книги из ГПНТБ / Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие

д) Зная о , вычисляем Д:

А= 0,00069-44,2 «0,03.

А<0,05, следовательно, 2 — цифра верная. Результат: 44,2 ±0,03.

		3. 83,112		: 2,88 « 83,11		: 2,88 ^	28,9.
-	- - х	0,0005		+ 0,002	,	0,005
о -	о , + 6 3	=		то	-г• - T e g - - 1-0019-^0,19%
		Д =	0,0019 • 28,9			0,055 .
Так как Д'>0,05, последняя					цифра результата 9 — сомни
тельная.
	28,9	^ 29;	Д' = 0.055 4- 0,1				1С ^ 0,2 .

А' <0,5, следовательно, в числе 29 все цифры верные. Результат: 29±0,2.

Г л а в а 2

ПР И Б Л И Ж Е Н Н О Е РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

ИТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 2.1. П О С Т А Н О В К А З А Д А Ч И

Для некоторого уравнения (алгебраического или транс­ цендентного) существует формула решения, если его корни можно выразить через входящие в уравнение величины при по­ мощи арифметических операций, извлечения корней, показа­ тельной, логарифмической, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. В этом смысле у квадратного уравнения x2 + px + q = 0 есть формула решения, имеющая вид:

- - - л - * V / J f ^ -

Есть формула и для решения кубического уравнения хг + рх + д = 0. Она имеет вид:

Однако практическое применение этой формулы наталки­

вается на ряд трудностей и требует использования	комплекс­
ных чисел.
Существует формула и для решения уравнений	четвертой
степени, но настолько сложная, что приводить ее	не будем.

Однако доказано, что в общем случае при п> 5 не существует

формулы, выражающей	решение алгебраического уравнения
а0 хп 4 ал	х"-1 + . . . 4- а„- = О

при помощи арифметических операций и извлечения корней.

22

Кроме того, в практических инженерных задачах чаще все­ го уравнение содержит коэффициенты, известные лишь при­ близительно, и тогда сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Да и практически точное значение корня знать не надо, а надо знать его значение с определенной, заранее заданной степенью точности.

Поэтому существуют способы приближенного нахождения корней уравнения и оценки степени их точности. Большая часть этих способов основана на идее последовательных приближе­ ний.

Будем рассматривать уравнение

/ ( л - ) - 0 . .	(2.1)
где функция	/
У /( . V)	(2.2)

существует и непрерывна в некотором отрезке.

Корнем (или нулем) уравнения (2.1) называют всякое зна­

чение с, обращающее функцию			(2.2) в нуль, т. е.
		/ ( = )	= 0 .		(2.3)
В случае нахождения		действительных		корней	равенство
\2.3) геометрически	означает,		что график	функции	(2.2) про­
ходит через точку с	оси	ОХ.

Приближенное нахождение действительного корня урав­ нения (2.1) состоит в том, что надо сначала отделить этот ко­ рень от других, т. е. найти Такой отрезок [а; Ь], в котором со­ держится только один этот корень уравнения, и потом уточ­ нить приближенное значение этого корня, т. е. найти его зна­ чение с заданной степенью точности.

Графический метод

Для отделения корней можно использовать график функ­ ции (2.2). Абсциссы точек пересечения этого графика с осью абсцисс являются корнями уравнения (2.1). Построение гра­ фика даже с малой точностью дает обычно представление о расположении интересующих нас корней и тем самым позво­ ляет отделить их. Если построение указанного графика вызы­ вает затруднения, то следует преобразовать исходное уравне­ ние к виду ?i(jr) = c2 (jc) так, чтобы графики функций \>=ъ,(х) и _у ="-<?2(JC) можно было легче построить. Абсциссы точек пе­ ресечения этих графиков и будут корнями рассматриваемого уравнения.

Для примера решим кубическое уравнение.

х3— \,75х + 0,75 = 0.

Перепишем уравнение в виде я 3 =1,75%—0,75. Тогда иско­ мые корни найдутся как абсциссы точек пересечения параболы у = х3 с прямой у=\,7Ьх—0,75. Построив графики параболы и прямой, из рис. 2.1 находим, что уравнение имеет три действи­ тельных корня: Х\ = —1,5; ^2 = 0,5; х 3 = 1.

Р и с . 2.1.

Несмотря на то, что графические методы решения уравне­ ний удобны и просты, они применимы лишь для грубого опре­ деления корней. Особенно неблагоприятным в смысле потери точности является случай, когда линии пересекаются под очень острым углом и практически сливаются по некоторой дуге.

Тогда применяют метод проб.

§ 2.2. М Е Т О Д П Р О Б

Метод проб основан на теореме: если непрерывная функция y=f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка fa; b], т. е. f(a)f(b) <0, то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень £ уравнения f(x) — 0.

Если существует f'(x) и сохраняет постоянный знак в [а; Ь], то корень q будет единственным (рис. 2.2 и 2.3).

Процесс отделения корней надо начинать с определения знака функции (2.2) в граничных точках отрезка [а; Ь]. Если полученные знаки противоположны, надо выбрать промежу­ точную точку Хо и определить знаки функции на концах отрез­ ков [а; Хо] и [х0; Ь). Корень будет в отрезке, на концах которого

3

и

Рис. 2.4

знаки	функции	противоположны	и т. д.	(рис. 2.4),	при этом
хо, х\,...	можно	брать более или	менее	произвольно,	исходя

из удобства вычислений. О единственности корня будем судить

по тому, меняет		знак	f'(x) в последнем рассматриваемом от
резке или нет.
Для отделения корней практически часто бывает достаточ­
но делить каждый раз промежуток					пополам		(метод			половин­
ного деления).
Если в одном из промежутков
			или		а	+ b
находится корень, то обозначим этот промежуток									[а\\ Ь{\. Но­
вый промежуток [аі; b\] снова делим					пополам н находим						отре­
зок [й2 ; Ь2], в котором			находится корень и т. д.					На л-м			шаге
получаем
			On
Так как последовательность а„ монотонно неубывающая и
ограничена числом b,			a b,t — последовательность							монотонно
невозрастающая		и ограничена		числом		а, то существуют					пре­
делы Игл ап	и	iim b„, а из последней				формулы			следует, что
эти пределы равны искомому корню					с.			— ап
Очевидно,	что абсолютная			погрешность			;			удовлет­
воряет неравенству
		О < ? - а„ < ~ ~ (Ь -а) .
Пример 2.1. Методом половинного деления уточнить корень
уравнения
	fix)		2х[)	х	— 1		О

лежащий на отрезке [0; 1].

Р е ш е н и е . Последовательно вычисляем:

/(0) = -	1; / ( 1 ) =	1;	/ ( 0 , 5 )		= - 1 , 1 9 ;	/ ( 0 , 7 5 ) . - - 0,59;
	/ (0,875) -		0.05;	/	(0,8125) =	- 0,304;
f	(0,8438) =	-	0,135;	/	(0,8594) =	— 0.Г43.
Принимаем		1
			(0,859 + 0,875) =0,867.

Промежуточных выкладок в этом примере не показали, но видно, что в общем случае для подсчета корня -с достаточно

высокой точностью метод половинного деления недостаточно эффективен, так как надо выполнять большой объем работы, поэтому этот метод годится лишь для грубого нахождения корня.

Более эффективными методами для уточнения корня явля­ ются метод хорд и метод касательных. Смысл этих способов состоит в том, что точка £ пересечения кривой (2.2) с осью ОХ заменяется точкой Х\ пересечения с осью ОХ соответствен­ но хорды или касательной. Если найденное значение х\ не удовлетворяет требуемой точности, то уточняет его, находя путем повторного применения этого же метода значение х^- И так далее.

В § 6 будет доказано, что практически для всех рассмотрен­ ных дальше методов равенство ? ^ х„ справедливо с той же точностью, с какой совпадают между собой найденные'значе­ ния х„-х \\хп (например, для этих приближений установились т первичных десятичных знаков).

§ 2.3. М Е Т О Д Х О Р Д		( М Е Т О Д	П Р О П О Р Ц И О Н А Л Ь Н Ы Х	Ч А С Т Е Й )
Наложим	на	функцию	(2.2) условие, чтобы	на отрезке
[а; Ь] она имела непрерывную производную f"{x),				причем что­
бы /'(х) и f"(x)	сохраняли		постоянные знаки на этом отрезке,

т. е. чтобы функция была монотонна и либо только выпукла, либо

только вогнута. Условие f(a) f(b) < 0 будет требованием			суще­
ствования корня на [а; Ь], причем в силу наложенных		на	функ­
цию условий он будет единственным на [а; Ь].
Покажем, что в случае, изображенном на	рис. 2.5,	по мето­
ду хорд п-е приближение корня вычисляется	по формуле

	TW^ntT)f				"•->•		( 2 4 )
Для этого запишем уравнение хорды АВ, проходящей через
тчкя A (a; f (а)),	В(b;f{b)):
	у — /	(а)		х	— а
f	(b) - /	(а)	•	Ь	- а
Положив в этом	уравнении		г/ = 0,	найдем		Х\ —	абсциссу
точки пересечения хорды АВ		с осью ОХ:
х. =	а — —г—г-		т		/ (а)	•

ПерВЫМ Приближением КОрНЯ будет Х\.

Находим f(x\). Знак этой ординаты даст знать, где искать корень: в [а; Х\] или в [*ь Ь] (чтобы значения функции на кон­ цах отрезка были противоположны по знаку). На рис. 2.5 это будет отрезок [Х\\ Ь].

ft

Р и с . 2.5

Далее рассмотрим хорду А\В и, применив аналогичные рас­ суждения, получим

*3" х>~-Т(ь—/Ъ) J'<*•>•

Применяя метод математической индукции, получаем фор­

мулу	(2.4).					\х,]
Так		как	последовательность					монотонна		и ограничена,
то она		имеет предел. В § 5 будет доказано, что этот предел ра­
вен искомому корню					с:				,
					lim х„	=	с .
Пример 2.2. Найти один корень уравнения х3										+ 3х—1	=0.
Р е ш е н и е .
/ (х)	=	х3	+	3 х -	1: / ' ( J C ) =		3 л 2	+ 3 >	0 ;	/ " (х)	=-• 6 х.
Поскольку				f ( 0 ) = — 1; / ( 1 ) = 3			и f'(x)>0,		то данное		уравне­

ние имеет один корень на отрезке [0; 1]. Так как на этом отрез­ ке f"(x)>0, то кривая вогнута, т. е. имеем случай, изображен-

ный на рис. 2.5, и поэтому вычисления будем проводить по фор­ муле (2.4):

л-, = 0 -		.— ( - 1 )—			( -	1) ~ 0,25;	/	(0,25) = -		0І234;
х,	= 0,25 -	1	-	0,25	( - 0,23) = 0,31;			/	(0,31) =	-	0,040;
		- з Т Г г Щ -
		3	-г-	0,23
	=0,31 -	1 — 0,31			( - 0,040) - 0,319 ;			/ ( 0 , 3 1 9 ) — -0,010;
		3 - f		0,040
xt	=0,319— 1 -			0,319
		3 4- 0,010
х:>		1	-	0,321	( - 0,0039» = 0,3219;				} (0,3219)		=
	= 0,321— -		n	' ; " Q
		о	-г U,ШОУ
							=	-	0,0009 ;
х « в 0 , 3 2 1 9		~"	з	~И'от		{ " ° ' 0 0 0 9 )	=	° - 3 2 2 1 •
	Итак, с точностью до 0,001 корень уравнения, лежащий на
отрезке [0, 1], равен 0,322.
	Замечание. Значительную экономию вычислительной рабо­
ты можно получить, если значение дроби
					b	— х,,..,
				/(b)		-/(*„..,)
в формуле		(2.4) брать одним и тем же для всех приближений
корня (так называемый					модифицированный				способ хорд).
	Существует усовершенствованный способ хорд, дающий го­
раздо более быструю сходимость.
	В обычном способе хорд на каждом шаге следует использо­
вать один		из концов отрезка [а; Ь] и последнее получившееся

приближение. Вместо этого можно использовать два послед­

них приближения, так как они ближе			к искомому корню, чем
концы отрезка [а; Ь].
Проведем хорду через точки
(*„_,;	f(x„-i))	и (хп,	/(*„))•
Точка пересечения	x„^i этой хордя с осью абсцисс будет рав­
на (рис. 2.6):

Если случайно окажется, что точка х„и\, вычисленная по формуле (2.5), лежит за пределами отрезка [а; Ь], то на сле­ дующем шаге вместо этой точки надо взять ближайший к ней конец этого отрезка (рис. 2.7).

Рис. 2.6				Рис. 2.7
Для примера решим этим методом уравнение					x3jr3x—1=0,
взяв из решения примера 2.2 #1 = 0,25			и #2 = 0,31:
= х3 -	/ (*,) f {	X x f J f \ ^	= 0,31 + 0,040 X
v	° ' 3 1	- ° - 2 5	п	W
х	- TV340+~O2; M		- ° ' 3	2 2 3 •

Вычисляя f (0,3223) =0,0004, видим, что # = 0,3223 дает иско­ мый корень с точностью до 0,0001.

§ 2.4. М Е Т О Д К А С А Т Е Л Ь Н Ы Х ( Н Ь Ю Т О Н А )

Обозначив первоначально найденное приближение решения через Хо и разложив левую часть решаемого уравнения f(x) = 0 по степеням х—Хо в ряд Тейлора, получим

/ (*„) + - Ц ^ - {х - х0 ) + ^ ' ^ ) - (х - х0Г- + . . . = 0 .

Если отбросить члены выше первого порядка малости, то получим линейное уравнение

/ (х0) !- /' (х0) (х ~ х0) - 0 .