книги из ГПНТБ / Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие

Р е ш е н и е . Запишем систему в виде табл. 3.7.

Таблица 3.7

0-	г	2	-1	ш ч
0-	ч	3	-/	2	6
0 = 8		5	-3 Н		12
0-	3	3	-2	г	6

Подвергнем данную таблицу последовательно четырем ша­ гам жордановых исключений, заключая каждый раз разреша­ ющий элемент в рамку. Поскольку каждый элемент таблицы надо делить на разрешающий элемент ars, то выгоднее брать в качестве разрешающего элемента единицу (если это возмож­ но). Получаем табл. 3.8.

Таблица 3.8

	г		1		-х,	-хг	і
X-		г -/ ч			- 2	- 1	- 2
н		-1	ЕЗ -г		0	- 1	- 2
0 =	0
	о -з		; -ч	о-	0	- 2	- 2
0 = - 1		-/	о - 2	0	=		- 2
	-х,	/		1
х=	- 1	0	х -	-/
У			V
	- 1	0		-/
0 *	щ	2		1
			V
	1	2		1

Решением системы являются значения: Х\ — І, Хо = I, хъ — — 1,

Х} = —1,

2. Система имеет бесконечное множество решений.

Пример 3.3. Решить систему

2 — 2х, -[• х2	— 4х	3	= О ,
— 4 - xt ~ 2х2	4- Зх3		= О ,
— 6 — 4х, — Зх2	4- 2х	3	= О .

Р е ш е н и е . Составим табл. 3.9,

Таблица 3.9

~JCf ~*Хг ~vXj і

0 =

0=

0=

г -/ ч г

•г -з -Ч

vз -г -6

Произведем шаги жордановых исключений, заключая разешающий элемент в рамку (табл. ЗЛО).

Таблица 3.10

	f—7Г		1		і
		10	10	-г	-2
	0 = Г5
	2	-з	-ч	1	0
	0 = -5 10 to-			•0 = о 0
	В последней таблице		элемент Хз нельзя		перевести в левый

крайний столбец, так как соответствующий разрешающий эле­ мент равен нулю.

Последняя таблица представляет собой запись следующей системы:

х , =	-	2 • ( - х 3 ) -	2 • I ,
х , =	—	X;,' • 1 4 - 0 -	1 ,

О = 0 • ( — х 3 ) + 0 • 1 .

Итак, данная в условии система имеет бесконечное множе­ ство решений и это решение выражается зависимостью;

3. Система	несовместна.
Пример 3.4. Решить систему
	1 ™~	~~" 2л^2	^-^з	*^1 '— ^ '
	—
	— 3 - х{	+ х2	— 2х3	4- х4	= 0 ,
	3 4- Зх,	4- Зх2	+ Ъх3	+ х,	=> О .
Р е ш е н и е	оформляем в виде табл. 3.11.
					Таблица 3.11

"ОС, ~Хг			і		і
0= И 2	J	1	1	г з	1 і
0 = / -/	2 -/ -з			0 = -з -1	-г -ч
0 = -3 -3 -8 -1 3				0 = 3 1 2 в
		-хг		, 1
		-?	-5	-и
		3	г	ч
0	-	0	0	г

В последней таблице элементы х^ и Х\ нельзя перевести в крайний левый столбец, так как соответствующие разрешаю­ щие элементы равны нулю. Третья строка полученной табли­ цы представляет собой запись уравнения 0 = —х2 • 0—х4 • 0 + 2- 1, Ї. е. 0 = 2. Поскольку это противоречиво, то вывод один: систе­ ма несовместна.

§ 3.3. К О Н Т Р О Л Ь В Ы Ч И С Л Е Н И Й

При решении системы с большим числом неизвестных и в случае, если коэффициенты выражены большими числами, лег­ ко допустить ошибку в вычислениях и трудно ее потом обнару-

жить, поэтому желательно иметь контроль вычислений парал­

лельно решению.
С этой целью вместе с данной системой								(3.1)	можно	решать
контрольную систему
\У г -	V а,Л - V		a,s xs	=	0,	г ==	1,	2 , . . . , т .		(3.3) .
Решение xs		системы	(3.3)	отличается			от решения xs			систе­
мы (3.1)	точно	на единицу: х}		= х\—1, Х2 — Х2—					1,... ,хп*= лг„ — 1,
что видно-из следующего: если
		Vr	- У ars		xs	= 0 ,
TO			s=l
	[У г — У а Л - V ars(xs-						1) = 0 .

Таким образом, можно решать сразу две системы: (3.1) и для контроля систему (3.3). Коэффициенты при неизвестных у обеих систем совпадают, поэтому с целью контроля естествен­ но над обеими системами производить параллельно одинако­ вые операции, но тогда имеет смысл для системы (3.3) записы­ вать операции только над свободными членами:

	п
°г=Уг-	У «« . г = 1, 2 , . . . . от .	(3.4)

С целью контроля системы (3.1) сразу записывают в виде табл. 3.12 и в дальнейшем все шаги жордановых исключений производят над ней.

					Таблица 3.12
					і
	0	-			і/, е,
	л	-	<*„••		Уг
	ч /	—
	» « •		« » 1	• * • • • • f 4 t	* « *
	0^		• а г г -	•

0=

а ™ -

О ™ Ут

В качестве построчной проверки правильности вычислений коэффициентов таблицы после осуществления какого-либо ша­ га жордановых исключений может служить следующее пра­ вило.

1. Если в крайнем левом столбце рассматриваемой строки сюит «нуль», то коэффициент в крайнем правом столбце равен сумме остальных коэффициентов этой строки, причем свобод­

ный член берется со своим	знаком,' а остальные коэффициен­
ты — с противоположными	знаками.	стоит xf ( 5 = 1 , . . . , п), то
2. Если в крайнем левом	столбце

коэффициент в крайнем правом столбце вычисляется по тому

же правилу с той разницей, что вместо	xs прибавляется	— 1 .
В справедливости этого правила	можно-убедиться	непо­

средственной проверкой вычислений шага жордановых исклю­ чений.

§ 3.4. О П И С А Н И Е Л А Б О Р А Т О Р Н О Й Р А Б О Т Ы
Требуется решить систему
у, — ап	х, — а12	х, — а13	х, = 0 .
у2 — а-21 Х[ — а22		х., — а23	х3 — 0 ,
Уз — а31	х, — а32	х2 — а33	х2 = 0 .	(3.5)
Записав эту систему в виде табл. 3.12, получим				конкретно
табл. 3.13.
				Таблица 3.13

	- х,	%		1			і
0-- а„						а її-		a,s
0=	<*„	а	„	%	< V	а	-
							г/
0=	а		%		б 3 =	а	- а -	а
	31						21	Зі
Если, например, а П Ф О ,				то произведя один шаг жордано­
вых исключений			над всей	табл.	3.13 с разрешающим			элемен­

том а\\, получим новую табл. 3.14.

	-хг
	4	4
0 =	& ёгч
0 = 4 4 4		4

Контролем правильности вычислений коэффициентов этой таблицы будет служить выполнение следующих равенств:

Ьхь	=	— b i 2	-	Ь г ъ	+	Ь	н — \ ;
4 г ,	= — b-,0		— b23		- f	Ъ,Л ;
*вз	=	- ь г г	-	& з з	+	Ь	и .

Если Ь 2 2 Ф 0 , то, опять сделав один шаг жордановых исклю­ чений с этим разрешающим элементом, получим табл. 3.15.

Таблица 3.15 Таблица 3.1в

		~Х<	1
	х-	с ,»	C,s
	1

0 =

Css

4 4

Контрольные формулы правильности вычислений, коэффи­ циентов этой таблицы будут иметь вид:

С15 =	С13 + С Н	1 ">
с2-, = • • С-23 -(- с,4		1 ;
СЗо — .	С 33 "Г С З І •

Над табл. 3.15 произведем шаг жордановых исключений с разрешающим элементом с13Ф0 и получим табл. 3.16.

Б этой таблице должно выполняться условие:

^25 = du	— 1 . d.,:> — du		— 1	,	d3r> =	d3i - -	1 .
Решением	системы	(3.6)	будут		числа	X | = £ / M ,	^2 = ^/24,
л:з = ^з4, а контрольные		числа di5	= xi—1, dys — Хг—1. #г5 = *з—1
дадут решение контрольной системы.
			.				Таблица 3.17

Решение

				1
о -			а	У,
0 =	<*„		а	Уг
			гз
0=.	а»			Уз
	- Х Г		-*з	1
	Зи
	О -			4 ,
	0 = 4
				/
	X	=		г
	1
				с
	0	-		Г
				і
				d l 4
			^3 =	< 4

	Контроль
	/
б; —	агГагГагі+уг
	1

1

- c „ +

c H - 1 )

f)

	1				\
	d	l	4	-	1 )
	d	i	4	-	0
d 3 S	( = < 4 "				1 )

Схема решения системы (3.5) приведена в табл. 3.17 в пред­ положении, что система имеет единственное решение.

Пример 3.5. Решить систему
	10 я,, — 5,80.al ~ 21,74.00 л, -				0,33 = 0 ,
-	5,80.я0 4- 21,74 • 00 ал		-	42,1 • 66 а,		-	6,5.26 =		0 ,
	21,74.00 а0 -	42,1.66 а,	4- 121.5.01 а,		-	17,1.55 =			0 .
а,, Ф 0,. Ь.„ Ф 0,		с; ) 3 Ф 0 — разрешающие элементы. Решени­
ем СИСТеМЫ будут ЧИСЛа X\=d\^				Х2 = ^24, Х 3 = іІз4.				значащие
Замечания. 1. В условии точкой отделены верные
цифры от остальных.
2. Напомним лравило подсчета цифр; при умножении и де­
лении следует сохранять в результате столько значащих									цифр,
сколько их имеет приближенное данное с наименьшим									числом
верных значащих цифр.
В промежуточных результатах каждый раз оставляют две
запасные цифры.
Решение оформлено в виде табл. 3.18. Ответом будут слу­
жить	числа: а0 = 1,0.215, а\ = 2,0.07, а 2 = 1,0.204.
§ 3.5.	М Е Т О Д ГАУССА
Часто описываемый в литературе метод Гаусса								отличается
от предыдущего		лишь тем, что после каждого					шага	жордано-

ьых исключений вычеркивают из таблицы разрешающую стро­ ку, выписывая ее отдельно.

На последнем шаге начодят значение одного из неизвест­ ных, а значения остальных вычисляются последовательной подстановкой уже полученных значений неизвестных в выпи­

санные выражения для				х,.
Пример	3.6. Решить			систему		примера	3.2 методом	Гаусса,
осуществляя контроль.
Р е ш е н и е .		Составим табл. 3.19.
					'	• •"' ' Т а б л и		ц а 3.19
				'•2 9	і	Нон тр олЬ
0=	г	г	-/	га	ч
0 =	Ч	3	- /	г	в
0=	8	5	-з	ч	/г	-2 =	/2~8-5-(-3)-Ч
0=	3	3	-г	г	6	о=б-з-з-ы)-г

)

і'о=

юав

-

5,80, а, + 21,74.00аг-

о_зз.

ТйБПиЦб

3J8

1 0=

-5jg0,a0

+21J9.Q0CL, -

42,1.66

а г

-

6,5.26

о=21,74.зоас-

42,і.бба(ч-121,501

аг

-

17,1.55

-а.

і

~ а <

С 8. чл.

\і

0=1

Е Ш 2

!

5,80.

-21ЦОС

-о,зз.

25, 6/. 00

|

5, SO

[

- гі,

г</. оо

4£1.66

-6,5.26

-32, 75.2

!

о-- І

-гі,7Ч.оо

|

42, 1. 66

-12

5,01

-17,1.55

85,3.20

1

Св. чл.

<*о =

5,80. (-Ю)

=-0,58.0

\ (-21,74.00):(-ю)=2,174.00

•

(-0,35): но) ~ о,озз.

25,6/,00:(-/о)= -2, 56/. оо

о

3J£4G

\

-гге.,09

-is. іч _

I4B..S4

-21,79.00-15,80. • 5,80)^-/0)=-13,37.601

42,166-[(-21,74.00).5Mf-/0)^2S,5-.6,SІ'•.26-К-0,33) • 5,80]:(-/0)= -6,717

^1)36,40

I

f2,6.0S

0,19.14

-32/5,2-(2S,t>/.00-5JO):(-10}r-rZ!.n

-/26.,09

'

чгг^е

Г,1.74

-121,5.оі-[(-гі7Щ(-гід^о)$гЩ -м**$і5з)НШ«№Ф-/б. чм

42, Ш-[5,80 {-21,74.00)];Н0)=2Э,5,57

12,6.09

-4~Z26\22

Ґ

-0,71.74

&3?20-[25.Ш0-(-2/, 74.00)):(-Ю)=282.4

-а,

С

чл.

zz

J 4,2.5?

- SS. 7.S<

€1,4.02

-0,5,80 -(29,557- 2,17400)

.(-74,2.38)=0,285.55

0 033. -[(-16,4.38)•<,

74,00):(-74,2.38)=- 0,448.Зг -2,56/. 00-(28,2, 44-2,174.00): (-74^.38;= -£733.90

-0J6S.S5

-485.,86

-0,127/0

6ГЛ.,62

S34..8I

0 = -18,37.60-(29. 557-29, 557): (- 7fJ. 38) =(-

6,Ш

-<$, 7l7-[(-/6,4.38}29 iS7]:(~

74,2.38)=-15,2.62

-17,898-(28,2 44-25,5,5?)/(-74,2.38)=

-6,6.55

-117.68

-112.45

°*'

29, S. 57; (-74, 2.38)=

- 0,398.14

(-16, Ч. 38): (- 74,2 58) = 0,221. *2

28,2.44:(- 74,2.38) = -0,380.45

70

С 8.

чл.

-11.16

-S,

?в,

Ц А

-0,448.37-[(-13,2.62)•0,285.55):(-6,6.08) =

-1,02/5

-/,753.90-1(-6,6.53У 0,285.55J/(- 6,6.08) =-2,00.78

I

o7sr.s/~

0,27.39

41

(-15,262): (-6,6.08) =

2,о.ог

(- 6, 6.53) : (- 6, 6.08)-

1,0.07

SJH.Q1

2,

6.49

1

Q221.42-lc/J,2.62X-QJS8,r4)J^6,6.08)= і 02.04

(- 0, J80.45)-[(-6,6.5JJ-(- ft398.ту. (-ЄЛ08)=0,02.04

-0,?9.90

-0,40.09

Сделав шаг жордановых исключений с разрешающим эле­ ментом ЙІ4=1 и вычеркнув разрешающую строку, получим табл. 3.20.

						Таблица 3.20
	0	-/		Кон	т	роль
				-г	-г=о-(-о-1+ы)
0 = 0		- J		-V - 2 =		0-(-Ъ)-1+(-Ч)
0 -	-/	-/ О	1	С S• o =		-(-t)-(-l)-0+(-2)
Записав		отдельно	разрешающую			строку 0 = —2х\—2хч +
+ х3—Х4	+ 4, из нее получаем
				2 х. 2 х2	+ х3-\- 4

Следующий шаг произведем с разрешающими первой стро­ кой и третьим столбцом. После вычеркивания разрешающей строки 0 = х2—x-i—2 получим табл. 3.21.

				Таблица 3.21
-X, ~У-г	J		Контроль
	і
о -г - 2		0-		о - ( - 2 ) + ( - 2 )
0 = -/E7J - 2		0	=	-(-/)-(-t)+(-2)

Из разрешающей строки имеем

—х>) - 2 •

Кпоследней таблице применим шаг жордановых исключе­ ний с разрешающими второй строкой и вторым столбцом. Окончательно получим табл. 3.22.

Таблица 3.22

	-Xj	1	Контроль
о	2	I 2	ІО--2+2