http://profbeckman.narod.ru/

18.ХАОС В ЛИНЕЙНЫХ ОДНОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ

Всвое время, при развитии теории динамических систем, наибольшее удивление вызвало возникновение неустойчивостей, бифуркаций и даже хаоса в чрезвычайно простых обыкновенных дифференциальных уравнениях и отображениях.

Графики некоторых простых отображений приведены на рис.1.

Рис. 1. Графики некоторых простых одномерны отображений, способных переходить к хаотическим режимам: а – Лоренц, б – Тент, в – квадратичное, г – сдвиг Бернулли.

Анализ причин и характера неустойчивостей привело к созданию теории детерминированного хаоса, призванной адекватно описать сложное движение и динамику систем, чувствительную к начальным условиям. В основе динамических процессов лежат строгие и хорошо известные законы, поведение системы полностью

детерминировано, но предсказать будущее состояние системы и дальнейшее развитие событий невозможно. Обычно такой хаос возникает при больших временах, при большом удалении от начального состояния. Поведение в хаотических системах является периодическим, т.е. никакая переменная не описывает состояние системы, что приводит к регулярному повторению значений. Хаотическая система развивается монотонно и упорядоченно; начальные условия известны точно, но делать какие-либо долгосрочные прогнозы решительно невозможно. Помимо высокой чувствительности важную роль в детерминированном хаосе играют режимы смешения (транзитивность) и условия регулярности (плотность периодических точек).

В данной главе приведены примеры маршрутов перехода к хаосу в некоторых простых одномерных (однопараметрических) отображениях: «зуб пилы», "сдвиг Бернулли", «треугольное», «тент», описываемых линейными отображениями и приводящих к динамическому хаосу. Нелинейные: квадратичные (в том числе – логистическое) и кубические отображения будут рассмотрены в следующей главе.

18.1 Бифуркационные диаграммы

Как уже упоминалось, под бифуркацией понимают резкое изменение решения, происходящее при изменении управляющего параметра при больших временах, например, с переходом от фиксированной точки к предельному циклу с удвоенным периодом.

При исследовании нелинейных динамических систем часто возникает необходимость в определении числа стационарных состояний, отслеживании того, как изменяется это число при варьировании параметров системы, а также с целью исследования возможных бифуркационных процессов и предсказания хаотического поведения системы. Эту динамику наглядно отражают с помощью бифуркационных диаграмм, нахождение которых проводится численно, путём многократного решения соответствующих систем дифференциальных уравнений и традиционного построения отображения Пуанкаре.

Бифуркационная диаграмма – изображение на рисунке смены возможных динамических режимов системы (равновесных состояний, стационарных точек, периодических орбит и пр.) при изменении значения бифуркационного параметра. Как правило, устойчивые режимы изображают сплошной линией, а неустойчивые – пунктирной.

http://profbeckman.narod.ru/

Обычно бифуркационная диаграмма строится отложением на оси абсцисс управляющего параметра задачи, а на оси ординат – некоторой выделенной характеристики (все значения х, при которых ищутся решения уравнений задачи). Например, в случае осциллятора по горизонтальной оси откладывается величина управляющего параметра, например, амплитуда или частота наблюдения, а по координате

– значения амплитуды из временной выборки. Эта диаграмма описывает серию экспериментов, каждый из которых проводится при определённом значении управляющего параметра. При построении диаграммы, однако, необходимо проявить достаточную осторожность и убедиться, что после каждого изменения управляющего параметра успевают затухнуть переходные процессы. Фазовая траектория (орбита), появляющаяся как единственная кривая с неподвижной точкой, в точке бифуркации разбивается на две кривые с периодом 2 и т.д. Хаотическая динамика, при которой орбита посещает бесконечное число точек (в противном случае орбита повторялась бы, и поэтому была бы периодической) проявляется в виде полос континуумов точек.

Рис. 2. Экспериментальная бифуркационная диаграмма колебаний продольно изогнутого стержня – выборки Пуанкаре изгибного смещения как функция амплитуды возбуждающего колебания.

Пример бифуркационной диаграммы приведён на рис. 2 непрерывные горизонтальные линии соответствуют периодическому движению различных субгармоник. Значения внутри областей, очерченных штриховыми линиями, соответствуют хаотическим режимам. На этой диаграмме ясно видна граница между хаотическим и периодическим движениями.

Анализ хаотического поведения проводится путём использования инвариантной меры и показателей Ляпунова.

Инвариантная мера – в теории динамических систем мера, определённая в фазовом пространстве, связанная с динамической системой и не изменяющаяся с течением времени при эволюции состояния динамической системы в фазовом пространстве. Понятие инвариантной меры применяется при усреднении уравнений движения, в теории показателей Ляпунова, в теории метрической энтропии и вероятностных фрактальных размерностей

Поскольку точно определить хаотическую динамику невозможно, то хаос пытаются описывать статистическими методами. На бифуркационной диаграмме видно, что при некоторых значениях параметров повторяющиеся точки покрывают интервалы линии с некоторой плотностью или распределением вероятности. Это обстоятельство используют для определения «инвариантной меры» аттрактора, под которой понимают плотность точек в точке x, ρ(x, x0) заданную многократным повторением начиная с точки x0, т.е.

x, x0	dx lim	1	n x,n0 ,	(1)
	N N

где n(x, x0) - число F N (x0 ), F N 1 x0 ...F x0 на отрезке dx координаты х, или

			1	N
	x, x0	dx lim		x F i x0 ,	(2)
		N N i 1

Если аттрактор является неподвижной точкой (мера сосредоточена в неподвижной точке), то орбита никогда точно не достигает фиксированной точки для любого конечного

http://profbeckman.narod.ru/

N. Эта мера является свойством аттрактора и не зависит от выбора начальной точки x0, т.е. ρ(x, x0) не зависит от x0 для «почти всех» x0 (исключение – множество меры нуль), и определяет меру аттрактора ρ(x). По построению эта мера «инвариантна», т. е. не изменяется путём итерации переменной отображения: если y=F(x), то ρ(y)dy=ρ(x)dx, так как все точки в интервале dx заканчиваются в интервале dy=F0(x)dx. В определение также входит понятие эргодичности, т. е. средние по времени равны средним показателям для почти всех начальных условий (относительно начальной меры Лебега).

Обычно существует бесконечное число инвариантных мер, поэтому необходим какой-то процесс для выбора физической меры. Такой процесс, предложенный Колмогорову, заключается в том, чтобы к динамике добавляют небольшое количество случайных шумов, что, как правило, даёт уникальную меру, а затем, силу шума устремляют к нулю. Эргодическая теорема требует, чтобы средние значения времени могут быть заменены измеренными средними значениями для почти всех начальных условий, но теперь почти все состояния, за исключением множества меры нуль относительно инвариантной меры.

В некоторых случаях инвариантная мера может быть построена непосредственно из ее определения. Рассмотрим плотность точек после n итераций ρn(x). Тогда при итерации отображения плотность развивается по уравнению Фробениуса-Перрона:

n 1 ( y) dx y F (x) n (x)

(3)

которое реализует идею о том, что все точки интервала dx оказываются в интервале dy, где y=F(x) и dy=F0(x)dx. Инвариантная мера определяется приравниванием ρn и ρn+1, можно также исследовать подход к инвариантной мере от начальной плотности ρ0(x).

Инвариантная	мера часто	демонстрирует
значительную	структуру.	Например,

квадратичное отображение при =4 имеет особенности с квадратным корнем в конечных точках: ρ(x)1/√x(1-x), и при значениях в промежутке 0 и 1 показывает богатую структуру особенностей.

Рис. 3. Приращение функции.

Показатели Ляпунова используются для описания хаотических процессов.

Идею неустойчивости неподвижной точки можно обобщить, и рассмотреть

«чувствительность зависимости итерации от начального условия» более количественной. Пусть дано отображение xn+1=f(xn), тогда приращения при итерациях

1f'(x0) 02f'(x1) 13f'(x1)f'(x0) 0

.
.
| N| | 0|e N
В общем случае
xn 1 F'(xn ) xn	(4)

так что произведение производных при последовательных итерациях даёт разложение (или сжатие) разделения между соседними точками при итерации.

Показатель Ляпунова
1			n
lim		log2
	n		0			(5)
n

				http://profbeckman.narod.ru/
Начиная с начальных условий x0				и x0+ε при итерации расстояние между n-ой
итерацией увеличивается по закону
	xn		en x0	(6)

где λ(x0) - показатель Ляпунова для начального условия x0, т.e.

x

limlim

1

F n x

0

F n x

0

1

dF n

(x

0

)

0

lim

log

(7а)

n 0 n

n

d(x0 )

1

f N x0 0 f N (x0 )

n

1

f N '(x0 )

lim

log2

; 0 0; lim

log2

x

x

N N

0

N N

(7б)

0

0

f N ' x

0

f '(x

N 1

) f N 1 '(x

) f '(x

) f '(x )... f ' x

N 1

0

0

1

1

N 1

0

стабильный

lim

log2

f ' (xn )

(7в)

0

N

N n 0

нестабильный

Для систем с эргодической инвариантной мерой предел существует и не зависит от начального условия х0 для почти всех начальных условий (кроме точек на нестабильных периодических орбитах). Он обозначается λ и называется показателем Ляпунова отображения. Производная имеет вид

dF n x
0		F' x	F' x	n 2	...F'(x )F'(x ).		(8)
d(x0 )		n 1			1	0

Показатель Ляпунова в компактном виде

=<log|F'|> (9)

Положительное значение λ соответствует разности между близко расположенными начальными условиями, растущими (в среднем экспоненциально) с итерацией, что определяет чувствительность зависимости от начальных условий. Таким образом, положительный показатель Ляпунова является сигнатурой хаоса и может использоваться как определяющий критерий. Показатель Ляпунова отображения тент легко вычисляется, так как F0=|| для всех значений х. Таким образом, λ=log|| и хаотическая динамика ожидается при 1< ≤2.

18.2 Лестница Ламерея

Прежде чем заниматься исследованием маршрутов перехода каскада бифуркаций к хаосу, полезно вспомнить об одном простом и наглядном способе наблюдения за ходом решения дискретного уравнения, основанном на использовании диаграммы (лестницы) Ламерея.

Рис. 4. Пример построения лестницы Ламерея: а – решение уравнения Nn+1=F(Nn); б – траектории.

Диаграмма (лестница) Ламерея графически демонстрирует ход решения дискретного уравнения вида Nt+1=f(Nt) (рис. 4). Точка пересечения биссектрисы первого

http://profbeckman.narod.ru/

координатного угла Nt+1=Nt и функции F(Nt) определяет равновесное состояние системы N* (рис. 4а). На рис. 4б показан способ нахождения значений Nt в последовательные моменты времени. Пусть в начальный момент времени N=N0. F(N0)=N1 задаёт значение функции в последующий момент времени t=1. Величина N1, в свою очередь, определяет значение F(N1)=N2. И так далее. На рис. 4б изображен случай, когда траектория сходится к равновесному состоянию, совершая затухающие колебания.

Пример: логистическое уравнение. Зависимость численности популяции Nt+1 от численности на предыдущем шаге Nt ,задаваемая решением логистического уравнения:

r 1 Nt

N	t 1	N	e	K F(N	)	(10)
		t		t	ШАГ 1. Если известна некоторая начальная
					численность популяции N0, то можно найти
					последовательность	следующих	значений
					численностей {N1, N2, N3,...}Значение N1		определяется
					равенством N1=F(N0) , т.е. пара значений (N0, N1)
					является координатами соответствующей точки на
					графике функции F(Nt).	Отложим на	координатной

плоскости (t,Nt), t точки (0, N0) и (1,N1).

Рис. 5. График функции, задающей дискретное уравнение логистического роста (модель динамики популяции с неперекрывающимися поколениями). Пунктирной линией представлена

биссектриса Nt+1=Nt. В точках пересечения графика функции F(Nt) с биссектрисой выполняется равенство: Nt+1=Nt=F(Nt) ,т.е. выполняется определение точки равновесия. Таким образом, точки пересечения графиков N1* (с координатами (0,0)) и N2* являются точками равновесия.

ШАГ 2. Следующее значение численности N2 определяется из соотношения N2=F(N1). На графике, величина N1 из значения функции должна стать значением аргумента: проводим перпендикуляр от точки (0, N1) до пересечения с биссектрисой, затем опускаем перпендикуляр до оси абсцисс Nt . ШАГ 3. Повторяем шаг 1. Теперь начальная точка N1, значение численности N2 - ордината точки на графике функции F(Nt): (N1, (F(N1))

ШАГ 4. Повторяем шаг 2. Значение N2 переносим на ось абсцисс с помощью отражения от биссектрисы).

ШАГ 5. Повторяем шаг 1. Следующее значение численности N3 определяем как ординату точки на графике функции F: (N2, F(N2)). Продолжая повторять шаги построения лестницы Ламерея, получим последовательность значений численности популяции в разные моменты времени.

Графики демонстрируют, что со временем численность популяции в виде затухающих колебаний сходится к равновесному значению К. Характер последовательности значений численности популяции, полученной при помощи лестницы Ламерея, может быть монотонным, циклическим, колебательным и хаотическим. Конкретный случай определяется формой кривой F(N(t)). В свою очередь, форму кривой определяют значения параметров функции F(Nt) (скорость прироста r и емкость экологической ниши, К). Далее эти процессы будут рассмотрены более детально.

Вариантом лестницы Ламерея является диаграмма паутины (а cobweb plot) – это визуальный инструмент, используемый в области математической физики динамических систем для исследования качественного поведения одномерных итерированных функций, типа логистического отображения. Используя диаграмму паутины, можно сделать вывод о долгосрочном статусе начального условия при повторном применении отображения.

Диаграмма паутины позволяет итерировать функцию исключительно графическими средствами и, не прибегая к аналитическим или численным методам.

http://profbeckman.narod.ru/

Рис. 6. Этапы построения лестницы Ламерея для логистического уравнения

Рис. 7. Две диаграммы для последовательности an=2n-1-4. Наклон рекурсивной функции больше единицы и итерации паутины расходятся от точки пересечения функции с линией

http://profbeckman.narod.ru/

у=х расходятся от пересечения функции с линией y=x. Значения этой последовательности неограниченны.

Рис. 8. Диаграммы паутины трех связанных уравнений. Первый график демонстрирует, что здесь возможно циклическое поведение, а второй и третий графики показывают, что небольшие изменения в уравнении могут привести к тому, что итерации либо приближаются, либо расходятся с неподвижной точкой.

Для данной итерированной функции f: R→R график представляет собой диагональную (x=y) линию и кривую функции y=f(x). Чтобы построить график поведения значения х, выполняют следующие операции:

1.На функциональной кривой находят точку с x-координатой х, Она имеет координаты (х.

2.Проводят горизонтальную линию от этой точки до диагональной линии. Она имеет координаты (.

3.Проводят вертикальную линию от точки на диагонали до функциональной кривой. Он имеет координаты (f(х.

4.Повторяем шаг 2 по мере необходимости.

http://profbeckman.narod.ru/

На диаграмме паутины устойчивая неподвижная точка соответствует внутренней спирали, а неустойчивая неподвижная точка – внешней. Из определения неподвижной точки следует, что эти спирали концентрируются в точке, где диагональ y=x пересекает график функций. Орбита периода 2 представлена прямоугольником, в то время как более длительные циклы образуют, более сложные замкнутые контуры. На хаотичной орбите отображается «заполненная» область, указывающая на бесконечное количество неповторяющихся значений.

Паутина строится в процессе рекурсии, при котором предыдущий результат используется как вход для следующего результата.

Продемонстрируем процесс рекурсии на простых примерах. Рассмотрим две диаграммы для последовательности

an		1	an 1	2.
	2			(11)

Рис. 9. Диаграмма паутины для динамического хаоса.

На обеих этих диаграммах наклон рекурсивной функции меньше единицы, и итерации паутины приближаются к пересечению функции с линией y=x. Эта последовательность сходится к значению 4 – решению уравнения x=f(x). Уравнение x=f(x) называется уравнением с неподвижной, а его решение является неподвижной точкой рекурсивного уравнения. Если первый член последовательности был решением уравнения с фиксированной точкой, то последовательность была бы постоянной.

Поведение последовательности может быть весьма непредсказуемым. Хотя значения последовательности полностью определяются рекурсивной формулой и явно ограничены, но они не сходятся к неподвижной точке и не являются циклическими. Фактически, за исключением того, что все значения находятся между нулем и

единицей, долгосрочное поведение этой системы кажется довольно хаотичным (рис. 7).

Рис. 10. Схема построения диаграммы паутин: итерации сходятся в 2-цикл.