http://profbeckman.narod.ru/

x y	0.
y x

Здесь все траектории являются окружностями x2+y2=C.

x cos t

Из решения системы

y sin t

sin t		C1			следует, что движение имеет
cos t
		C
			2

периодический характер, и точка пробегает окружность бесконечно много раз. Соответствующие траектории являются замкнутыми. Точка (0;0) системы называется центром. Направление движения по окружностям определяется знаком . Чтобы увидеть это направление, построим вектор скорости в произвольной точке, например, x=0, y=0. Из решения исходной системы уравнений получаем x y, y 0, т.е. движение происходит против часовой стрелки, если >0,

и по часовой стрелке, если <0.

10.4 Нелинейные дифференциальные уравнения

Как уже упоминалось, нелинейная система - это система, процессы на выходе которой не пропорциональны процессам на вводе. В отличие от линейных, нелинейные динамические системы, эволюционирую во времени хаотично и непредсказуемо или противоречиво. Поведение нелинейной системы описывается в математике нелинейной системой уравнений, которая представляет собой набор обыкновенных уравнений, в которых неизвестные (или неизвестные функции) представляют собой переменные полинома степени выше единицы. В нелинейной системе уравнений решаемое уравнение не может быть записано как линейная комбинация неизвестных переменных или функций, в них участвующих.

Нелинейное дифференциальное уравнение – это уравнение, в котором неизвестной величиной является некоторая функция. В самом дифференциальном уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные её производные в нелинейном виде

Нелинейное дифференциальное уравнение – дифференциальное уравнение

(обыкновенное или с частными производными), в которое по крайней мере одна из производных неизвестной функции (включая и производную нулевого порядка - саму неизвестную функцию) входит нелинейно. Различают обыкновенные нелинейные дифференциальные уравнения (ОДУ) и нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных.

Иногда под нелинейным дифференциальным уравнением понимается наиболее общее уравнение определенного вида. Например, нелинейным обыкновенным

дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение f (x, y, dy ) 0 с dx

произвольной функцией f(x,y,u); при этом линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка соответствует частному случаю f(x,y,u)=a(x)u+b(x)y.

Общий вид нелиненого уравнения с одним неизвестным имеет вид: F(x)=0. Далеко не все уравнения решаются аналитически. Например, уравнение ax2+bx+c=0 решается легко (имеет два корня), а уравнение axn+bx+c=0 аналитического решения не имеет (решение проводят численными методами).

Пример 15: y''=ln(x)+2y – линейное уравнение; yy'=x-y-3 – нелинейное уравнение.

В отличие от линейных, нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае не имеют методов решения, кроме некоторых частных случаев.

Примерами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений являются уравнения Бернулли, Риккати, Лагранжа, Клеро, Д'Аламбера, Эйлера, Навье-Стокса, нелинейное уравнение

http://profbeckman.narod.ru/

Шредингера и множество других. Они могут быть первого, второго и более высоких порядков.

Рис. 15. Решения уравнения u u2 .

Пример 16. Дано автономное (правая часть явной форме не зависит от времени) дифференциальное уравнение

u du u2 dt

с начальным условием u(to)=u0.

Решение начнём с того, что разделим переменные

du

u2 dt,

ипроинтегрируем обе стороны

1 du

u u2 t k.

Решив это алгебраическое уравнение, получим

	u	1	, откуда k		1	t0 .
		t k
					u0
	Решение имеет вид: u					u0
							.
				1 uo t t0

Некоторые типы зависимости u от t для Ур.1 представлены на рис.15.

Когда t приближается к своему критическому значению t =t0+1/u0, решение «взрывается», т.е. u(t)→∞ при t→t . Время взрыва t зависит от начального условия: чем больше u0>0, тем быстрее решение уходит в бесконечность. Если начальное условие отрицательно (u0<0), то решение хорошо определено для всех t>t0, но имело особенность в прошлом при t =t0+1/u0<t0. Единственное решение, существующее для всего положительного и отрицательного времени, есть постоянное решение u(t)≡0, соответствующее начальному условию u0=0.

Этот пример демонстрирует важность проблемы устойчивости при решении нелинейных дифференциальных уравнений.

Аналитическое решение нелинейного ОДУ – исключительный случай. Даже простые нелинейные уравнения не могут быть решены в замкнутой форме. Например, решение уравнения Риккати

du u2 t dt

не может быть записано в терминах элементарных функций, хотя и может быть выражено

втерминах специальных функций.

Суравнением Абеля дело обстоит ещё хуже

du u3 t . dt

так как его общее решение не может быть записано в терминах стандартных специальных функций; решение представляют в виде степенных рядов.

Крупная неприятность при работе с нелинейным дифференциальным уравнением заключается в том, что одно и то же уравнение при конкретном начальном условии и при непрерывном времени может иметь несколько, а то и бесконечное множество решений.

Пример 17. Автономное скалярное уравнение

		du		5	u	2	,	u(0) 0.
						5
		dt 3												3
									3		du
	решается обычным методом													u	5	t c . Тогда
									5			2
											u 5

5

u t c 3 .

http://profbeckman.narod.ru/

Подставив в начальное условие, найдём, что c=0, и, следовательно, u(t)=t5/3 является решением начальной задачи. С другой стороны, поскольку правая часть дифференциального уравнения обращается в нуль при u=0, постоянная функция u(t)≡0 есть равновесное решение дифференциального уравнения. Более того, равновесное решение имеет одно и то же начальное значение u(0)=0. Поэтому построили два разных решения начальной задачи. Нет единственного

решения! Хуже того, на самом деле существует бесконечное число решений проблемы начального значения. Для любого а>0 функция

0,				0 t a
u(t)	5
	t a		,	t a
	3

дифференцируема всюду, даже при t=a. К тому же она удовлетворяет как дифференциальному уравнению, так и начальному условию и, следовательно, определяет решение проблемы с начальным условием. Некоторые из этих решений представлены на рис. 16.

Рис. 16. Решения дифференциального уравнения ̇=

/

Таким образом, для обеспечения единственности решений требуется ввести более строгие условия, помимо простой непрерывности.

Теорема: Если исходная функция F(t, u) C1 непрерывно дифференцируема, то существует одно и только одно решение для задачи с начальными условиями:

		du	F t,u ,	u(t0 ) a
		dt
	Трудность с решением состоит в том, что функция F (u)				5	u	2	, хотя и непрерывна всюду,
							5
				3

но не дифференцируема при u=0, и, следовательно, теорема единственности не применима. С другой стороны, F(u) непрерывно дифференцируема вне u=0, и поэтому любое ненулевое начальное условие u(t0)=u00 даёт единственное решение – для любых u вдали от точки u=0.

Поскольку нелинейные динамические уравнения решить трудно, или вообще невозможно, то нелинейные системы обычно аппроксимируют (с использованием тех или иных приближений) линейными уравнениями (линеаризация).

Пример

18.

Линейное уравнение

гармонического

осциллятора

d 2 y

2 y 0

можно

dx2

рассматривать

как

приближение

нелинейного

уравнения математического

маятника

d 2 y

2 sin y 0 для случая малых амплитуд, когда y ≈ sin y.

dx2

Пример 19. Нарисовать фазовый портрет системы и найти её особые точки

1 −

−

̇= 1 −

−

Система

покоя: (+1) и (0;+1). Уравнение траекторий

(1 −

= 0 имеет четыре точки ̇= 2

−

)

= 2

является

уравнением в полных дифференциалах, и в

нём есть

2

= 0

интегрируемые комбинации:

.(1 − )

− ( +

) = 0

. Следовательно, общий интеграл

имеет вид

Можно представить поведение траекторий, рассматривая их линии

как линии

уровня функции

График этой функции представлен на рис.17а,

−

−

=

а сечение полученной

поверхности по плоскостям z=C - на рис.17а.

(

; ) =

+ − .

http://profbeckman.narod.ru/

Рис. . Построение фазового портрета в примере 1: а – поверхность z=F(x;y); б – фазовый портрет системы.

Прямая y=0 – решение уравнений траекторий						. Однако точки покоя
(+1;0) разбивают её на несколько траекторий.	Замкнутая линия проходит через точки (+1;0), она
		(1	− −	)	= 2

разбивается этими точками на две траектории, движение по каждой из них происходит от точки (1;0) к точке (-1;0). Это иллюстрирует факт, что линия функции F(x;y) может состоять из

нескольких траекторий. Все эти траектории лежат на линии ( ; ) = +− = 0.

Локальные портреты точек (+1;0) обладают всеми свойствами седла; две траектории входят в точку, две – выходят из нее, остальные точки сначала приближаются к точке покоя вдоль входящей траектории, а затем удаляются от точки покоя вдоль уходящей траектории. Поэтому точки. Поэтому точки (+1;0) мы тоже назовём седлом. Точки (0;+1) окружены замкнутыми траекториями, и их локальный портрет есть центр.

Как показывает пример 19, в нелинейном случае поведение траекторий в некоторой окрестности точки покоя может обладать теми же существенными чертами, что и траектории линейной системы, т.е. выглядеть как седло, узел, фокус или центр (фазовые портреты точек покоя качественно эквивалентны). Поэтому можно заменить нелинейную автономную систему линейной, имеющую точку покоя того же типа.

Допустим, что система второго порядка

x P(x; y)	(48)
y Q(x; y)

имеет точку покоя (0;0). Если правые части системы можно записать в виде

( ; ) =

4 + 4 +

( ; )

,

( ; ) = 3 +

3 + ( ; )

где

( ; ) =

+

при

(

+

) → 0,

(49)

̇=

4

+

4

называется линеаризацией

системы (48) в точке (0;0).

̇=

3

+

3

Линеаризацию системы можно провести в любой точке покоя (х0;у0), введя

локальные

координаты

( ; )

по

правилу

При такой замене

переменных точка покоя будет иметь

координаты =0, =0). Более эффективным методом

=

+ , = + .

построения линеаризации является разложение правых частей системы по формуле Тейлора в окрестности точки покоя. Из этой формулы следует, что матрица линеаризованной системы имеет вид

=	;	(50)
Теорема о линеаризации устанавливает связь фазового портрета нелинейной
системы (48)	в окрестности точки покоя с фазовым портретом её линеаризации. Эта
теорема утверждает, что в невырожденном случае		det =	3	3	≠ 0	их фазовые
			4	4

портреты качественно эквивалентны, если только точка покоя линеаризованной системы не является центром. Другими словами, центр является единственным исключением. Если

http://profbeckman.narod.ru/

же точка покоя является седлом, узлом, вырожденным узлом или фокусом, то такой характер имеет и точка покоя нелинейной системы.

Вернёмся к примеру 19. В точках (+1;0) линеаризованная система имеет матрицу

±2 0

=0 ± 2 .И той и другой точке собственные числа этой матрицы имеют разные

знаки, следовательно, по теореме о линеаризации, у нелинейной системы каждая точка

является седлом. В точках (0;+1) линеаризованная система имеет	матрицу			сделать± 2 ,
		позволяет0
и для нее эти точки являются центрами. В этом случае теорема не			=
вывод о характере поведения траекторий нелинейной системы.	Хотя по линиям± 2уровня0

первого интеграла F(x;y) эти точки действительно являются центрами. Изучение линий уровня первого интеграла – один из эффективных способов определения центра, поскольку линеаризация в таком случае не работает.

Автономное уравнение второго порядка x f (x; x) можно свести к автономной системе, положив y x . Фазовым пространством уравнения второго порядка, таким образом, следует считать плоскость (х; x) .

Линеаризация применима в пределах допустимой точности и для небольшого диапазона входных значений, но некоторые интересные явления, такие как солитоны, хаос и особенности она описать не может. Поэтому некоторые аспекты динамического поведения нелинейной системы и кажутся противоречивыми, непредсказуемыми или даже хаотичными. Хотя такое хаотичное поведение похоже на случайное, оно не является случайным. Эта нелинейность - причина невозможности точных долгосрочных прогнозов.

Одна из самых больших трудностей нелинейных задач состоит в том, что в общем случае невозможно объединить известные решения в новые решения. В линейных задачах семейство линейно независимых решений может быть использовано для построения общих решений по принципу суперпозиции. Даже если удаётся найти несколько конкретное решение нелинейного уравнения, отсутствие принципа суперпозиции препятствует построению окончательного решения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка часто точно решаются путем разделения переменных, особенно для автономных уравнений.

Пример 20. Нелинейное уравнение	du	u2	имеет общее решение u	1	как общее решение
				x C
	dx

(а также u=0 как частное решение, соответствующее пределу общего решения, когда С ).

Уравнение нелинейно, поскольку оно может быть записано как	du	u2	0. Левая часть
	dx

уравнения не является линейной функцией от u и ее производных. (Если u2 заменить на u, то проблема станет линейной (задача радиоактивного распада).

Типы нелинейного динамического поведения: хаос – значения системы не могут быть предсказаны бесконечно далеко в будущее, а колебания апериодичны; мультистабильность – наличие двух или более стабильных состояний; амплитудная смерть – любые колебания, присутствующие в системе, прекращаются из-за какого-то взаимодействия с другой системой или обратной связи одной и той же системы; солитоны

– самоусиливающиеся одиночные волны.