- •Аннотация
- •От автора
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1. СИСТЕМЫ И ПРОЦЕССЫ
- •2. ПОРЯДОК, НЕПОРЯДОК, БЕСПОРЯДОК И ХАОС
- •3. ТЕРМОДИНАМИКА
- •3.1 Начала термодинамики
- •3.2 Равновесная термодинамика
- •4. НЕРАВНОВЕСНАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
- •4.1 Диссипативные структуры, системы и среды
- •4.2 Термодинамика необратимых процессов
- •4.3 Линейная неравновесная термодинамика
- •4.4 Нелинейная неравновесная термодинамика
- •4.5 Статистическая термодинамика
- •5. ЭНТРОПИЯ
- •5.1 Определение и свойства энтропии
- •5.2 Энтропия в химической термодинамике
- •5.3 Энтропия в статистической физике
- •5.3.1 Энтропия Больцмана-Планка
- •5.3.2 Энтропия Гиббса
- •5.4 Тсаллис (Цаллис) энтропия (Революция в термодинамике)
- •6. ГЕОМЕТРИЯ ФРАКТАЛОВ
- •6.1 Элементы геометрии фракталов
- •6.2 Размерности фракталов
- •6.3 Примеры фракталов
- •6.4 Фракталы и энтропия
- •7. ИНФОРМАТИКА
- •7.1 Информация, информатика и информационные технологии
- •7.2 Теория информации
- •7.2.1 Информация Хартли
- •7.2.2 Энтропия Шеннона
- •7.3 Отрицательная энтропия, антиэнтропия, экстропия
- •7.4 Алгоритмическая теория информации
- •7.4.1 Энтропия Колмогорова
- •7.4.2 Эпсилон-энтропия
- •7.5 Энтропия Кульбака-Лернера
- •7.6 Энтропия Реньи
- •7.7 Квантовая информатика
- •7.7.1 Некоторые положения квантовой механики
- •7.7.2 Энтропия фон Неймана
- •7.7.3 Линейная энтропия
- •7.7.4 Сравнение энтропий Реньи, Цаллиса и Неймана
- •7.7.5 Энтропия Холево
- •8. СИНЕРГЕТИКА
- •8.1 Синергизм и синергетика
- •8.2 Детерминизм, случайность и неопределённость
- •8.3 Простые и сложные системы
- •8.4 Анализ систем
- •8.5 Параметры порядка (управляющие параметры)
- •8.6 Процессы самоорганизации
- •9. СИСТЕМЫ И ЗАКОНЫ ИХ ЭВОЛЮЦИИ
- •9.1 Статические системы
- •9.2 Динамические системы
- •9.3 Линейные динамические системы
- •9.4 Нелинейные динамические системы
- •9.5 Эволюция динамической системы
- •9.6 Математическое описание эволюции динамической системы
- •10. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ОПИСАНИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- •10.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •10.2 Фазовое пространство и пространство состояний
- •10.3 Линейные ОДУ на плоскости
- •10.4 Нелинейные дифференциальные уравнения
- •11. ОТОБРАЖЕНИЯ
- •11.1 Системы с дискретным временем в отображениях
- •11.2 Итерации в исследовании динамических систем
- •11.3 Графические методы нахождения неподвижных точек и исследования их свойств
- •11.4 Многопараметрические отображения
- •11.5 Примеры некоторых важные отображений
- •12. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- •12.1 Дифференциальные уравнения и особые точки
- •12.2 Классификация точек равновесия
- •12.3 Фазовые портреты и особые точки нелинейных ОДУ
- •12.4 Многомерные системы
- •13. РЕГУЛЯРНЫЕ АТТРАКТОРЫ И РЕПЕЛЛЕРЫ
- •13.1 Типы аттракторов
- •13.2 Фазовый объём
- •13.3 Репеллеры
- •13.4 Осциллятор и осцилляции
- •14. УСТОЙЧИВОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- •14.1 Устойчивые и неустойчивые равновесия
- •14.2 Устойчивость по Ляпунову (метод первого приближения)
- •14.3 Показатель Ляпунова
- •14.4 Устойчивость нелинейной системы
- •14.5 Метод функций Ляпунова
- •14.6 Функция Ляпунова и энтропия
- •14.7 Асимптотическая устойчивость
- •14.8 Устойчивость особых точек
- •14.9 Устойчивость особых точек
- •14.10 Устойчивость решений дискретных уравнений
- •15. БИФУРКАЦИИ
- •15.1 Бифуркации: основные понятия и классификация
- •15.2 Элементы теории бифуркаций
- •15.3 Простейшие бифуркации
- •16. БИФУРКАЦИИ ЦИКЛОВ
- •16.1 Предельные циклы
- •16.2 Устойчивость предельных циклов
- •16.3 Бифуркации устойчивых предельных циклов
- •16.5 Бифуркация рождения пары устойчивых замкнутых траекторий.
- •16.6 Транскритическая (обмена устойчивостью между циклами) бифуркация.
- •16.7 Бифуркация исчезновения (рождения) пары замкнутых траекторий.
- •16.8 Бифуркация удвоения периода цикла
- •16.9 Бифуркация рождения (гибели) двумерного тора.
- •16.10 Гомоклиническая бифуркация рождения/исчезновения цикла
- •17. ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС
- •17.1 Хаос статистический и динамический
- •17.2 Предсказание статического поведения системы
- •17.3 Сценарии перехода к хаосу
- •17.4 Примеры систем с хаосом
- •18. ХАОС В ЛИНЕЙНЫХ ОДНОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
- •18.1 Бифуркационные диаграммы
- •18.2 Лестница Ламерея
- •18.3 Отображение Бернулли
- •18.4 Треугольное отображение
- •18.5 Отображение «тент»
- •18.6 Канторов репеллер
- •18.7 Детерминированная диффузия
- •19. ХАОС В ЛОГИСТИЧЕСКОМ ОТОБРАЖЕНИИ
- •19.1 Переход к хаосу через удвоение периода
- •19.2 Логистическое уравнение
- •19.3 Дискретное логистическое уравнение
- •19.4 Логистическое отображение
- •19.5 Бифуркационная диаграмма логистического отображения
- •19.6 Цикл периода 3
- •19.7 Фазовые диаграммы логистического отображения
- •19.8 Аттракторы и фракталы в логистическом отображении
- •20. ХАОС В НЕЛИНЕЙНЫХ ОДНОМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ
- •20.1 Отображение xn+1=С+xn2.
- •20.2 Отображение xn+1=а-xn2.
- •20.3 Подобие окон периодической динамики
- •20.4 Порядок Шарковского
- •20.5 Универсальность Фейгенбаума
- •20.6 Устойчивость циклов одномерных отображений
- •20.7 Топологическая энтропия
- •20.8 Синус-отображение
- •21. ХАОС В НЕЛИНЕЙНЫХ ДВУМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ
- •21.1 Отображение Эно (Henon map)
- •21.2 Отображение подковы и отображение пекаря
- •21.3 Отображение «кот Арнольда» (Arnold’s cat map)
- •22. НЕРЕГУЛЯРНЫЕ АТТРАКТОРЫ
- •22.1 Хаос в консервативных и диссипативных системах
- •22.2 Регулярные и хаотические аттракторы
- •22.3 Квазиаттракторы
- •22.4 Хаотически аттракторы
- •22.5 Негиперболические хаотические аттракторы
- •22.6 Фрактальные аттракторы
- •22.7 Характеристика нерегулярных аттракторов
- •22.8 Странные нехаотические аттракторы
- •22.9 Сингулярные аттракторы
- •22.10 Многомерные нерегулярные аттракторы
- •22.11 Дикие аттракторы
|
http://profbeckman.narod.ru/ |
20.2 Отображение xn+1=а-xn2. |
|
Логистическое отображение |
|
xn+1=a-xn2 |
(4) |
зависит от одного параметра a, и является простейшим одномерным отображением, проявляющим сингулярность. Отображения с одной критической точкой называются унимодальными.
Унимодальное отображение - гладкое отображение на себя при условии, что оно имеет единственную критическую точку (ноль производной).
Все унимодальные отображения демонстрируют похожее динамическое поведение. Основных типов динамических режимов два: 1) стационарные или периодические режимы, 2) хаотические режимы. В первом случае итерации в конечном итоге посещают только конечный набор разных значений, всегда повторяющиеся в фиксированном порядке. В случае (2) состояние системы никогда не повторяется точно и, по-видимому, эволюционирует неупорядоченным образом.
Бифуркационная диаграмма ограничена диапазоном a0<a<aR. Между a0=-1/4 и a1 =3/4 предельный набор состоит из одного значения. Это соответствует стационарному режиму, который есть периодическая орбита периода-1. При a=a1 происходит бифуркация, рождающая периодическую орбиту периода-2: итерации колеблются между двумя значениями – бифуркация удвоения периода. При a=a2=5/4 существует еще одна бифуркация удвоения периода, где орбита периода-2 уступает место орбите периода-4.
Бифуркации удвоения периода, возникающие при a=a1 и a=a2, являются первыми двумя членами бесконечной серии – каскада удвоения периода, в котором для каждого целого n создается орбита периода 2n. Бифуркация при a=a3, приводящая к орбите периода-8, легко видна на бифуркационной диаграмме на рис. 13, та, что при a=a4 едва заметна, а следующие совершенно неразличимы для невооруженного глаза. Это связано с тем, что значения параметра a, при которых создается орбита периода 2n, геометрически сходятся к точке накопления a∞=1.401155189... с коэффициентом сходимости,
существенно превышающим 1: lim an an 1 4,6692016091...
n an 1 an
Постоянная δ, обладает замечательным свойством: периоды удвоения каскадов, наблюдаемые в чрезвычайно большом классе систем, имеют скорость сходимости, определяемую δ. В точке накопления a∞ период решения становится бесконечным. На рис. 13 справа от этой точки система переходит в хаотические режимы, что видно по обилию тёмных областей в этой части бифуркационной диаграммы, которые указывают на то, что система посещает много разных состояний. Каскад удвоения периода - один из наиболее известных путей хаоса и может наблюдаться во многих низкоразмерных системах.
Рис. 13: Бифуркационная диаграмма отображения (4): рассчитана для нескольких значений параметров от a=- 0.25 до a=2.0; проведено 50
последовательных итераций отображения с целью вымираня переходных процессов. Вертикальные линии отмечают создание (i) орбиты периода-2; (ii) орбиты периода-4; (iii) орбиты периода-8 и (iv) точка накопления каскада удвоения периода; (v) начальная точка окна периода-3.
http://profbeckman.narod.ru/
Рис. 14: Увеличенный вид хаотической зоны бифуркационной диаграммы рис. 13.
Внутри периодических окон периода до 8 вертикальные линии указывают значения параметров, где соответствующие орбиты наиболее стабильны (период указан над линией).
В хаотической области есть относительно большое периодическое окно, соответствующее области устойчивости орбиты периода-3, которое начинается с а=7/4, внутри хаотической зоны. Периодические окна и хаотические области произвольно часто чередуются; между любыми двумя периодическими окнами бесконечно много периодических окон. Периодические окна видны невооруженным глазом только у очень низких периодов. У более высоких периодов (1) периодическое окно слишком узкое по сравнению с масштабом графика, и (2) количество выборок достаточно велико, чтобы окно не могло отличаться от хаотических режимов.
Конечно, было бы полезно определить для каждого периодического решения диапазон значений параметров, по которым он устойчив. Увы! Эта задача недостижима, но всё же простые топологические методы позволяют классифицировать разные периодические режимы и ответить на такие вопросы, как продолжается ли последовательность различных динамических режимов, возникающих при увеличении параметра a, возможно диагностика сложности хаоса и др.
Поиск неподвижных точек просто сводится к решению квадратичного уравнения x=a-x2 (5)
который имеет два решения:
( ) = √ ; ( ) = √ |
(6) |
Эти выражения 2.4 имеют смысл только при a>a0=-1/4. Ниже этого значения все орбиты уходят в бесконечность. Бесконечно удаленную точку x∞, можно формально рассматривать как другую неподвижную точку
системы, хотя и нефизическую.
Рис. 14: Бассейн притяжения неподвижной точки x+ расположен между левой неподвижной точкой x- и ее прообразом, обозначенной двумя вертикальными линиями.
Орбиты, помеченные 1 и 2, находятся внутри бассейна и сходятся к х+. Орбиты, помеченные 3 и 4, находятся за пределами бассейна и уходят в бесконечность (т. е. сходятся к бесконечной точке x∞).
Важным качественным изменением, происходящим при a=a0, является повсеместное явление низкоразмерной нелинейной динамики,
http://profbeckman.narod.ru/
касательной или седлоузловой бифуркации: две неподвижные точки (6) становятся одновременно вещественными и вырождаются: x-(a0)=x+(a0)=-1/2. Два обозначения указывают на два разных (но связанных) свойства этой бифуркации. Эти две бифуркационные неподвижные точки имеют разные свойства устойчивости. Если значения а несколько выше a0, то орбиты, расположенные вблизи x+, сходятся к нему, тогда как те, которые начинаются в окрестности x, оставляют его либо сходящимся к x+, либо уходящим на бесконечность, в зависимости от того, расположены они справа или слева от х-. Неподвижная точка x+ (а также x∞) называется устойчивой, а x- неустойчивой. Они называются узлом и седлом соответственно. Так как траектории в окрестностях этих точек сходятся к ним, x+ и x∞ являются притягивающими множествами или аттракторами. Множества точек, орбиты которых сходятся к аттрактору системы, называются бассейном притяжения этой точки. Из рис. 14 видно, что неустойчивая неподвижная точка x- находится на границе между бассейнами притяжения двух устойчивых неподвижных точек x+ и x∞. Другая граничная точка – прообраз f-1(x-) значения x-. Устойчивость неподвижной точки зависит от производной отображения в неподвижной точке.
Как известно, неподвижная точка устойчива (соответственно, неустойчива), когда абсолютное значение ее мультипликатора меньше (соответственно больше), чем единица. Мультиплкаторы μ ± двух неподвижных точек отображения (4) задаются формулами
=
=
( )
( )
= −2 |
= 1 + √1 + 4 |
(7б) |
= −2 |
= 1 − √1 + 4 |
(7а) |
|
Ур.7 показывает, что x- безусловно неустойчиво по всей своей области существования и, следовательно, в целом не наблюдается как стационарный режим, тогда как x+ стабилен для параметров a чуть выше a0=-1/4. Поэтому на бифуркационной диаграмме, показанной на рис. 13, можно наблюдать только х+. Точнее, x+ устойчиво для a [a0, a1], где a1=3/4 таково, что μ+=-1. Это согласуется с бифуркационной диаграммой, изображенной на рис. 13. Заметим, что при a0= [a0, a1] множитель μ+=0 и, следовательно, возмущения затухают быстрее, чем по экспоненциальной зависимости: тогда неподвижная точка называется суперстабильной. При бифуркации седло-узел обе неподвижные точки вырождены, а их множитель равен +1. Это фундаментальное свойство связано с тем, что в точке бифуркации график отображения (4) касается диагонали (рис.
15), поэтому эта бифуркация также известна как касательная бифуркация. Касание двух гладких кривых (графика f и диагонали) является общим в точке множественного пересечения. Это пример структурно неустойчивой ситуации: произвольно малое возмущение f приводит к двум различным пересечениям или вообще не пересекает (альтернативно, двум действительным или двум комплексным корням).
Рис. 15: График отображения (2) на начальной стадии бифуркаций седло-узел.
Периода-1 орбита x+ существует для любого a>a0. Следовательно, она не исчезает при бифуркации удвоения периода, а просто становится неустойчивой. Она присутствует во всех динамических режимах, наблюдаемых после потери устойчивости, в том числе в хаотических режимах правой части бифуркационной диаграммы рис. 13. Это справедливо для всех периодических решений квадратичного отображения. Поэтому периодические орбиты играют важную роль в динамике даже после того, как они станут неустойчивыми.
Так как орбиту периода-2 можно рассматривать как неподвижную точку второй итерации отображения, то можно определить её диапазон стабильности. Две периодические точки {x1, x2} являются решениями квартирного уравнения
http://profbeckman.narod.ru/
|
|
= |
( ) = −1( −x2 |
) |
(8) |
x+ |
x- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения x |
и |
воспользуемся тем, |
что фиксированные точки |
|
и |
||
являются решениями Ур.8. Решение квадратичного уравнения |
|
|
||||||
( ) |
= |
( ) |
= 1 − − + = 0 |
(9) |
|
|
||
( ) |
|
|
|
|||||
есть |
|
√ |
; = √ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
(10) |
|
|
Орбита периода 2 (x1, x2) появляется при a=a1=3/4 и существует для каждого a>a1. Используя правило цепочки для производных, получим множитель фиксированной точки x1 функции f2 как
, |
= |
( ) |
= |
( |
) |
∙ |
( ) |
= 4 |
= 4(1 − ) |
(11) |
|
|
1 |
|
|
||||||
|
Заметим, что x |
|
и x2, рассматриваемые как неподвижные точки f2, имеют один и тот |
же множитель, который определяется как множитель орбиты (x1, x2). В точке бифуркации a=a1 имеем μ1,2=1, сигнатура двух периодических точек x1 и x2 вырождается при бифуркации удвоения периода. Однако структура этой бифуркации не полностью аналогична структуре касательной бифуркации, рассмотренной ранее. Действительно, две периодические точки x1 и x2 также вырождены с неподвижной точкой x+. Таким образом, бифуркация удвоения периода фиксированной точки x+ является ситуацией, когда вторая итерация f2 имеет три вырожденные неподвижные точки. Сигнатура этого тройного вырождения соответствует особой форме более высокого порядка чем сингулярность складчатости, упомянутой при обсуждении касательной бифуркации. Заметим, что x+ имеет мультипликатор -1 как фиксированную точку f при бифуркации и, следовательно, существует по обе стороны от бифуркации: он просто становится неустойчивым при a=a1. Напротив, x1 и x2 имеют мультипликатор 1 для первых итераций f, при которых они являются неподвижными точками, и, следовательно, существуют только с одной стороны бифуркации. Орбита периода-2 устойчива только в конечном диапазоне параметров. Другой конец области устойчивости имеет вид a=a2=5/4, где μ1,2=-1. При этом значении параметра происходит новая бифуркация удвоения периода, где орбита периода-2 теряет устойчивость и рождает орбиту периода-4. Как показано на рис. 13, удвоение периода происходит неоднократно, пока не будет создана орбита бесконечного периода.
20.3 Подобие окон периодической динамики
Общая особенность для хаотических динамических систем состоит в том, что при изменения параметров рождается устойчивая и неустойчивая орбиты с периодом n (касательная бифуркация). Далее происходит переход к хаосу через каскад удвоения периода. Все заканчивается кризисом, при котором неустойчивая орбита с периодом n рожденная в исходной касательной бифуркации сталкивается с хаотическим аттрактором. Область параметров между касательной бифуркацией и кризисом называется окном периодической динамики с периодом n. Заметим, что в этом случае центральная часть рисунка подобна всей бифуркационной диаграмме (рис. 16).
Так, при С=-1.75 в окне с периодом 3 в результате тангенциальной бифуркации отображения f o3 возникают устойчивая и неустойчивая орбиты с периодом 3 (в верхней части окна). Устойчивая орбита с периодом 3 показана ниже налево. Если задать N=3 (рис. 17б), то мы получим 8 пересечений (неподвижных точек отображения f o3). Два из них – неустойчивые неподвижные точки. Остальные шесть пересечений принадлежат устойчивой и неустойчивой орбитам с периодом 3.
На рис. 17а периодическая орбита проходит через два "линейных" (по краям) и один квадратичный участок параболы (в центре). Поэтому в окрестности x=0 отображение f o3 с точностью до растяжений совпадет с квадратичным (это преобразование называется