивые равновесия
- •14.2 Устойчивость по Ляпунову (метод первого приближения)
- •14.3 Показатель Ляпунова
- •14.4 Устойчивость нелинейной системы
- •14.5 Метод функций Ляпунова
- •14.6 Функция Ляпунова и энтропия
- •14.7 Асимптотическая устойчивость
- •14.8 Устойчивость особых точек
- •14.9 Устойчивость особых точек
- •14.10 Устойчивость решений дискретных уравнений
- •15. БИФУРКАЦИИ
- •15.1 Бифуркации: основные понятия и классификация
- •15.2 Элементы теории бифуркаций
- •15.3 Простейшие бифуркации
- •16. БИФУРКАЦИИ ЦИКЛОВ
- •16.1 Предельные циклы
- •16.2 Устойчивость предельных циклов
- •16.3 Бифуркации устойчивых предельных циклов
- •16.5 Бифуркация рождения пары устойчивых замкнутых траекторий.
- •16.6 Транскритическая (обмена устойчивостью между циклами) бифуркация.
- •16.7 Бифуркация исчезновения (рождения) пары замкнутых траекторий.
- •16.8 Бифуркация удвоения периода цикла
- •16.9 Бифуркация рождения (гибели) двумерного тора.
- •16.10 Гомоклиническая бифуркация рождения/исчезновения цикла
- •17. ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС
- •17.1 Хаос статистический и динамический
- •17.2 Предсказание статического поведения системы
- •17.3 Сценарии перехода к хаосу
- •17.4 Примеры систем с хаосом
- •18. ХАОС В ЛИНЕЙНЫХ ОДНОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
- •18.1 Бифуркационные диаграммы
- •18.2 Лестница Ламерея
- •18.3 Отображение Бернулли
- •18.4 Треугольное отображение
- •18.5 Отображение «тент»
- •18.6 Канторов репеллер
- •18.7 Детерминированная диффузия
- •19. ХАОС В ЛОГИСТИЧЕСКОМ ОТОБРАЖЕНИИ
- •19.1 Переход к хаосу через удвоение периода
- •19.2 Логистическое уравнение
- •19.3 Дискретное логистическое уравнение
- •19.4 Логистическое отображение
- •19.5 Бифуркационная диаграмма логистического отображения
- •19.6 Цикл периода 3
- •19.7 Фазовые диаграммы логистического отображения
- •19.8 Аттракторы и фракталы в логистическом отображении
- •20. ХАОС В НЕЛИНЕЙНЫХ ОДНОМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ
- •20.1 Отображение xn+1=С+xn2.
- •20.2 Отображение xn+1=а-xn2.
- •20.3 Подобие окон периодической динамики
- •20.4 Порядок Шарковского
- •20.5 Универсальность Фейгенбаума
- •20.6 Устойчивость циклов одномерных отображений
- •20.7 Топологическая энтропия
- •20.8 Синус-отображение
- •21. ХАОС В НЕЛИНЕЙНЫХ ДВУМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ
- •21.1 Отображение Эно (Henon map)
- •21.2 Отображение подковы и отображение пекаря
- •21.3 Отображение «кот Арнольда» (Arnold’s cat map)
- •22. НЕРЕГУЛЯРНЫЕ АТТРАКТОРЫ
- •22.1 Хаос в консервативных и диссипативных системах
- •22.2 Регулярные и хаотические аттракторы
- •22.3 Квазиаттракторы
- •22.4 Хаотически аттракторы
- •22.5 Негиперболические хаотические аттракторы
- •22.6 Фрактальные аттракторы
- •22.7 Характеристика нерегулярных аттракторов
- •22.8 Странные нехаотические аттракторы
- •22.9 Сингулярные аттракторы
- •22.10 Многомерные нерегулярные аттракторы
- •22.11 Дикие аттракторы
http://profbeckman.narod.ru/
Моим родителям: Бекману Николаю Николаевичу Бекман Валентине Аркадьевне
От автора
"Мир беспорядочно усеян упорядоченными формами. Таковы кристаллы, цветы и листья, разнообразные узоры из полос и пятен на мехах, крыльях и чешуе животных, следы ветра на песке и воде и т. д." – писал французский поэт и философ Поль Валери. Это, конечно, верно. Но реальность к этому не сводится. Мир также упорядоченно усеян беспорядочными формами. Хуже того – он же беспорядочно усеян беспорядочными формами. В мире нет абсолютного хаоса, как нет и абсолютного порядка. Где-то разупорядоченный порядок, где-то в той или иной степени упорядоченный хаос. В сложной системе одновременно присутствуют компоненты с разными типами порядка и разными типами беспорядка: с точки зрения частично организованного хаоса компонентов системы различаются как качественно, так и количественно. Вклады их в структуру варьируются в широком интервале. Не только в статике, но и в динамике, при эволюционном или катастрофическом переходе от одной структуры к другой. В процессах превращений имеют место переходы порядок 1 порядок 2, порядок беспорядок, беспорядок порядок, беспорядок 1 беспорядок 2. Именно соотношение порядокбеспорядок ответственно за устойчивость системы, за возможность и направление перехода из одного состояния в другое, за организацию и самоорганизацию.
В мире царствует монархоанархизм – анархия обеспечивает свободу движения и развития, а монарх (властелин, герой, природная сила) управляет порядком, гарантируя обществу свободу, степень анархии, необходимую ему для комфортного существования и развития.
Эти идеи нужно включить в систему образования. Оказалось, что кроме меня некому.
Я окончил Химический факультет МГУ, кафедру радиохимии. Докторские по химии защитил две: одну по радиохимии, другую по физической химии, профессор по званию – ядерная физика и физика элементарных частиц, руковожу я лабораторией экологической радиохимии. Эти обстоятельства существенно повлияли на выбор тематики моих лекций, учебников и монографий. Основных тем лекций которые я читал 50 лет в МГУ, в четырёх вузах Москвы и четырёх университетах за границей, было несколько: радиохимия, ядерная индустрия и медицина, диффузия, миграция и массоперенос, диффузионное материаловедение и экология (включая радиоэкологию). Первоначально это были совершенно разные курсы, читаемые в разных организациях и разным контингентам слушателей. Их можно найти на сайтах: http://profbeckman.narod.ru, http://becuniver.ucoz.ru и http://beckman4.wixsite.com/igor
Однако постепенно в моём сознании разные курсы начали сливаться. Сама собой возникла междисциплинарная тематика, которою я представлял уже не в прямом общении со студентами-аспирантами-докторантами, а основав в Интернете Междисциплинарный университет Бекмана – дистанционное образование по междисциплинарным направлениям (http://profbeckman.narod.ru). Эта тематика в первую очередь касалась эволюции хорошо упорядоченных, частично разупорядоченных и полностью хаотичных структур, переходам типа порядок-беспорядок-порядок-..., происходящим по внутренним причинам, или под влиянием внешних воздействий.
Попытки ввести подобную тематику в традиционные курсы (термодинамика и кинетика, информация, синергетика и т.п. оказались неэффективными, тем более, что междисциплинарность такого направления начала быстро разрастаться, охватывая всё большее число областей, причём как естественных, так и гуманитарных.
http://profbeckman.narod.ru/
Легко убедиться, что понятия: хаос, беспорядок, непорядок, порядок принизывают живую и неживую материю. Они царствуют в физике, химии, биологии, медицине, технике, астрономии, в экономике, политике, социологии, юриспруденции, религии...
Как сказал тот же Поль Валери:
"Две опасности угрожают миру: порядок и беспорядок".
Опасности надо знать в лицо. Возникла необходимость в создании науки, занимающихся как устойчивыми состояниями (структурами) систем, так и их превращениями, переходами, сопровождающимися изменениями вида и степени упорядочения. Оно и было создано.
Мной и для меня.
Естественно, это направление научной мысли надо было как-то озаглавить. Например, "Хаосметрика", "Порядковедение" и т.п. Такие названия новой науки, конечно, неудачны, и к тому же не приспособлены к международному общению. Лучше заимствовать что-то из греческого языка, латыни, на худой конец – из английского. "Хаоснетика" (в стиле - кибернетика, синергетика) или, скажем "Хаосология" уже лучше. Но я обратился к немецкому, поскольку порядок важнее беспорядка, а для меня порядок – это Ordnung и только Ordnung.
Я родился через две недели после нападения Германии на Россию. Немцы несли нам Порядок, т.е. смерть, ибо мы можем существовать только в бардаке. Не суждена нам воля-вольная, но и порядок нам не нужен. (Вообще-то нужен, но – небольшой и желательно для других). С детства слышал угрозы наступающих оккупантов: Ordnung muss sein (должен быть порядок), Ordnung, Ordnung über alles alles (порядок, везде),
Ordnung ist das halbe Leben (порядок – половина жизни, порядок – душа всякого дела),
Ordnung, Ordnung, liebe sie, sie erspart dir Zeit und Müh (люби порядок, он сбережёт твоё время и твои силы. Порядок время бережёт), in Ordnung (в порядке) и т.д. и т.п. Спасало то, что всегда знал: немец (да и никто другой) нас не возьмёт:
Послушайте, ребята, Что вам расскажет дед. Земля наша богата, Порядка в ней лишь нет.
Не было, нет, и Бог даст – не будет.
Впрочем, и полного беспорядка нет, и, похоже, не будет. Беспорядок с некоторым порядком или порядок с заметной долей беспорядка нас вполне устроит.
В конце концов, все российские революции это не переход одного типа порядка в другой, а смена одного типа (и степени) бардака на другой.
Вот это обстоятельство и следует зафиксировать в названии новой науки.
Я назвал её ОРДНУНГНЕТИКА. Её цель – через анализ и управление достижение оптимального для конкретной ситуации случайного или динамического хаоса, а задачи – создание неупорядоченного мира, комфортного мне, моей семье, государству, нашей цивилизации и всей Вселенной.
Орднунг, конечно орднунг! Но без фанатизма...
Наука "орднунгнетика" имеет глобальный характер: супернаука, сверхнаука, меганаука, метанаука или что-то в этом роде. К сожалению, многие из этих терминов уже
http://profbeckman.narod.ru/
заняты: супернаука – это почему-то нанотехнология (технология никогда не была и никогда не будет наукой!), или – глобальная экология (некогда модная, но теперь погибшая наука), сверхнаука – наука всех наук – это философия (только никем, кроме самих философов, таковой не признана), на звание сверхнауки одно время претендовала синергетика, но её скинули с пьедестала (обозвав по дороге лженаукой), меганаука сначала почему-то означала большой бизнес, требующий огромных затрат, потом к ней отнесли проекты создания исследовательских установок, финансирование создания и эксплуатации которых выходит за рамки возможностей отдельных государств (какое отношение установки имеют к науке?! Мне для занятий наукой вполне достаточно дивана или какого иного ложа), наконец, оказалось, что меганаука – это интерактивные развлекательные и познавательные шоу-программы для детей от 5 до 12 лет, метанаука универсальная наука; наука, претендующая на обоснование и изучение различных наук на основе особого, общего для них метаязыка.
Это всё – личные размышления, а нужно выходить в общество, кому-то что-то преподавать, концентрируя размытые по разным предметам идеи порядка-беспорядка в единый курс. Но ни в Минобразовании, ни в ВАКе такой специальности, как Орднунгнетика нет, ни один ВУЗ спецов по бардаку не готовит. А зря, в России есть, где развернуться! Единственно, что у нас подходит по названию к данной тематике – это "Нелинейная динамика", а на Западе – "Сложные системы". Чтобы как-то потрафить чиновникам и народу я назвал свой курс лекций и учебник "Нелинейная динамика сложных систем". Возможно добавлю "теория и практика" или "в естественных и гуманитарных науках". На самом деле речь идёт о статике и динамике, линейной и нелинейной, открытых и закрытых, простых и сложных системах, упорядоченных и хаотичных, равновесных и неравновесных, стационарных и нестационарных, претерпевающих любые трансформации (монотонная эволюция, бифуркации и катастрофы). Короче – обо всех известных миру структурах и системах, и о всех процессах, какие только можно себе представить. В название всё не включишь.
Поэтому: "Эволюция систем". Метанаука такая.
P.S. Предупреждение! Представленный на сайте материал – первый вариант текста, не отредактированный и не оконченный. Относиться к нему нужно осторожно: возможны опечатки, неточности формулировок, некорректные заимствования и прямые ошибки. В педагогических целях его использовать нельзя. Ждите, пока текст будет доведён до кондиции.
Замечания и предложения приветствуются.
http://profbeckman.narod.ru/
Вы думаете, всё так просто? Да, всё просто. Но совсем не так.
А. Эйнштейн
ПРЕДИСЛОВИЕ
Научное направление под условным названием "Нелинейная динамика сложных систем" (или "Эволюция систем" или "Орднунгнетика") всё шире внедряется как в естественные, так и гуманитарные науки, и служит базой новых технологий. Возникла необходимость подготовки специалистов по данной метанауке. Предлагаемый учебник имеет целью ознакомление студентов с теоретическим описанием динамики простых и сложных, линейных и нелинейных систем, закрытых и открытых, равновесных и неравновесных, стационарных и нестационарных процессов, монотонных изменений, бифуркаций или катастроф, и способам применения математического аппарата нелинейной динамики для решения прикладных задач в термодинамике, синергетике, информатике, физике и химии твёрдого тела, диффузионной кинетики, материаловедения, метеорологии, экологии, геологии, биологии, медицине, экономики и обществоведения, а также химической технологии и ядерной индустрии. Последовательно изложены все основные компоненты нелинейной динамики: теория устойчивости, теория динамического хаоса, эргодическая теория и теория интегрированных систем. Рассмотрены особенности использования обыкновенных дифференциальных уравнений, отображений и теории случайных процессов для описания различных явлений неравновесной динамики. Приведены способы описания сложных систем, переходов типа порядок беспорядок, процессам самоорганизации и автоволновым колебаниям. Основное внимание уделено перспективам совмещения в рамках одного методического подхода различных способов диагностики разупорядоченных структур: видов энтропии, элементов геометрии фракталов, статистических распределений Леви-Парето и дифференциальных уравнений с целыми и дробными производными.
Сразу же отметим, что некоторые главы в учебнике носят вспомогательный характер. Это глава, посвящённая геометрии фракталов, глава по теории катастроф, глава по степенным законам в теории вероятности и глава по дифференциальным уравнениям с дробными частными производными. Сюда же можно отнести некоторые тексты по обыкновенным дифференциальным уравнениям, отображениям, фазовым пространствам и фазовым траекториям, аттракторам и репеллерам, бифуркациям, математической статистике, классической термодинамике. Предполагается, что с подобным материалом читатель был достаточно хорошо знаком ещё до того, как взял в руки этот учебник. Здесь они приведены лишь как напоминание о частично забытых сведениях и для уточнения формулировок.
На первом этапе учебник знакомит читателя с простыми и сложными, линейными и нелинейными, гамильтоновыми и консервативными системами, с порядком, непорядком и беспорядком в их структуре, со статистическим и динамическим (детерминированным) хаосом, с методами определения степени разупорядочения структуры, со сложными процессами в простых системах и с ещё более сложными процессами в сложных системах.
Далее приводятся более-менее известные сведения по равновесной и неравновесной, линейной и нелинейной, стационарной и нестационарной термодинамике закрытых и открытых систем, феноменологический и статистический подходы к описанию процессов в термодинамических системах. Основные принципы термодинамики трактуются как основа дальнейшего развития линейной и нелинейной динамики. К этой же части учебника можно отнести главу, посвящённую энтропии, точнее – нескольким именным энтропиям и их использованию в химической термодинамике, в статистической физике, математике, квантовой механике и т.п. с целью контроля степени разупорядоточения системы. Здесь же обсуждены перспективы внедрения в математика понятий отрицательная энтропия, антиэнтропии и экстропии.
http://profbeckman.narod.ru/
Сравнительная эффективность двух методов оценки степени упорядоченности системы (энтропия и фракталы) иллюстрируется на примере таких научных направлений, как информатика, синергетика и кибернетика. Проводится сопоставление законов термодинамики с законами эволюции живых систем. Синергетика в данном учебнике рассматривается как наука о самоорганизации, возникающей в некоторых типах сложных (диссипативных, динамических) системах. Обсуждается связь синергетики с информатикой и значение в теории самоорганизации таких понятий, как энтропия, фракталы и хаос. Продемонстрированы особенности использования идей синергетики в естественных и гуманитарных науках.
Основная часть книги посвящена теории динамических систем и процессов (как линейных, так и нелинейных). Приводится техника описания изменяющихся во времени систем: обыкновенные дифференциальные уравнения, отображения, фазовые пространства и портреты, аттракторы (регулярные, сингулярные и странные) и репеллеры, локальные и нелокальные бифуркации диссипативных систем, катастрофы, методы исследования устойчивости структур и способы моделирования процессов нелинейной динамики. Здесь же вводятся понятия статистического и динамического (детерминированного) и квантового хаоса и даются их основные характеристики.
Теория динамических систем нашла применение в физической химии (термодинамике, кинетике, диффузии, адсорбции, катализе, газопроницаемости, перколяции и фильтрации пористых сред, материаловедении, в физике и химии твёрдого тела, в том числе – полимеров). Математический аппарат нелинейной динамики оказался полезен в характеристике структур Тьюринга и ячеек Бенара, и в описании процессов реакционной диффузии, автоволновых колебаний, турбулентности, колебательных химических реакций. В подобных системах для интерпретации процессов перехода порядок беспорядок помимо энтропии и фракталов привлекаются степенные законы, различные статистики Леви-Парето, дифференциальные уравнения с целыми и дробными частными производными. Приведены примеры некоторых практически важных ситуаций.
Заключительная глава учебника касается анализа временных рядов (гауссовский, марковский и винеровский процессы), в частности интерпретации эффекта перемежаемости, и участия в этом анализе некоторых аспектов геометрии фракталов. Представлены способы математического описания шумов: белого, красного (коричневого, броуновского), синего (голубого), фиолетового, оранжевого, зелёного, розового (фликкер, мерцательный), серого и чёрного.
Обсуждены перспективы развития теории и приложений нелинейной динамики в естественных и гуманитарных науках.
Учебник составлен на основе курсов лекций, читаемых автором в течение нескольких лет в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова, и в некоторых других отечественных и зарубежных университетах для студентов и аспирантов.
Автор выражает признательность Э.М. Бекман и И.М. Бунцевой за постоянную помощь и поддержку.