- •Аннотация
- •От автора
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1. СИСТЕМЫ И ПРОЦЕССЫ
- •2. ПОРЯДОК, НЕПОРЯДОК, БЕСПОРЯДОК И ХАОС
- •3. ТЕРМОДИНАМИКА
- •3.1 Начала термодинамики
- •3.2 Равновесная термодинамика
- •4. НЕРАВНОВЕСНАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
- •4.1 Диссипативные структуры, системы и среды
- •4.2 Термодинамика необратимых процессов
- •4.3 Линейная неравновесная термодинамика
- •4.4 Нелинейная неравновесная термодинамика
- •4.5 Статистическая термодинамика
- •5. ЭНТРОПИЯ
- •5.1 Определение и свойства энтропии
- •5.2 Энтропия в химической термодинамике
- •5.3 Энтропия в статистической физике
- •5.3.1 Энтропия Больцмана-Планка
- •5.3.2 Энтропия Гиббса
- •5.4 Тсаллис (Цаллис) энтропия (Революция в термодинамике)
- •6. ГЕОМЕТРИЯ ФРАКТАЛОВ
- •6.1 Элементы геометрии фракталов
- •6.2 Размерности фракталов
- •6.3 Примеры фракталов
- •6.4 Фракталы и энтропия
- •7. ИНФОРМАТИКА
- •7.1 Информация, информатика и информационные технологии
- •7.2 Теория информации
- •7.2.1 Информация Хартли
- •7.2.2 Энтропия Шеннона
- •7.3 Отрицательная энтропия, антиэнтропия, экстропия
- •7.4 Алгоритмическая теория информации
- •7.4.1 Энтропия Колмогорова
- •7.4.2 Эпсилон-энтропия
- •7.5 Энтропия Кульбака-Лернера
- •7.6 Энтропия Реньи
- •7.7 Квантовая информатика
- •7.7.1 Некоторые положения квантовой механики
- •7.7.2 Энтропия фон Неймана
- •7.7.3 Линейная энтропия
- •7.7.4 Сравнение энтропий Реньи, Цаллиса и Неймана
- •7.7.5 Энтропия Холево
- •8. СИНЕРГЕТИКА
- •8.1 Синергизм и синергетика
- •8.2 Детерминизм, случайность и неопределённость
- •8.3 Простые и сложные системы
- •8.4 Анализ систем
- •8.5 Параметры порядка (управляющие параметры)
- •8.6 Процессы самоорганизации
- •9. СИСТЕМЫ И ЗАКОНЫ ИХ ЭВОЛЮЦИИ
- •9.1 Статические системы
- •9.2 Динамические системы
- •9.3 Линейные динамические системы
- •9.4 Нелинейные динамические системы
- •9.5 Эволюция динамической системы
- •9.6 Математическое описание эволюции динамической системы
- •10. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ОПИСАНИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- •10.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •10.2 Фазовое пространство и пространство состояний
- •10.3 Линейные ОДУ на плоскости
- •10.4 Нелинейные дифференциальные уравнения
- •11. ОТОБРАЖЕНИЯ
- •11.1 Системы с дискретным временем в отображениях
- •11.2 Итерации в исследовании динамических систем
- •11.3 Графические методы нахождения неподвижных точек и исследования их свойств
- •11.4 Многопараметрические отображения
- •11.5 Примеры некоторых важные отображений
- •12. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- •12.1 Дифференциальные уравнения и особые точки
- •12.2 Классификация точек равновесия
- •12.3 Фазовые портреты и особые точки нелинейных ОДУ
- •12.4 Многомерные системы
- •13. РЕГУЛЯРНЫЕ АТТРАКТОРЫ И РЕПЕЛЛЕРЫ
- •13.1 Типы аттракторов
- •13.2 Фазовый объём
- •13.3 Репеллеры
- •13.4 Осциллятор и осцилляции
- •14. УСТОЙЧИВОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- •14.1 Устойчивые и неустойчивые равновесия
- •14.2 Устойчивость по Ляпунову (метод первого приближения)
- •14.3 Показатель Ляпунова
- •14.4 Устойчивость нелинейной системы
- •14.5 Метод функций Ляпунова
- •14.6 Функция Ляпунова и энтропия
- •14.7 Асимптотическая устойчивость
- •14.8 Устойчивость особых точек
- •14.9 Устойчивость особых точек
- •14.10 Устойчивость решений дискретных уравнений
- •15. БИФУРКАЦИИ
- •15.1 Бифуркации: основные понятия и классификация
- •15.2 Элементы теории бифуркаций
- •15.3 Простейшие бифуркации
- •16. БИФУРКАЦИИ ЦИКЛОВ
- •16.1 Предельные циклы
- •16.2 Устойчивость предельных циклов
- •16.3 Бифуркации устойчивых предельных циклов
- •16.5 Бифуркация рождения пары устойчивых замкнутых траекторий.
- •16.6 Транскритическая (обмена устойчивостью между циклами) бифуркация.
- •16.7 Бифуркация исчезновения (рождения) пары замкнутых траекторий.
- •16.8 Бифуркация удвоения периода цикла
- •16.9 Бифуркация рождения (гибели) двумерного тора.
- •16.10 Гомоклиническая бифуркация рождения/исчезновения цикла
- •17. ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС
- •17.1 Хаос статистический и динамический
- •17.2 Предсказание статического поведения системы
- •17.3 Сценарии перехода к хаосу
- •17.4 Примеры систем с хаосом
- •18. ХАОС В ЛИНЕЙНЫХ ОДНОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
- •18.1 Бифуркационные диаграммы
- •18.2 Лестница Ламерея
- •18.3 Отображение Бернулли
- •18.4 Треугольное отображение
- •18.5 Отображение «тент»
- •18.6 Канторов репеллер
- •18.7 Детерминированная диффузия
- •19. ХАОС В ЛОГИСТИЧЕСКОМ ОТОБРАЖЕНИИ
- •19.1 Переход к хаосу через удвоение периода
- •19.2 Логистическое уравнение
- •19.3 Дискретное логистическое уравнение
- •19.4 Логистическое отображение
- •19.5 Бифуркационная диаграмма логистического отображения
- •19.6 Цикл периода 3
- •19.7 Фазовые диаграммы логистического отображения
- •19.8 Аттракторы и фракталы в логистическом отображении
- •20. ХАОС В НЕЛИНЕЙНЫХ ОДНОМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ
- •20.1 Отображение xn+1=С+xn2.
- •20.2 Отображение xn+1=а-xn2.
- •20.3 Подобие окон периодической динамики
- •20.4 Порядок Шарковского
- •20.5 Универсальность Фейгенбаума
- •20.6 Устойчивость циклов одномерных отображений
- •20.7 Топологическая энтропия
- •20.8 Синус-отображение
- •21. ХАОС В НЕЛИНЕЙНЫХ ДВУМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ
- •21.1 Отображение Эно (Henon map)
- •21.2 Отображение подковы и отображение пекаря
- •21.3 Отображение «кот Арнольда» (Arnold’s cat map)
- •22. НЕРЕГУЛЯРНЫЕ АТТРАКТОРЫ
- •22.1 Хаос в консервативных и диссипативных системах
- •22.2 Регулярные и хаотические аттракторы
- •22.3 Квазиаттракторы
- •22.4 Хаотически аттракторы
- •22.5 Негиперболические хаотические аттракторы
- •22.6 Фрактальные аттракторы
- •22.7 Характеристика нерегулярных аттракторов
- •22.8 Странные нехаотические аттракторы
- •22.9 Сингулярные аттракторы
- •22.10 Многомерные нерегулярные аттракторы
- •22.11 Дикие аттракторы
http://profbeckman.narod.ru/
точка пересекает ось 0x в направлении снизу вверх. Отметим это на фазовой плоскости. Далее, исходя из симметрии, можно указать направления движения и по остальным траекториям.
Рис. 28. К примеру 17.
Пример 17. Исследовать точки равновесия и начертить фазовый портрет следующей системы: dx/dt=3x−4y, dy/dt=2x−y.
Определитель матрицы данной системы равен
3 |
4 |
|
det A |
3 |
4 |
5 0. |
|
A |
|
|
, |
|
|
||
|
2 |
1 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
.Следовательно, система имеет единственное положение равновесия в точке (0,0). Вычислим собственные значения матрицы A:
3 |
4 |
0, 3 1 8 0, 2 2 5 0, |
D 16, 1,2 |
|
2 4i |
1 2i. |
2 |
1 |
|
||||
|
|
2 |
|
Собственные значения λ1, λ2 представляют собой комплексно-сопряженную пару чисел с положительной действительной частью. Поэтому положение равновесия в начале координат является неустойчивым фокусом. Найдём уравнения изоклин. Вертикальная изоклина описывается следующим уравнением: dx/dt=3x−4y=0 y=(3/4)x. Горизонтальная изоклина определяется уравнением: dy/dt=2x−y=0 y=2x. Выясним направление закручивания спиралей, вычислив производную dy/dt в точке (1,0): dy+dt(1,0)=2 1−0=2>0.Таким образом, спирали закручиваются против часовой стрелки. С учетом найденных данных построим схематический фазовый портрет системы (рис. 28).
12.3 Фазовые портреты и особые точки нелинейных ОДУ
При изменении параметров в нелинейных уравнениях могут происходить не только количественные изменения (смещения траекторий, изменения скоростей), но и качественные преобразования, при которых возникают новые структурные элементы фазового портрета или исчезают некоторые из имеющихся, т. е. происходит перестройка структуры фазового портрета. Закономерности такой перестройки устанавливаются методами теорий бифуркаций и катастроф.
В анализе поведения нелинейных динамических систем широкое применение нашли методы линеаризации, поскольку в окрестностях точки равновесия поведение фазовой диаграммы нелинейной модели аналогично поведению линейной. Остановимся на этой методике.
Предварительно напомним, что для фазовых траекторий автономной системы с непрерывно дифференцируемой правой частью справедливы следующие утверждения:
–две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают;
–фазовая траектория, отличная от точки, есть гладкая кривая (в каждой её точке есть ненулевой касательный вектор);
–всякая фазовая кривая принадлежит к одному из трёх типов – гладкая кривая без самопересечений, замкнутая гладкая кривая (цикл), точка.
Пример 18. Имеем систему уравнений . Равновесная точка х=0.
f |
|
(3x |
2 |
y |
2 |
|
1 2 xy |
|
|
f |
|
|
0 |
1 |
||||
|
|
1 2 xy |
|
|
x |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
2 |
3y |
2 |
x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=rcos и y=rsin r r3 и 1. Стабильный фокус
при >0 и нестабильный фокус при <0.
Рис. 29. К примеру 19.
Приведём примеры анализа систем линейных ОДУ второго порядка.
Пример 19. Найти точки равновесия и характеристические фазовые траектории вокруг этих точек для системы
x (3x 0,5)x x x2 0 .
http://profbeckman.narod.ru/
Решение. |
|
|
x x |
2 |
x(1 x) 0; |
x01 0 |
x x x01 |
x |
Проведём |
||||
x |
x 0; |
|
|
x 0 |
|
x x x |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
02 |
x 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0,5 x x 0 |
|
x |
0,5 x x 0 |
|||||
линеаризацию системы. |
|
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
x |
0,5 x ( x 1) x 1 |
0 |
x |
0,5 x x 0 |
||||||
|
|
|
|
0,5 1 0 |
0,5 i0,97 неустойчивый фокус |
|||||
|
2 |
|
|
|
|
0,78 |
||||
Характеристическое уравнение |
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
0,5 1 0 |
|
|
седло |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1,28 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 30. К примеру 20.
Пример 20. Найти точки равновесия и характеристические фазовые траектории вокруг этих точек для системы x sin x 0 .
|
|
|
|
|
2k |
|
sin x sin 2k x sin x x |
||||||||
Решение. x |
x 0 sin x 0 x0 k x0 |
|
|
sin x sin x x |
|||||||||||
|
|
|
|
2k 1 |
|
||||||||||
После линеаризации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x 0 |
|
|
|
|
1 0 |
i1 |
|
Центр |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
харктерстическое уравнерие 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 0 |
1 |
|
Седло |
|||||||
x x 0 |
Пример 21. |
|
|
||||||||||||
|
|
Найти точки равновесия и |
характеристические фазовые |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
траектории вокруг этих точек для системы x |
x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x 0 |
|
I |
|
|
|
|
|
I |
|
x0 0 |
|
|
|
x |
x x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Решение. |
|
x 0 |
|
Сингулярная точка |
|
x0 0 |
|||||||
|
|
|
x |
x x 0 |
|
II |
|
|
|
|
|
II |
|||
|
|
Рис. 31. К примеру 21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Характеристическое |
уравнение |
|
|
|
|
|
I |
2 |
1 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
||
|
|
1,2 |
0,5 i0,866 Фокус |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0,62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1,2 |
|
Седло |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сингулярная (равновесная) точка - точка на фазовых траекторий с неточным наклоном
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x 0 |
|
||||
|
dx dx / dt |
|
f (x, x) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для линейной время инвариантной системы начало |
dx |
dx / dt |
|
|
|||||||
|
|
|
x |
0 |
x 0 |
|
есть единственной равновесной точки.
Пример 22. Найти точки равновесия и характеристические фазовые траектории вокруг этих точек для системы x x signx 0
|
|
|
|
I |
|
Решение. |
x x 1 0 |
x 0 |
точка |
||
|
|
Сингулярная |
|||
|
|
x x 1 0 |
x 0 |
II |
|
I |
x01 1 |
|
|
|
|
|
x02 |
1 |
|
|
|
II |
|
|
|
Рис. 32. К примеру 22.
http://profbeckman.narod.ru/
|
|
I |
2 |
1 0 |
Характеристическое уравнение |
2 |
1 0 |
||
|
|
II |
||
1,2 |
i1 |
Центр |
|
|
Полюса |
i1 |
Центр |
|
|
|
|
|
||
1,2 |
|
|
|
|
Линия переключения – граница, разделяющая различные линейные плоскости.
Равновесная (сингулярная) линия генерируется взаимодействием между фазовыми траекториями в различных площадях.
Пример 23. Найти точки равновесия и характеристические фазовые траектории вокруг этих точек для системы
dx
dt y(xdy x(y
dt
1)
1)
Система имеет два равновесных (стационарных) решения Равновесие 1: тривиальное решение х0=0; у0=0
Равновесие 2: нетривиальное решение х0=-1; у0=-3
Линеаризованная |
модель Х |
|
0 |
1 |
Х , |
где |
Х=х-х0. |
После |
линеаризации |
получим |
||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
х0 1 |
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
А |
у0 3 |
х0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
33. |
|
Фазовые |
портреты |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линеаризованной модели примеру 23: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а – равновесная точка 1; б – |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равновесная точка 2. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Равновесие |
1 |
(тривиальное) |
(0,0) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3; |
2 3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
, |
|
|||||||
Равновесная точка - седло, |
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
||||
Стабильный собственный вектор V1 |
|
. Нестабильный собственный вектор V2 |
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0,866 |
|
|
|
|
|
|
|
0,866 |
|||||
Равновесие 2 (нетривиальное) (-1,-3) А |
3 |
0 |
1 3, |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точка равновесия - стабильный узел.
1
"Быстрый" стабильный собственный вектор V1 "Медленный" стабильный собственный0
0
вектор V2 1
.
Рис. 34. К пределу 23. Фазовая диаграмма для нелинейной модели. Линейная модель поглощает поведение нелинейной модели вблизи критической точки.
http://profbeckman.narod.ru/
12.4 Многомерные системы
Заметим, что термин седло в Rm относится ко всем случаям, в которых существуют некоторые собственные значения с положительными и некоторые с отрицательными вещественными частями. Термин седловой узел используется, когда собственные значения являются вещественными, седловой фокус, когда некоторые из собственных значений являются комплексными. Пример последнего представлен на рис. 35. Два вещественных вектора, связанные с комплексно сопряженной парой собственных значений с отрицательной вещественной частью, охватывают устойчивое собственное пространство. Орбиты асимптотически приближаются к неустойчивому собственному пространству, определяемому собственным вектором, связанным с положительным собственным значением, вдоль которого динамика взрывоопасна.
Якобиан трехмерной системы имеет 3 собственных значения, одно из которых вещественно, а две другие могут быть либо действительными, либо комплексносопряженными. В зависимости от типов и признаков собственных значений возможны различные ситуации (рис. 36).
Трёхмерные системы описываются с использованием понятий:
Устойчивый (неустойчивый) узел – три действительных корня одного знака или один действительный и два комплексных с тем же знаком действительной части и с ведущим действительным корнем.
Рис. 35. Решения дифференциальных уравнений в трёхмерном представлении: а – особые точки х0 типа седло-узел; б – особые точки х0 типа седло-фокус.
Устойчивый (неустойчивый) фокус – один действительный и два комплексных с ведущими комплексными.
Рис. 36. Особые точки: а – центр; б – седло.