- •Аннотация
- •От автора
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1. СИСТЕМЫ И ПРОЦЕССЫ
- •2. ПОРЯДОК, НЕПОРЯДОК, БЕСПОРЯДОК И ХАОС
- •3. ТЕРМОДИНАМИКА
- •3.1 Начала термодинамики
- •3.2 Равновесная термодинамика
- •4. НЕРАВНОВЕСНАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
- •4.1 Диссипативные структуры, системы и среды
- •4.2 Термодинамика необратимых процессов
- •4.3 Линейная неравновесная термодинамика
- •4.4 Нелинейная неравновесная термодинамика
- •4.5 Статистическая термодинамика
- •5. ЭНТРОПИЯ
- •5.1 Определение и свойства энтропии
- •5.2 Энтропия в химической термодинамике
- •5.3 Энтропия в статистической физике
- •5.3.1 Энтропия Больцмана-Планка
- •5.3.2 Энтропия Гиббса
- •5.4 Тсаллис (Цаллис) энтропия (Революция в термодинамике)
- •6. ГЕОМЕТРИЯ ФРАКТАЛОВ
- •6.1 Элементы геометрии фракталов
- •6.2 Размерности фракталов
- •6.3 Примеры фракталов
- •6.4 Фракталы и энтропия
- •7. ИНФОРМАТИКА
- •7.1 Информация, информатика и информационные технологии
- •7.2 Теория информации
- •7.2.1 Информация Хартли
- •7.2.2 Энтропия Шеннона
- •7.3 Отрицательная энтропия, антиэнтропия, экстропия
- •7.4 Алгоритмическая теория информации
- •7.4.1 Энтропия Колмогорова
- •7.4.2 Эпсилон-энтропия
- •7.5 Энтропия Кульбака-Лернера
- •7.6 Энтропия Реньи
- •7.7 Квантовая информатика
- •7.7.1 Некоторые положения квантовой механики
- •7.7.2 Энтропия фон Неймана
- •7.7.3 Линейная энтропия
- •7.7.4 Сравнение энтропий Реньи, Цаллиса и Неймана
- •7.7.5 Энтропия Холево
- •8. СИНЕРГЕТИКА
- •8.1 Синергизм и синергетика
- •8.2 Детерминизм, случайность и неопределённость
- •8.3 Простые и сложные системы
- •8.4 Анализ систем
- •8.5 Параметры порядка (управляющие параметры)
- •8.6 Процессы самоорганизации
- •9. СИСТЕМЫ И ЗАКОНЫ ИХ ЭВОЛЮЦИИ
- •9.1 Статические системы
- •9.2 Динамические системы
- •9.3 Линейные динамические системы
- •9.4 Нелинейные динамические системы
- •9.5 Эволюция динамической системы
- •9.6 Математическое описание эволюции динамической системы
- •10. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ОПИСАНИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- •10.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •10.2 Фазовое пространство и пространство состояний
- •10.3 Линейные ОДУ на плоскости
- •10.4 Нелинейные дифференциальные уравнения
- •11. ОТОБРАЖЕНИЯ
- •11.1 Системы с дискретным временем в отображениях
- •11.2 Итерации в исследовании динамических систем
- •11.3 Графические методы нахождения неподвижных точек и исследования их свойств
- •11.4 Многопараметрические отображения
- •11.5 Примеры некоторых важные отображений
- •12. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- •12.1 Дифференциальные уравнения и особые точки
- •12.2 Классификация точек равновесия
- •12.3 Фазовые портреты и особые точки нелинейных ОДУ
- •12.4 Многомерные системы
- •13. РЕГУЛЯРНЫЕ АТТРАКТОРЫ И РЕПЕЛЛЕРЫ
- •13.1 Типы аттракторов
- •13.2 Фазовый объём
- •13.3 Репеллеры
- •13.4 Осциллятор и осцилляции
- •14. УСТОЙЧИВОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- •14.1 Устойчивые и неустойчивые равновесия
- •14.2 Устойчивость по Ляпунову (метод первого приближения)
- •14.3 Показатель Ляпунова
- •14.4 Устойчивость нелинейной системы
- •14.5 Метод функций Ляпунова
- •14.6 Функция Ляпунова и энтропия
- •14.7 Асимптотическая устойчивость
- •14.8 Устойчивость особых точек
- •14.9 Устойчивость особых точек
- •14.10 Устойчивость решений дискретных уравнений
- •15. БИФУРКАЦИИ
- •15.1 Бифуркации: основные понятия и классификация
- •15.2 Элементы теории бифуркаций
- •15.3 Простейшие бифуркации
- •16. БИФУРКАЦИИ ЦИКЛОВ
- •16.1 Предельные циклы
- •16.2 Устойчивость предельных циклов
- •16.3 Бифуркации устойчивых предельных циклов
- •16.5 Бифуркация рождения пары устойчивых замкнутых траекторий.
- •16.6 Транскритическая (обмена устойчивостью между циклами) бифуркация.
- •16.7 Бифуркация исчезновения (рождения) пары замкнутых траекторий.
- •16.8 Бифуркация удвоения периода цикла
- •16.9 Бифуркация рождения (гибели) двумерного тора.
- •16.10 Гомоклиническая бифуркация рождения/исчезновения цикла
- •17. ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС
- •17.1 Хаос статистический и динамический
- •17.2 Предсказание статического поведения системы
- •17.3 Сценарии перехода к хаосу
- •17.4 Примеры систем с хаосом
- •18. ХАОС В ЛИНЕЙНЫХ ОДНОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
- •18.1 Бифуркационные диаграммы
- •18.2 Лестница Ламерея
- •18.3 Отображение Бернулли
- •18.4 Треугольное отображение
- •18.5 Отображение «тент»
- •18.6 Канторов репеллер
- •18.7 Детерминированная диффузия
- •19. ХАОС В ЛОГИСТИЧЕСКОМ ОТОБРАЖЕНИИ
- •19.1 Переход к хаосу через удвоение периода
- •19.2 Логистическое уравнение
- •19.3 Дискретное логистическое уравнение
- •19.4 Логистическое отображение
- •19.5 Бифуркационная диаграмма логистического отображения
- •19.6 Цикл периода 3
- •19.7 Фазовые диаграммы логистического отображения
- •19.8 Аттракторы и фракталы в логистическом отображении
- •20. ХАОС В НЕЛИНЕЙНЫХ ОДНОМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ
- •20.1 Отображение xn+1=С+xn2.
- •20.2 Отображение xn+1=а-xn2.
- •20.3 Подобие окон периодической динамики
- •20.4 Порядок Шарковского
- •20.5 Универсальность Фейгенбаума
- •20.6 Устойчивость циклов одномерных отображений
- •20.7 Топологическая энтропия
- •20.8 Синус-отображение
- •21. ХАОС В НЕЛИНЕЙНЫХ ДВУМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ
- •21.1 Отображение Эно (Henon map)
- •21.2 Отображение подковы и отображение пекаря
- •21.3 Отображение «кот Арнольда» (Arnold’s cat map)
- •22. НЕРЕГУЛЯРНЫЕ АТТРАКТОРЫ
- •22.1 Хаос в консервативных и диссипативных системах
- •22.2 Регулярные и хаотические аттракторы
- •22.3 Квазиаттракторы
- •22.4 Хаотически аттракторы
- •22.5 Негиперболические хаотические аттракторы
- •22.6 Фрактальные аттракторы
- •22.7 Характеристика нерегулярных аттракторов
- •22.8 Странные нехаотические аттракторы
- •22.9 Сингулярные аттракторы
- •22.10 Многомерные нерегулярные аттракторы
- •22.11 Дикие аттракторы
http://profbeckman.narod.ru/
представлен на рис. 17в, обладает следующими динамическими свойствами. Положение равновесия устойчиво и область устойчивости его ограничена предельным циклом Г1. Если в начальные условия находятся вне заштрихованной области, ограниченной предельным циклом Г1, то в системе возникают автоколебания, обусловленные предельным циклом Г2. Областью притяжения предельного цикла Г2 является вся фазовая плоскость за исключением области устойчивости положения равновесия (х=0, y=0). Отметим, что неустойчивый предельный цикл Г1 – это замкнутая кривая, являющаяся границей между двумя областями.
Если известны все состояния равновесия, предельные циклы и их характер, а также расположение сепаратрис, то можно считать установленной топологическую структуру разбиения фазовой плоскости на траектории.
14.9 Устойчивость особых точек
Для более полного освоения изложенного в данной главе материала, приведём несколько примеров задач с решениями.
Пример 1. Кинетика радиоактивного распада dN N , дифференциальное уравнение которой dt
имеет вид x ax, где <0 определяет динамику распада ядра. Фазовый портрет представляет собой одну неподвижную точку x 0. Функция f(x)>0 слева от неподвижной точки и f(x)<0 справа
от неё. Траектории стремятся к неподвижной точке. В этом примере неподвижная точка x 0 – устойчивая. Такой тип неподвижной точки на прямой, когда траектории стремятся к ней с обеих сторон, есть аттрактор.
Пример 2. Общее решение этого уравнения dx/dt=-x, x(t0)=x(0) есть x=Cexp(-t). Решение, удовлетворяющее начальному условию, имеет вид x=x(0)exp(t0-t). Если теперь мы зададим другое
начальное условие |
х |
(t0 ) |
x |
(0) , |
то |
решение |
будет |
x |
|
x |
(0)exp(t0 t) . |
Отсюда |
|||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
x(0) |
|
(0) |
|
exp(t0 |
t0 ) 0 при |
t t0. |
Поэтому, |
если |
x(0) |
x |
(0) |
, то |
решение |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x |
x |
x=x(0)exp(t0-t) устойчиво по Ляпунову при t t0. Это решение также и асимптотически устойчиво,
так как lim |
x |
x |
|
lim |
x(0) |
x |
exp(t |
0 t) 0. |
t |
|
|
|
t |
|
|
|
Пример 3. Для уравнения x x x x x0 x exp(t0 t)для t t0 при любом t0. Каково бы ни
было t0 при t t0, решение x неустойчиво, так как сомножитель exp(t-t0) при t . Так как f(x0)=0, то здесь могут быть три существенно различных случая:
1)f(x) меняет знак вблизи состояния равновесия х=х0 с плюса на минус при возрастании х. Отсюда следует, что точка, находящаяся в достаточной близости к состоянию равновесия х=х0, будут асимптотически к нему приближаться при возрастании t. В этом случае состояние равновесия устойчиво по Ляпунову.
2)f(x) меняет знак вблизи состояния равновесия х=х0 с минуса на плюс при возрастании х. Это значит, что изображающая точка, помещённая в достаточной близости к состоянию равновесия, будет удаляться от состояния равновесия; отсюда следует, что состояние равновесия неустойчиво в смысле Ляпунова.
3)f(x) не меняет знака вблизи состояния равновесия х=х0 при возрастании х. Это значит, что
изображающая точка, помещенная с другой – удаляться. Состояние равновесия неустойчиво по Ляпунову.
|
2 |
, |
u(0) u0 , |
где α некий переменный параметр, а – |
||
Пример 4. Решение уравненияu u |
|
|||||
некоторое возмущение начального условия, имеет вид u(t) |
u0 |
. Это непрерывная |
||||
1 u0 t |
функция как от α, так и от ε, поэтому небольшое изменение в исходных данных или в уравнении приводит к небольшому изменению решения – по крайней мере, в моменты времени, близкие к началу процесса.
Однако непрерывная зависимость не исключает того, что решения, первоначально находившиеся близко друг к дугу, со временем не отойдут далеко друг от друга. Действительно, в
|
|
|
|
|
http://profbeckman.narod.ru/ |
|
этом примере критическое время |
t |
1 |
|
|
зависит, как от начального состояния, так и от |
|
u0 |
|
|||||
|
|
|
параметра уравнения. Таким образом, при приближении к сингулярности, решения, которые вначале были очень близки друг к другу, при развитии процесса оказываются произвольно
удаленными друг от друга. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 5. Исследовать на асимптотическую устойчивость нулевое решение уравнения |
|
|
||||||||||||||||||||||
y(5)+3y(4)+6y''+7y''+4y'+4y=0. Характеристический многочлен P5( )= 5+3 4+6 3+7 2+4 +4 |
и а0=1, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3 |
1 |
0 |
|
2 |
11, |
||
а1=3, а2=6, а3=7, а4=4, а5=4. Матрица Гурвица имеет вид 7 |
. 1=3, |
7 |
6 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
7 |
6 |
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
4 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
1 |
0 |
|
|
|
|
3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
7 |
6 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
7 |
6 |
3 |
53, 4 |
20 |
, |
|
7 |
6 |
3 |
1 |
0 |
|
|
|
.Поскольку 4<0, то |
||||||||
4 |
4 |
7 |
6 |
5 |
4 |
4 |
7 |
6 |
3 |
|
|
|
||||||||||||
|
4 |
4 |
7 |
|
|
|
4( 20) 80 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
0 |
0 |
4 |
4 |
|
|
|
0 |
0 |
4 |
4 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
есть корни, лежащие в левой полуплоскости или на мнимой оси и нет асимптотической устойчивости нулевого решения. Для многочлена третьей степени P3( )= 3+а1 2+а2 +а3
необходимые и достаточные условия того, |
что корни |
лежат строго в левой полуплоскости |
||||||||||||||||||
следующие: a1>0, a1a2>a3, a3>0, a1>0, |
|
а1 |
1 |
|
0, |
|
a1 |
1 |
0 |
|
a |
|
a1 |
1 |
|
0 . Если a1>0, a2>0, a3>0, |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
a |
a |
|
a |
|
|
|
|||||||||||
|
|
а |
а |
2 |
|
|
|
3 |
|
2 |
1 |
|
3 |
|
a |
3 |
a |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
0 |
0 |
a3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но a1a2=a3, то 3+а1 2+а2 +а1а2= 2( +а1)+а2( +а1)=( +а1)( 2+а2). Здесь есть один отрицательный вещественный корень и два чисто мнимых. Решения соответствующего уравнения будет устойчивым, но чисто асимптотически.
Пример 6. Рассмотрим дифференциальное уравнение |
|
u u |
3 |
. |
Решив |
алгебраическое |
||||||
u |
|
|||||||||||
3 |
уравнение имеет три равновесия: u |
|
=-1, u |
=0, u |
=+1. Если u |
|||||||
уравнение F(u)=u-u =0, находим, что |
|
3 |
переходит от |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
увеличивается, график функции F(u)=u-u |
|
положительного |
к |
отрицательному |
решению в первой точке равновесия u 1=-1, что доказывает её устойчивость. Аналогично, график возвращается от положительных к отрицательным значениям при u 2=0, демонстрируя неустойчивость второго равновесия.
Окончательное равновесие u 3=+1 устойчиво, так как F(u) снова меняется от отрицательного к положительному.
Любое решение с отрицательным начальным условием, u0<0, будет асимптотически заканчиваться при первом равновесии u(t)→-1 при t→∞. Действительно, если u0<-1, то u(t) монотонно возрастает до - 1, а если -1<u0<0, то решение
уменьшается в сторону -1. С другой стороны, если u0> 0, то соответствующее решение заканчивается в другом устойчивом равновесии u(t)→+1; те, у которых 0<u0<1, монотонно возрастают, а единицы с u0>1 убывают. Единственное решение, которое не заканчивается ни на -1, ни на +1 при t→∞, является неустойчивым равновесным решением u(t)≡0. Любое его возмущение, независимо от того, насколько оно крошечно, заставит решения выбрать один из устойчивые равновесия. Заметим, что все кривые, за исключением горизонтальной оси, сходятся к одному из устойчивых решений ±1 и расходятся от неустойчивого решения 0 при t→∞.
Рис. 19. Стабильность уравнения u u u3.
Например, в предыдущем примере, F'(u)=1-3u2 при равновесии F'(-1)=-2<0, F'(0)=1>0, F'(1)=-2<0. Знаки подтверждают вывод о том, что ± 1 – стабильные равновесия, а 0 – равновесие
http://profbeckman.narod.ru/
неустойчиво. В пограничном случае, когда F'(u )=0, производный тест неубедителен и необходим дополнительный анализ для определения состояния точки равновесия. Например, уравнения u u3 и u u3 удовлетворяют F'(0)=0 в точке равновесия u =0. Но первое имеет неустойчивое равновесие, а последнее стабильно.
Пример 7. Пусть возмущенное движение описывается уравнениями dx/dy=y-2x3, dy/dt=-x-5y3 с состоянием равновесия х=y=0. Линеаризация уравнений (dx/dy=y и dy/dt=-x) приводит к общему
уравнению возмущенно движения |
d 2 x |
x 0 |
c мнимыми корнями характеристического |
||
dt |
2 |
||||
|
|
|
движения, что означает неасимптотическую устойчивость состояния равновесия линеаризованной системы и, как следствие, необходимость анализа устойчивости нелинеаризованной системы. Выберем знакопеременную (определённо-положительную) функцию Ляпунова вида V(x,y)=x2+y2. Производную по времени функции Ляпунова вычисляем как производную сложной функции dV V dx V dy . Тогда dV/dt=2x(y-2x3)-2y(x+5y3)=-2(2x4+5y4). Производная dV/dt оказалась
dt |
x dt |
y dt |
знакопеременной функцией противоположного с V знака – определенно-отрицательной. Следовательно, в силу упомянутой выше второй теоремы Ляпунова состояние равновесия нелинейной системы асимптотически устойчивое.
Пример 8. Исследуем на устойчивость нулевое решение системы ̇= − . |
Посмотрим, как |
|||
|
|
|
движется по траектории. |
|
изменяется расстояние от точки (х;у) до начала координат, когда точка̇= − |
|
|||
Для этого рассмотрим функцию |
( ; ) = |
+ Её производная вдоль решения |
|
|
( ( ); ( )) = |
Ë |
Ë |
= 2 (− )̇+ 2 (− ) = −2( + |
) |
Ë ̇+ |
Ë |
Значение производной отрицательно во всех точках плоскости xOy за исключением начала координат. Следовательно, расстояние до начала координат уменьшается: оно стремится к нулю при t + , т.е. нулевое решение является асимптотически устойчивым.
Пример 9. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы |
̇= 2 |
− |
. Поскольку |
|
что можно предложить |
||
функция Ляпунова должна быть положительно определена, самое простое,̇= − |
− |
|
– искать ее в виде суммы чётных степеней х и у. Например, в данном случае можно взять функцию
( ; ) = + |
Её |
производная |
в |
силу |
системы |
строго |
отрицательно |
определена: |
|||||||||||
|
|
|
(− |
|
− |
) = −(2 |
+ 4 ) < 0 |
Следовательно, |
|
нулевое |
|||||||||
решение асимптотически устойчиво. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
( ( ); ( )) = 2 |
(2 |
− |
) + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 10. Провести анализ нулевого решения системы |
̇= |
− . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Рассмотрим |
функцию |
̇= 2 |
|
|
(3 |
− |
|
|
В |
|||||||
|
|
|
качестве |
области |
D |
можно |
взять сектор |
|
(рис.6). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
; ) = 3 |
− = |
|
) |
|
||||
|
|
|
Производная от V(x,y) строго положительно определена: |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < |
< |
3 |
|
|
|
|
|
|
Следовательно, нулевое решение неустойчиво. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ; ) = 9 + 3 > 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Рис. 20. Траектории и область D в примере 10. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Замечание. Требуется строгая положительная определенность |
||||||||||||||||
|
|
|
производной, иначе вывод о неустойчивости будет неверен. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Пример 11. Рассмотрим линейную систему: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2y |
|
dV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Выберем функцию Ляпунова: V=x2+y2. Тогда |
2x x y 2y 2y3 |
x 2 x2 |
2y4 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это выражение всегда отрицательно при х 0, т.к. в скобках стоят чётные степени x. Следовательно, точка (0,0) устойчива.
Пример 12. Рассмотрим систему уравнений, описывающую конкуренцию видов, численности которых x и y. Каждый из видов размножается в соответствии с логистическим законом, а при
http://profbeckman.narod.ru/
встрече (произведения в правых частях уравнений), численность как одного, так и другого вида
уменьшается. |
|
|
|
2 |
axy; |
|
|
|
|
|
2 |
bxy . |
Исследуем |
|
стационарное состояние, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x x x |
|
|
y y y |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
соответствующее сосуществованию видов |
x |
, |
y |
– ненулевое для x и y. Его координаты: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
1 a |
; |
y |
|
1 b |
. Это стационарное состояние устойчиво для параметров системы a>0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 ab |
|
1 ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
b 1. |
Функция Ляпунова: |
V |
x, y |
x y |
x |
y |
x ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Её |
производная равна |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y ln |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dV |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y 1 2 ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
||||||||||||
|
x |
2 x 1 2 |
y |
2 y x 1 byx y 1 |
и отрицательна при малых значениях |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
коэффициентов a, b и x, y>0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Пример 13. |
Планарная система |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
описывает затухающие колебания |
||||||||||||||||||||||||||||
маятника. Затухание вызывает постоянное уменьшение полной энергии в системе |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= , |
|
|
|
|
|
= − sin − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(45) |
|||||||||||
Докажем, что E действительно является функцией Ляпунова. Вычислим его производную по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
( , |
) = |
|
|
|
+ |
(1 − cos ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
времени, при u(t), v(t) - решения демпфированной системы. Так как α=κ/m, β=μ/m, то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
ÔÔ + ÔÔ |
|
= ( |
|
sin ) + ( > )(− sin − |
) = − |
0 |
|
≤ 0 |
0 |
(46) |
поскольку коэффициент трения μ>0. Следовательно, энергия удовлетворяет критерию устойчивости Ляпунова (45). Устойчивость минимумов энергии u 2k=2kπ, v 2k=0, если затухающий маятник находится на дне дуги. Действительно, поскольку dE/dt<0, за исключением случаев, когда v=0, с немного большей работой, критерий Ляпунова может быть использован для установления их асимптотической устойчивости.
Пример 14. Движение маятника c затуханием, в виде жёсткого отвеса, вращающегося в
вертикальной |
плоскости |
вокруг |
стержня, |
описывается |
ОДУ |
второго |
порядка |
||||
m |
d 2 |
|
d |
sin 0 , где |
m>0 – |
масса отвеса маятника, |
μ>0 – |
коэффициент |
трения, |
||
dt2 |
|
||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
предполагаемый здесь строго положительным, а κ>0 представляет собой гравитационную силу. Неизвестная функция θ(t) измеряет угол маятника по вертикали.
Для получения равновесных решений и изучения их устойчивости, преобразуем уравнение в
систему |
первого порядка. Полагаяu(t) (t), |
v(t) |
d |
находим |
du |
v, |
dv |
sin u v, где |
|||||
dt |
|||||||||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
dt |
|||
|
, |
|
– положительные константы. Равновесие происходит там, |
где правые части этой |
|||||||||
|
m |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
системы первого порядка одновременно исчезают, т. е. v=0, - sinu- v=0, и, следовательно, u=0, + ,
+2 ,... Эта система имеет бесконечное множество точек |
равновесия: uk*=(k ,0), где k=0, +1, |
|||
+2,...Точка |
равновесия |
u 0=(0, |
0) |
|
соответствует |
u 0, |
|
– |
|
v 0 |
||||
маятник покоится на нижней точке своей |
||||
дуги. |
Это |
описывает |
стабильную |
|
конфигурацию, |
поскольку |
фрикционные |
||
эффекты в конечном итоге будут заглушать |
||||
небольшие близлежащие движения. |
|
|||
Рис. |
21. |
Равновесия |
скалярных |
|
обыкновенных равновесий. |
|
|||
|
Другое равновесие u 1=(π, 0) |
|||
соответствует u=θ=π, v=θ=0, |
что означает, |
что маятник неподвижно сидит в верхней части своей дуги. Теоретически такая равновесная конфигурация возможна, но вряд ли она будет наблюдаться на практике, поскольку весьма неустойчива. Все остальные равновесия соответствуют одной
http://profbeckman.narod.ru/
или другой из этих двух возможностей: когда k=2j чётно, маятник находится внизу, а когда k=2j+1 нечетно, маятник – на вершине. Подтвердим этот вывод методом линеаризации. Если оба собственных значения имеют отрицательную действительную часть что α, β> 0 и, следовательно, начало координат – устойчивое равновесие, но если β2<4α – собственные значения являются сложными, и, следовательно, начало является устойчивым фокусом. В фазовой плоскости, решения спиральны к фокусу, что соответствует маятнику с затухающими колебаниями уменьшающейся величины. С другой стороны, если β2>4 α, то оба собственных значения отрицательны, а начало координат – устойчивый узел. В этом случае решения экспоненциально быстро убывают до 0. Физически это будет похоже на маятник, движущийся в бочке с мёдом. В
верхнем равновесии u 1=(π, 0) якобиан |
F' 0,0 |
|
0 |
1 |
|
имеет собственное значение |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 4 . В этом случае одно из собственных значений является вещественным и
2
положительным, а другое отрицательным. Линеаризованная система имеет неустойчивую седловую точку, и, следовательно, нелинейная система также неустойчива в этой точке равновесия. Самое незначительное возмущение вертикального маятника вытеснит его, заставив его качаться вниз и, в конце концов, опуститься в затухающее колебательное движение, сходящееся на одном из стабильных нижних равновесий.
Рис. |
22. |
|
Фазовый |
портрет |
уравнения |
||
|
|
|
4 u |
2 |
2 |
. |
|
u u(v 1), |
v |
|
v |
|
Важно, что почти все решения для слабозатухющего маятника стремятся к стабильным равновесиям. Маятник с большой начальной скоростью будет вращаться несколько
раз вокруг центра, но кумулятивный эффект сил трения победит и маятник перейдёт в затухающий колебательный режим. Каждое из неустойчивых равновесий имеет ту же седловую форму, что и при линеаризации, с двумя решениями, соответствующими устойчивой собственной линеаризации, в которой маятник вращается несколько раз и в пределе t→∞ заканчивает движение, стоя в вертикальном положении в неустойчивом положении равновесия, а затем колеблется и затихает.
Табл. 1. Определения собственных значений в точках равновесия и их устойчивости:
Пример 15. Нелинейная система |
|
|
имеет четыре равновесия: (0, ± 2) |
||
и (± √3, 1). Его якобиан |
− 1 |
− 1),. = 4 − |
− |
|
|
= ( |
|
||||
Замечание. При |
моделировании физической системы, включающей в себя некоторую форму |
||||
|
( , ) = −2 |
−2 |
|
|
демпфирования - из-за трения, вязкости или диссипации, линеаризации обычно достаточно, чтобы решить стабильность или нестабильность равновесий. Однако, когда речь идет о консервативных системах, в которых затухание отсутствует и энергия сохраняется, метод линеаризации не эффективен, и приходится полагаться на более сложные критерии устойчивости. В таких ситуациях часто можно использовать сохранение энергии, считая, что