книги из ГПНТБ / Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие

Подставляя'эти		выражения			в формулу	(5.10), пoлy^[ae^f
Р, (х) fc, Р. (ха +		til)	= у,	+	/Ду„ + - ^	7 —	42У« + • • • + .
+ - ,	« - » - к		\ ,	- к	± » - » у , +		. . . +
+	' " - " • • J f				- 1 + - 1 L 4 . y „ ,		( 5 , 2 )

Формулу (5.12) называют первой интерполяционной фор­ мулой Ньютона, где t вычисляется по формуле (5.11). Форму­ лу (5.12) выгодно использовать для интерполирования функции в окрестности начального значения х0, где t мало по'абсолютной величине.

Если в формуле (5.12) положить и = 1, то получим формулу линейного интерполирования:

	Рі(х)	= Уо +		"Уо •		(5.13)
При п = 2 получаем формулу параболического вдш квадра­
тичного интерполирования:
Р,	(х) = ><„ +	а У о	+	t ( t ~ 1 } tfy„ .		(5.14)
Пример 5.7. В приведенной ниже таблице даны						значения
интеграла вероятностей
		9	Р
		V	г. ]
			о
Применяя формулу (5.12), приближенно найти Ф					(1',43).
Р е ш е н и е .	Дополняем		заданную таблицу		разностями
функции до третьего порядка			включительно. При этом, чтобы
в записи избавиться от десятичных нулей, значения						разностей
умножаем на 104 (табл. 5.9).

За Хо принимаем ближайшее табличное значение к искомо­ му значению х =1,43, т. е. полагаем л:0 =1,4. Так как h = 0,1, то

1 , 4 3 - М _ _

1

o.i

~

Подставляя / в формулу					(5.12), получаем
Ф (1,43)		0,9523. + 0,3 • 0,0138 +					° ' 3	(	^ ~	1 } (-0,0036) 4-
+	Q . 3 ( 0 , 3 - 1 ) ( 0 , 3 - j ) . 0 0 0 0 9						=	0	9 5 б 8 6	^ 0 9 5 6 g
				о !
(Табличное значение Ф					(1,43) =0,9569).
									Таблица 5.9
			X	У	Ду				і
			1,0	0,8427	375
				0,8802			— 74
			1,1		301					10
			1,2	0,9103			-	64
					237					10
			1,3	0,9340			-	54
					183					9
			1,4	0,9523			-	45
					138					9
			1,5	0,9661			-	36
					102					9
		/	1,6	0,9763			— 27
		/		0,9838	75		— 22		'	5
			1,7		53					6
			1,8	0,9891			—	16
					37					4
				0,9928			—	12
			1,9		25
			2,0	0,9953
											I
§ 5.5.	ВТОРАЯ		И Н Т Е Р П О Л Я Ц И О Н Н А Я Ф О Р М У Л А							Н Ь Ю Т О Н А
Поскольку при интерполировании вблизи конца таблицы в
формуле (5.І2)				/ не мало, то формула				(5.12)		в этом	случае
практически			неудобна. И при интерполировании вблизи								конца
таблицы применяют вторую интерполяционную формулу Нью­
тона. Дл я ее получения запишем						полином (5.1) в виде:
	Рп (х)	=	а0	+ а, (* — х„) -f		а2 (* -			х„) (х — *„_,) -}- .
	+	аь (х —-х„) (х — x„-i)				(х — х„-.2) •+ . . • +
			+	а„ (х — хп) (х — ха-х)			. . . (х — хх) .				(5.15)

Коэффициенты будем искать из условия		(5.3).
Положив в (5.15) х = хп,	имеем у„ = а0 ,	при х=.х„-\	по­
лучаем
У „ - 1 = УпЛ	«і (Хп-1 — хп)	,
откуда

При

х — х„-2

из

(5.1)

имеем

,

Уп-2 -

>'„ +

—

~

(Хп-2

~

*„) "Г Я 2

( # „ - 2

-

* я )

X

X ( * л - 2

— * л - і )

или

у„_2 = у„

+

У ^ - У " - '

( -

2А)

+ а ;

( -

2А) ( -

h) ,

откуда

п

__

Ул — 2ул _1 +

ул _2

A-j/„_2

С* о —-

'

2 ! h-

2 ! А2

Применяя метод математической

индукции,

получаем

а — А* Уп~~к

k = О 1 9

я

* ~

А ! /г* '

' ' '

' '

'

Подставляя

эти значения

в формулу (5.15),

находим

Рп

00 = Уп +

^ т у -

(х -

*„)

+

" з Н ж "

{

х -

*"}

х

X

(X -

Xn-l)

+

— ^ T > 3 ~

(* -

*„) С* -

' « - О

(X ~

Хп-2) +

+ - - - + - * ^ ( * - * » ) • • • ( * - * • ) •

( 5 , 1 G )

Формула (5Л6) называется второй интерполяционной фор­ мулой Ньютона. Для применения этой формулы в более удоб­ ной записи в нее вводят новую переменную t по формуле

(5.17)

тогда
х ~	_	х - ха	+ h _	х - * я _ 2	,
А		д	— - f - f - І ,	^-	- f t - !

и т. д.

Подставляя эти значения в (5.16), получаем

РпЛх)	=	Уп +	аз»»..! +		-	^	Г	^	д'"' >'»-2	+
+ . . . +		і т и ± 2		І А . Л .				+	. . . +
+	<	( і ±	1 ^	^ 1	^	1	, .	У и	.	(5.18)

Вторую интерполяционную формулу Ньютона для практи­ ческих вычислений применяют в форме (5.18).

Как первая, так и вторая интерполяционные формулы Ньютона могут быть использованы для экстраполирования функции, т. е. для нахождения значений функции у для значе­ ний аргумента х, лежащих вне пределов таблицы, т. е. когда х є [х0; хп]. Тогда при хе [ху ; хп] замена функции полиномом называется интерполированием в узком смысле, а под терми­ ном интерполирование понимают обе операции.

Если х<Х2 и х близко к Хо, то для экстраполирования вы-

• годно применять первую интерполяционную формулу Ньютона

(5.12), так как тогда t=						^—°- мало, причем		^<0.
Если		же		х > х 0	и х близко к х„,		то удобнее	пользоваться
второй	интерполяционной					формулой	Ньютона (5.18), так как
тогда	t	—	X •—- X		мало, причем г*>0.
				г——
				Л

Таким образом, первая интерполяционная формула Ньюто­ на обычно используется для интерполирования вперед и экс-

•траполирования назад, а вторая — для интерполирования на­ зад и экстраполирования вперед.

Однако операция экстраполирования менее точна, чем опе­ рация интерполирования в узком смысле.

Замечание. При интерполировании в середине таблицы применяют формулу Бесселя (фактически она тоже принадле­ жит Ньютону), которая, например, при п — Ъ имеет вид:

	t { t -	\ ) \	t -	\
		З !
где
/ =	(Л, (**)		=	Ум, ' k = Q, 1, 2, 3) .
Эта формула	обычно	применяется на интервале (JCI; л:2)}.

где 0 < г < 1 , и особенно удобной она оказывается при интерпо­ ляции на середину, т. е. при вычислении значения функции в средней точке

'

X

— Хх

-j-

(t

=

При этом формула

имеет

• вид:

Р з { Х і + т ) = 3 , 1 + т A-Vi ~ ~ п г { Д 2 У о + д г У і )

§ 5.6. О Ц Е Н К И П О Г Р Е Ш Н О С Т И

И Н Т Е Р П О Л Я Ц И О Н Н Ы Х

Ф О Р М У Л Л А Г Р А Н Ж А И Н Ь Ю Т О Н А

Возникает вопрос, насколько близко построенный полином

Рп (х)

приближается

к функции f(x),

т. е. как велик

остаточ­

ный член

• * „ ( * ) = / ( * ) - Л , М -

/

Решим задачу

в предположении, что на отрезке

[а; Ь]. со­

держащем узлы интерполяции в точках х0, хи

х2,...

,х„, функ­

ция f(x)

имеет все производные до

(п + 1)-го порядка

включи­

тельно.

Для решения задачи введем в рассмотрение вспомогатель­

ную функцию

f

и

(х)

= /

(х)

-

Рп

(х)

-

*ttn+l

(х)

,

(5.19)

где

П„.,

(х)

=

(х -

х0)

(х

-

*,) . . . (х

-

хп)

,

(5.20)

а — не определенный пока постоянный коэффициент.

Поскольку

/ (xk) = Рп (хк)

и Il„,.i (х) = 0, k = 0, 1, 2 , . . . , п ,

то и (хк) — 0.

Подберем коэффициент * так, чтобы функция и(х) обра­ щалась в нуль в любой зафиксированной точке q є [a; b), не совпадающей с узлами интерполяции, т. е. пусть

и Ы = / ( т , ) - / 3 я Ы - * 1 1 « + 1 Ы = о,

где т, ф хк . Так как

Пя ..,(т( ) ¥ = 0 ,

то

(5.21)

В результате функций и(х) при,таком значении коэффици-. ента а обращается в нуль на концах каждого из п + 1 отрез­ ков

[х0 ;	х,], fx,;	х,] , ,	. . ,	[х,; т,],	[т,;	х<:.,] , . . . , [х„. г,				х„] .
Применяя теорему Ролля к каждому							из этих отрезков,			нахо­
дим, что и'(х)		имеет	не менее п+		1 корня на [а; Ь]. Применив
теорему Ролля уже к производной и'(х),							можем убедиться, что
а"(х)	обращается в нуль не менее п					раз на [а; Ь). Таким				обра­
зом,	на [а; Ь] производная uSn{ 1 1 (х)					имеет		хотя	бы один ко­
рень	т. е.
			м ( « : і ) ( Р ) = 0 .
. Поскольку
	p<n+i>( J C ) =		о	и	(х)	=	(п	+ 1)	! •

то получаем

иі*--П(х) = /<"+" (х) — а (« + 1) ! .

При х = с из последнего равенства имеем

0	+ » (5)	- «	( я +	1) ! .
откуда
	*	( « 4	1 ) !	К	'

ч

ГІз формул		(5.21) и (5.22) получаем
		f(t,)-Pn(*,)		/("М)(;)
		ГТ,1 + і (ТІ)		( « + ! ) !
или
- Rn	Ы = / Ы - Рп Ы = ^ Г 4 - т у т І Т " • 1 ( ї , ) •				( 5 ' 2 3 )
Выбираем		т, произвольно, но не совпадающим с узлами ин­
терполяции. Поскольку* для узлов				интерполяции /?Я (Л'А )==0 и
11„ і (xk)	= 0,	то формула	(5.23)	справедлива для всех точек
отрезка	[а; Ь], т. е. формулу		(5.23)	можно записать	в виде

Итак, оценка остаточного члена Rn (х) интерполяционных

,полиномов Лагранжа и Ньютона производится по формуле (5.24), где П„.\(х) задается формулой (5.20).

Поскольку £ является корнем на [а; Ь] производной и.("~1)(х), который бывает очень трудно найти, то для более простого рас­

чета. Rn	(х) вводят величину
	МП:Л	= шах	(ж) | ,
		х б [а;	Ь\
и тогда	из (5.24) получаем
/		( / м ) г j И " + | f x ) ; '		( 5 - 2 5 )

Пример 5.8. В условиях примера 5.1 найти 1пЗ,5 и оценить погрешность.

Р е ш е н и е . Из выражения для Рг{х) в примере 5.1 нахо­ дим 1пЗ,5^Рз(3,5) = 1,2552. Для оценки погрешности заметим, что

тогда			3 .
М4	= max |/'V(*)|:=-"і;--
	.і' € (2; 5]	/	О
и. следовательно,
! R3 (3, 5) |	| - • J - 5	• 0.5 • 0,5 • 1,5_ =	0 ) Ш 8 8 < 0 ) 0 0 9

Для оценки погрешности полинома Лагранжа применяют формулу (5.25), а так как в полиномах Ньютона узлы интерпо­ лирования равноотстоящие, то формулу (5.24) в этом случае можно представить в более удобной форме. А именно, приме­ няя формулу (5.11), получаем

X	~~~		til	)
х	— xv	=	х	—	(ха	+ h)) =	h (t	—	1)	;
х	—	=	x	—	(x0	4- 2A) =	h(t	-	2)	;
A: — х л		=	д: —• (хи			-+- «Л) =	h (t	~	п)	\

1I„+ 1 (*) =	А"4 1 * ( / — 1) . . . (* -				/г) .
Тогда из формулы	(5.24)	получаем остаточный член первой
интерполяционной формулы		Ньютона
Rn (*) = А" 1	t ( t ~ ( n	+ i)(\	~	— /("	1 ° ( ^ • •
Аналогично, сделав в формуле			(5.24)	замену л; переменной

/ но формуле (5.17), получим остаточный член второй интерпо­

ляционной формулы Ньютона
* . ( * ) - « » •		^ У - е * "		1	- ^ -
Па практике очень часто бывает сложно					оценить произ­
водную		а е с л и аналитическое выражение f(x) не­
известно,	то и невозможно пользоваться			двумя последними
формулами.
Обычно при практических			вычислениях	интерполяционная
формула	Ньютона	обрывается	на членах,	содержащих такие

разности, которые при заданной точности можно считать по­

стоянными. Предполагая,	что Д ' ! + 1 у		почти постоянны для
функции y — f{x) и h достаточно		мало,		и учитывая формулу
(5.8), приближенно можно положить			\	,
f(n;\)	А „ + 1 ~	Д« + 1 уп		ш

Тогда погрешность интерполяции первой формулой Ньюто­ на оценивается величиной

т. е. абсолютной величиной того добавочного члена, который отличает Р„ц(х) от Рп (х)., Отсюда вытекает следующая практическая рекомендация: в интерполяционной формуле

Ньютона надо удерживать столько членов, чтобы первый от­ брасываемый член был меньше допустимой погрешности рас­ чета.

Надо отметить еще, что из (5.26) и неравенства (которое приведем без доказательства)

« ' - " • • • « - » >	< ^ А ^ т № < « < « )
{п + 1) !	4 (я + 1)

можно получить простую, хотя и грубую оценку погрешности интерполяции в виде:

Эта оценка оказывается полезной при выборе степени ин­ терполяционного многочлена, например, если третьи разности очень малы, то можно ограничиться многочленом второй сте­ пени, что вполне согласуется с выводами, сделанными в § 3.

Аналогично формуле (5.26) при тех же условиях погреш­ ность интерполяции второй формулой Ньютона оценивается величиной

I-	t ( t + \ ) . . . ( t + п)	^"	' У п.
	{п+\)\
Пример 5.9. В примере 5.7 определить			погрешность ответа
по формулам (5.26) и (5.27).		5.7 имеем: п — 3; t = Q,3;
Р е ш е н и е .	Из решения примера
| у У о ; = j 0,0005 - 0,0009 | =			0,0004 .
По формуле	(5.26) получаем
Я з 0 . 4 3 )	0,3 ( 0 , 3 - 1) (0,3 — 2) (0,3 — 3)			0,0004
	4 !

= 0,000016 < 0,00002 . По формуле (5.27) получаем

R 3 (1,43) | < ^ - Ц - • 0,0004 = 0,000025 < 0,00003 .

Более грубая оценка по формуле (5.27) показывает, что в ответе со столькими десятичными знаками, сколько дано в ус­ ловии, т. е. в ответе 0,9569 — все цифры верные,

98

Это верно и в общем случае, а именно, если максимальные разности практически постоянны, то результат интерполирова­ ния по формулам Ньютона обыкновенно имеет столько верных десятичных знаков, сколько их есть в табличных данных, и по­ этому оценка погрешностей не обязательна.

К О Н Т Р О Л Ь Н Ы Е В О П Р О С Ы

1.В чем суть задачи интерполирования?

2.Для чего существуют две формы интерполяционного по­ линома Лагранжа?

3.Получить интерполяционный полином Лагранжа в виде формулы (5.6).

4.Что такое разность «-го порядка? Какими свойствами об­ ладают разности?

5.Как применяется таблица разностей в вопросе о замене функции полиномом?

6.Когда применяют интерполяционную формулу Ньютона,

гкогда — Лагранжа?

7.Вывести первую интерполяционную формулу Ньютона (5.12).

8.Для чего существуют две интерполяционные формулы Ньютона: (5.12) и (5.18)? Когда применяют первую, а когда — вторую?

9.Что такое экстраполирование функции? По каким форму­ лам можно производить экстраполяцию?

10.Что такое остаточный член интерполяционных формул Ньютона и Лагранжа?

11.По какой формуле производится оценка остаточного члена интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона?

12.Почему оценку остаточного члена можно упростить для формул Ньютона, и как это делается?

13.По каким формулам оценивают остаточный член первой интерполяционной формулы Ньютона и второй формулы Ньютона?

14.Как по члену формулы Ньютона можно оценить погреш­ ность расчета? Можно ли по отбрасываемому члену оценивать погрешность обеих формул Ньютона или только первой?

15.Как оценивают погрешность интерполяционных формул Ньютона, если функция задана эмпирически?