- •Аннотация
- •От автора
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1. СИСТЕМЫ И ПРОЦЕССЫ
- •2. ПОРЯДОК, НЕПОРЯДОК, БЕСПОРЯДОК И ХАОС
- •3. ТЕРМОДИНАМИКА
- •3.1 Начала термодинамики
- •3.2 Равновесная термодинамика
- •4. НЕРАВНОВЕСНАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
- •4.1 Диссипативные структуры, системы и среды
- •4.2 Термодинамика необратимых процессов
- •4.3 Линейная неравновесная термодинамика
- •4.4 Нелинейная неравновесная термодинамика
- •4.5 Статистическая термодинамика
- •5. ЭНТРОПИЯ
- •5.1 Определение и свойства энтропии
- •5.2 Энтропия в химической термодинамике
- •5.3 Энтропия в статистической физике
- •5.3.1 Энтропия Больцмана-Планка
- •5.3.2 Энтропия Гиббса
- •5.4 Тсаллис (Цаллис) энтропия (Революция в термодинамике)
- •6. ГЕОМЕТРИЯ ФРАКТАЛОВ
- •6.1 Элементы геометрии фракталов
- •6.2 Размерности фракталов
- •6.3 Примеры фракталов
- •6.4 Фракталы и энтропия
- •7. ИНФОРМАТИКА
- •7.1 Информация, информатика и информационные технологии
- •7.2 Теория информации
- •7.2.1 Информация Хартли
- •7.2.2 Энтропия Шеннона
- •7.3 Отрицательная энтропия, антиэнтропия, экстропия
- •7.4 Алгоритмическая теория информации
- •7.4.1 Энтропия Колмогорова
- •7.4.2 Эпсилон-энтропия
- •7.5 Энтропия Кульбака-Лернера
- •7.6 Энтропия Реньи
- •7.7 Квантовая информатика
- •7.7.1 Некоторые положения квантовой механики
- •7.7.2 Энтропия фон Неймана
- •7.7.3 Линейная энтропия
- •7.7.4 Сравнение энтропий Реньи, Цаллиса и Неймана
- •7.7.5 Энтропия Холево
- •8. СИНЕРГЕТИКА
- •8.1 Синергизм и синергетика
- •8.2 Детерминизм, случайность и неопределённость
- •8.3 Простые и сложные системы
- •8.4 Анализ систем
- •8.5 Параметры порядка (управляющие параметры)
- •8.6 Процессы самоорганизации
- •9. СИСТЕМЫ И ЗАКОНЫ ИХ ЭВОЛЮЦИИ
- •9.1 Статические системы
- •9.2 Динамические системы
- •9.3 Линейные динамические системы
- •9.4 Нелинейные динамические системы
- •9.5 Эволюция динамической системы
- •9.6 Математическое описание эволюции динамической системы
- •10. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ОПИСАНИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- •10.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •10.2 Фазовое пространство и пространство состояний
- •10.3 Линейные ОДУ на плоскости
- •10.4 Нелинейные дифференциальные уравнения
- •11. ОТОБРАЖЕНИЯ
- •11.1 Системы с дискретным временем в отображениях
- •11.2 Итерации в исследовании динамических систем
- •11.3 Графические методы нахождения неподвижных точек и исследования их свойств
- •11.4 Многопараметрические отображения
- •11.5 Примеры некоторых важные отображений
- •12. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- •12.1 Дифференциальные уравнения и особые точки
- •12.2 Классификация точек равновесия
- •12.3 Фазовые портреты и особые точки нелинейных ОДУ
- •12.4 Многомерные системы
- •13. РЕГУЛЯРНЫЕ АТТРАКТОРЫ И РЕПЕЛЛЕРЫ
- •13.1 Типы аттракторов
- •13.2 Фазовый объём
- •13.3 Репеллеры
- •13.4 Осциллятор и осцилляции
- •14. УСТОЙЧИВОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- •14.1 Устойчивые и неустойчивые равновесия
- •14.2 Устойчивость по Ляпунову (метод первого приближения)
- •14.3 Показатель Ляпунова
- •14.4 Устойчивость нелинейной системы
- •14.5 Метод функций Ляпунова
- •14.6 Функция Ляпунова и энтропия
- •14.7 Асимптотическая устойчивость
- •14.8 Устойчивость особых точек
- •14.9 Устойчивость особых точек
- •14.10 Устойчивость решений дискретных уравнений
- •15. БИФУРКАЦИИ
- •15.1 Бифуркации: основные понятия и классификация
- •15.2 Элементы теории бифуркаций
- •15.3 Простейшие бифуркации
- •16. БИФУРКАЦИИ ЦИКЛОВ
- •16.1 Предельные циклы
- •16.2 Устойчивость предельных циклов
- •16.3 Бифуркации устойчивых предельных циклов
- •16.5 Бифуркация рождения пары устойчивых замкнутых траекторий.
- •16.6 Транскритическая (обмена устойчивостью между циклами) бифуркация.
- •16.7 Бифуркация исчезновения (рождения) пары замкнутых траекторий.
- •16.8 Бифуркация удвоения периода цикла
- •16.9 Бифуркация рождения (гибели) двумерного тора.
- •16.10 Гомоклиническая бифуркация рождения/исчезновения цикла
- •17. ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС
- •17.1 Хаос статистический и динамический
- •17.2 Предсказание статического поведения системы
- •17.3 Сценарии перехода к хаосу
- •17.4 Примеры систем с хаосом
- •18. ХАОС В ЛИНЕЙНЫХ ОДНОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
- •18.1 Бифуркационные диаграммы
- •18.2 Лестница Ламерея
- •18.3 Отображение Бернулли
- •18.4 Треугольное отображение
- •18.5 Отображение «тент»
- •18.6 Канторов репеллер
- •18.7 Детерминированная диффузия
- •19. ХАОС В ЛОГИСТИЧЕСКОМ ОТОБРАЖЕНИИ
- •19.1 Переход к хаосу через удвоение периода
- •19.2 Логистическое уравнение
- •19.3 Дискретное логистическое уравнение
- •19.4 Логистическое отображение
- •19.5 Бифуркационная диаграмма логистического отображения
- •19.6 Цикл периода 3
- •19.7 Фазовые диаграммы логистического отображения
- •19.8 Аттракторы и фракталы в логистическом отображении
- •20. ХАОС В НЕЛИНЕЙНЫХ ОДНОМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ
- •20.1 Отображение xn+1=С+xn2.
- •20.2 Отображение xn+1=а-xn2.
- •20.3 Подобие окон периодической динамики
- •20.4 Порядок Шарковского
- •20.5 Универсальность Фейгенбаума
- •20.6 Устойчивость циклов одномерных отображений
- •20.7 Топологическая энтропия
- •20.8 Синус-отображение
- •21. ХАОС В НЕЛИНЕЙНЫХ ДВУМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ
- •21.1 Отображение Эно (Henon map)
- •21.2 Отображение подковы и отображение пекаря
- •21.3 Отображение «кот Арнольда» (Arnold’s cat map)
- •22. НЕРЕГУЛЯРНЫЕ АТТРАКТОРЫ
- •22.1 Хаос в консервативных и диссипативных системах
- •22.2 Регулярные и хаотические аттракторы
- •22.3 Квазиаттракторы
- •22.4 Хаотически аттракторы
- •22.5 Негиперболические хаотические аттракторы
- •22.6 Фрактальные аттракторы
- •22.7 Характеристика нерегулярных аттракторов
- •22.8 Странные нехаотические аттракторы
- •22.9 Сингулярные аттракторы
- •22.10 Многомерные нерегулярные аттракторы
- •22.11 Дикие аттракторы
http://profbeckman.narod.ru/
18.4Треугольное отображение
Ороли треугольника в построении фракталов мы уже говорили: кривая фон Коха и снежинка Коха, треугольная салфетка Серпинского, двумерные стохастические фракталы, используемые для моделирования сильно развитого рельефа поверхности и др. Простая динамическая система, траектории которой образуют на плоскости Пуанкаре треугольное отображение, может служить моделью необратимой эволюции.
Простой вариант треугольного отображения имеет вид:
1 xn 1 1 2 xn 2
В более общем виде:
x = (x )=2rx mod1 r 1
n+1 r n n
|
|
|
|
|
|
|
(23) |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
х |
|
), n=1, 2, 3,..., |
(24) |
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Заметим, что если параметр r удовлетворяет условию r<1/2, то х=0 – единственная неподвижная точка, к которой притягиваются все точки из интервала (0, 1); при r>1/2 существуют две неустойчивые неподвижные точки, при этом последовательность {Xn} приобретает свойства хаотичного поведения. График треугольного отображения приведен на рис. 17.
Растяжение приводит к экспоненциальному разбеганию близких траекторий. Складывание возвращает образ в интервал (0, 1) и вызывает необратимость отображения (образ имеет два прообраза).
Рис. 17. График «треугольного отображения».
(25)
Точки пересечения графика с прямой xn+m=xn задают 2m неподвижных точек отображения; из них две – неподвижные точки отображения M. Остальным соответствуют периодические орбиты M. Если начальная точка известна с точностью ±2-m, то положение её образа после m и более итераций предсказать нельзя, треугольное отображение переходит в хаотическим режим.
Рис. 18. Итерации треугольного отображения.
Треугольное отображение – хаотическая система. Разбегание траекторий характеризуется показателем Ляпунова. Для xn 1 отображения f(xn):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
http://profbeckman.narod.ru/ |
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
1 n 1 |
f ' xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ln |
|
|
|
; |
lim |
|
ln |
|
(26) |
||
|
0 |
|
|||||||||||
|
n |
|
n n i 0 |
|
|
|
Показатель Ляпунова для треугольного отображения вдоль типичной траектории равен =ln2>0, при r=1 инвариантная мера р(х)=1. Положительное значение показателя экспоненты демонстрирует, что система неустойчива и склонна к детерминированному хаосу. Типичная траектория треугольного отображения равномерно покрывает интервал
(0, 1).
18.5 Отображение «тент»
Отображение тент получило название за форму своего графика, напоминающего палатку – тент. Способно приводить к специфическим хаотическим эффектам.
Как показано выше, отображение Пила описывается кусочно-линейной сингулярной функцией, определённой на полуотрезке [0, 1] с разрывом по середине и непрерывной только справа. Отображение Тент описывается кусочно-линейной сингулярной функцией, определённой на всём отрезке [0, 1] без разрыва, т.е. в отличие от Пилы является непрерывным отображением и справа и слева. С этой точки зрения Тент - самая простая из известных моделей хаоса.
Отображение тент – простейшая нелинейная функция, состоящая из двух линейных функций
2 x
Т x
2 (1 x)
где 0 1 и 0х1.
для |
0 x |
1 |
|
|
|||
|
|
||||||
|
|
1 |
2 |
|
(27) |
||
для |
x 1 |
||||||
|
|||||||
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
Другое представление: f =2min{x, 1-x}
Рис. 19. График функции тент
Отображение тент непрерывно, линейно на каждом отрезке (−1, 1/2] и [1/2, 1) (с
соответствующими наклонами и − ) и на своём графике имеют точки (0,0) и (1,0). Максимальное значение равное r достигается при x=0,5.
Отображение тент кусочно-линейно, что облегчает его анализ отображения. Хотя форма отображения тент проста и уравнения линейны (две прямые), для некоторых значений параметров это отображение может приводить к сложному поведению, включающему существование периодических орбит, перемешивание, чувствительность к начальным условиям и. хаотичность. Отображение тент, как и отражение сдвига Бернулли, чувствительно к начальным условиям, однако поведение отображения тент к тому же сильно зависит от величины параметра : оно может быть хорошо предсказуемым, но может быть и хаотичным.
Замечание. Логистическое отображение (см. следующую лекцию) и отображение тент топологически сопряжены при r=4 (для логистического) и =1 (для тента), т.е. их поведения совпадают.
Рассмотрим итерации xn+1=f(xn). Неподвижная точка или точка периода 1 динамической системы (27) есть точка, при которой xn+1=f(xn)=xn для всех n. Для отображения тент это означает, что Tr(xn)=xn. Как уже упоминалось, неподвижные точки - это точки пересечения отображения Tr с прямой y=x. Рис. 20(а-в) демонстрируют Т для =2/7, 1/2 и 5/6. С ростом r высота графика Tr возрастает. Если 0< <1/2, то T пересекает линию y=x один раз (при 0), тогда как если 1/2< <1, то имеются две точки пересечения.
Свойства:
http://profbeckman.narod.ru/
Если 0< <1/2, то единственная неподвижная точка х=0 является притягивающей точкой: система будет стремиться к нулю с устремлением времени в бесконечность при любом исходном значении x из отрезка [0;1]. Если 0<x<1/2 то 0T (x)=2x<x, а если
1/2<x1, то 0T (x)=2 (1-x)<1-x<-0,5<x. Следовательно, для любого x[0, 1]
последовательность |
T n x |
ограничена и уменьшается; |
благодаря непрерывности Тr |
|
|
|
n 0 |
|
|
последовательность |
сходится |
к неподвижной точке 0. |
Следовательно точка 0 – |
притягивающая неподвижная точка (стабильна). Её бассейн притяжения [0, 1].
Рис. 20. Итерации отображения тент.
Рис. 21. Вторая и третья итерация отображения тент; неподвижные точки:
на а =1 неподвижнык точки при х=0 и х=2/3, б – =1четыре неподвижные точки: 0, 2/3 и две нестабильные точки орбиты с периодом 2: при х=2/5 и 4/5.
Если =0,5, то все значения x<0,5 – неподвижные точки системы; каждая точка в [0, 1] есть или неподвижная точка Т1/2 или неподвижная точка первой итерации.
Рис. 22. Переход отображения тент в отображение сдвиг Бернулли.
Если 1/2< <1, то система имеет две неподвижные точки: одну при 0, а другую на отрезке (1/2, 1] при значении p=2 /(1+2 ) (р находится решением уравнения p=T (p)=2 (1-p)). При увеличении от 1/2 к 1, р уменьшается от 1/2
до 2/3. Поскольку T ' x 2 1 на [0, 1] за
исключение при 1/2, обе 0 и р – повторяющиеся неподвижные точки. Обе неподвижные точки нестабильны, т.е. значение х вблизи такой
неподвижной точки будет двигаться от неё, чем к ней. Периода-2 неподвижные точки T - неподвижные точки T [2] , которые задаются
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
http://profbeckman.narod.ru/ |
|
|
|
|
4 2 x |
для |
0 x 1/ 4 |
|
|
||
T 2 |
|
|
|
2 1 2 x |
для |
1/ 4 x 1/ 2 |
|
|
||
(x) |
|
|
|
(28) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
для |
1/ 2 x 1 1/ 4 |
||
|
|
2 1 2 2 x |
||||||||
|
|
|
|
4 |
2 |
(1 x) |
для |
1 1/ 4 x 1 |
|
|
|
|
|
[2] |
|
[2] |
|
||||
График T |
предполагает, что для 1/2< <1, T |
имеют четыре фиксированных |
||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
точки, которые находят решением четырёх уравнений х=Т [2](x) возникающих из определения Т [2]. Четыре неподвижные точки есть 0, 2 /(1+42), 2 /(1+2 ) и 42/(1+42).
Первая и третья – две неподвижные точки Т , для которых |
2 |
, |
|
42 |
|
|
есть 2-цикл |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
1 4 |
|
|||||||
|
|
T 2 '(x) |
|
|
|
1 4 |
|
|
|
|
|||
для Т . Этот 2-цикл – отталкивающий, т.к. |
|
|
4 2 |
1, где производная определена. |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку график Т [2](x) линеен на 2n подинтервалах [0,1/2n,...,[1-1/2n,1], можно описать вариации всех повторяющихся n-циклов Т .
Если 0 2 / 2 , множества интервалов является множество Жюлиа отображения тент, т.е. инвариантное множество точек, чьи орбиты неустойчивы. Оно является нигде не плотным и гомеоморфном канторову множеству.
Если > 2 / 2 , то точки сливаются в множество Жюлиа.
Если =1, то отображение тент переходит в отображение сдвиг Бернулли, T. Как и для отображения зуба пилы, умножение x на 2 соответствует сдвигу двоичного числа на один разряд влево. Орбиты с большей длиной появляются при увеличении μ. Например:
2 |
|
при =0,5 |
|
|
|
||
2 |
4 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
при |
1 |
|
|
0,81 |
|
5 |
|||||||
3 |
8 |
4 |
|
|
|
||
8 |
при 0,92 |
|
|
|
|||
4 |
16 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Как и все члены {T }, точка 0 является неподвижной точкой T. Так как x=T(x)=2(1- x), то x=2/3 – вторая неподвижная точка T. На рис. 23(б и в) видно, что T[2] и T[3] имеют
соответственно четыре и восемь неподвижных точек, соответственно. Таким образом, T-
отображение имеет периода-2 две точки и шесть периода-3 точки, которые можно оценить, решив уравнения x=T[2](x) и x=T[3](x) для x.
Рис. 23. Несколько итераций отображения тент.
http://profbeckman.narod.ru/
Рис. 24. Примеры равновесия и периодической орбиты в отображении тент.
x |
2 |
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
n |
sin |
yn |
|
||||
|
|
Автокорреляционная функция для достаточно длинной последовательности {xn} показывает нулевую автокорреляцию при всех ненулевых запаздываниях. Поэтому нельзя отличить последовательность от белого шума с помощью автокорреляционной функции. Заметим, что случай r=4 логистического отображения и случай =1 отображения тента гомеоморфны друг другу. Действительно, пусть xn – орбита отображения тент при =1, а yn – орбита логистического отображения для r=4, тогда они связаны соотношением:
Рис. 25. График случая =1 для 1, 2 и 3 итераций отображения тент
(29)
Если >1, то множество Жюлиа отображения все еще содержит бесконечное количество и периодических, и непериодических точек, но почти всюду точки отрезка [0;1]} стремятся к бесконечности. Само множество становится канторовым. В частности, множество Жюлиа отображения тент для =3 – стандартное канторово множество.
Рис. 26. Орбиты отображения тент для =1, выраженные в действительных числах.
Исследовать поведение отображения тент удобно методом паутины. Продемонстрируем этот способ на трех итерациях. Начальное значение x=0.23, число итераций равно 3, количество повторов для отображения и параметр =1 (рис. 24а, б и в). На рис. 24г показан участок паутины из 10 итераций. Начальное значение равно x= 0,789. Демонстрируется приближение к началу координат.
Рис. 27. Графики нескольких итераций отображения тент для: а – =0,325; б - =0,6 ( < 2 /2); в - =0,9 ( < 2 /2).
Показатель Ляпунова для отображения тент
|
1 n 1 |
|
|
|
lim |
|
log2 |
|
log2 |
|
||||
n n n 0 |
|
(30) |
Кусочно-линейное одномерное отображение на отрезке [0, 1], заданное xn+1= (1-2|xn-0,5|) проявляет хаотическую динамику.
Первые несколько итераций
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
2 |
|
х |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
х |
2 |
1 2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
|
2 |
|
2 |
|
1 2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где x0 – начальное значение, нанесенное выше на пять итераций (с увеличением номера итерации, обозначенного цветами, 1 –
http://profbeckman.narod.ru/
красным, 2 – жёлтым, 3 – зелёным, 4 – синим, а 5 – фиолетовым) для различных значений(рис. 25).
Хаотическая орбита для отображения тент при =1 представлена на рис. 28. Вообще говоря, подобные орбиты возникают для любого начального условия, как только превысит 1/2.
Рис. 28. Хаотическая фазовая траектория отображения тент при =1 (диаграмма паутины),
=0,5, n=1.
Часто мы хотим знать, как поведение системы зависит от параметров. В случае отображения тент T мы имеем единственный параметр , и знаем, что существует устойчивое равновесие при <1/2, при >1/2 существуют
два неустойчивых равновесия, некоторые неустойчивые периодические решения и хаотические решения.
Рис. 29. Итерации отражения тент при различных значениях параметра .
Общий обзор зависимости решений от параметра даёт бифуркационная диаграмма. При её построении на абсциссу наносим значения , а на ординату – все значения x с орбиты для этого значения . Неподвижные точки отображаются как одна точка, периодическая орбита – как несколько точек, а хаотическая орбита – как полоса или несколько полос точек. Бифуркационная диаграмма отображения тент приведена на рис. 31. Более высокая плотность потемнения указывает на большую вероятность того, что переменная x получит именно это значение при данном значении
параметра μ.
Рис. 30. Фазовые траектории отображения тент: а – две