книги из ГПНТБ / Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие

Так как разрешающей строкой была						0 = Х)-\-Х2—2,		то име­
ем *2 = 2—Х\, а из		последней			таблицы	получаем	0 = —2х\ + 2
ИЛИ Х\ = 1.				хі
Подставляя	значение				в выражение для х2 ,			получаем
Л'?=1 и д а л е е х 3	= — 1 и х 4			= — 1.
Замечание. Если коэффициенты уравнения выражены гро­
моздкими числами,		то	следует делать			проверку	при методе
Гаусса и при обратном			ходе, т. е. надо			подставлять		Xi = Xi—1

в соответствующие уравнения контрольной системы:

0 = — 2Х[ — 2х2 -4- х3 — х4 ,

0 =

х{ + х2 ,

О — — 2x~j ,

откуда х\ = 0, х 2 = 0, х3 =—2, х4 = —2.

КО Н Т Р О Л Ь Н Ы Е В О П Р О С Ы

1.Что представляет собой шаг жордановых исключений?

2.Сформулировать правила для осуществления одного ша­ га жордановых исключений.

3.Как решить систему линейных уравнений методом жор­ дановых исключений?

4.Можно ли применять метод жордановых исключений для несовместных систем и систем с бесконечным множеством ре­ шений?

5.Как можно осуществить контроль вычислений?

6.Расписать порядок решения системы трех линейных урав­ нений с тремя неизвестными в случае единственности решения методом жордановых исключений.

7.В чем состоит отличие метода Гаусса от метода жорда­ новых исключений?

Г л а в а 4

СГЛАЖИВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Постановка задачи. Рассматриваются две переменные ве­

личины	х и у, связанные некоторой функциональной			зависи­
мостью	у = •?' (х).	Если для п заданных значений переменной
х ( х ь х2,...,хп)		получены	экспериментальные	значения

у(У\,	У2, • • • ,Уп)>	т о в силу неизбежных ошибок измерений воз­
никают случайные		отклонения значений у,- от истинных зна­
чений	(х[) (рис.	4.1).

Задача состоит в получении такого аналитического пред­

ставления		функции у =	ср (х)	на	отрезке	[х,;	хп],	которое
окажется достаточно точным в некотором заранее							обусловлен­
ном смысле.			в главе 5,					п
Как	будет показано				через	любые			точек
(хь у\),	(х2 ,	Уг), • • •,	у„)	можно	провести кривую,				пред-

ставляемую аналитически многочленом (п— 1)-й степени. Од­ нако интерполяционный способ нецелесообразен в данном слу­ чае по двум причинам: во-первых, если п велико, вычисления громоздки; во-вторых, интерполяционный многочлен, проходя через точки (#(, у-), не сгладит, а учтет ошибки измерений (рис. 4.2).

О

Ри с . 4.2

Вряде задач по характеру самой задачи или непосред­ ственно по расположению экспериментальных точек известен вид функциональной зависимости у ==»(#), и из опыта тре­ буется определить параметры этой зависимости.

Например, если конденсатор, заряженный до напряжения Uо, разряжается через сопротивление, то согласно теоретиче­

ским	данным, зависимость напряжения				от времени должна
иметь	вид	U — 67 п e~at,	где параметр	а	следует определить,
основываясь на результатах измерений					(/,-,	U{), / =	1, 2, ... , h.
Другой пример: на рис.			4.3 на график нанесены эксперимен­
тальные точки. По их расположению				естественно			предполо­
жить,	что	зависимость	у — ъ (х) должна			быть	линейной
у — ах + Ь. Остается определить параметры а и Ь.

Метод наименьших квадратов применяется для определе­ ния неизвестных параметров заданной функциональной зави­ симости

J/ = ? (х,	а0,	а, , . . . ,	ат)
с помощью экспериментальных		данных.
Параметры а0, а\,...,ат	необходимо		определить так, что­

бы найти наилучшее представление данной зависимости, сгла­ див случайные отклонения. Решение этой задачи зависит от

того, какой смысл вложить в понятие «наилучшее представ­ ление». Так как случайные отклонения связаны с ошибками измерений, то с вероятностной точки зрения можно обосновать

О

X, X}

Р и с . 4.3

следующий критерий точности: нужно выбрать параметры функции

			?	(х,	а0,	а,	ат)
так, чтобы сумма квадратов отклонений								экспериментальных
значений	УІ	от значений			функции		'•?(*„ а0, а.\,...,ат)			была
минимальной, т. е. нужно найти такие значения									о0 , fli,...,	ат,
при которых функция					п
F(a0,	а,	,	ат)				* (х„	а0,	ат}\2
				=	V	[у,- -				(4.1)
имеет минимум.
§ 4.1. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е			П А Р А М Е Т Р О В				Ф У Н К Ц И О Н А Л Ь Н О Й
З А В И С И М О С Т И ПО М Е Т О Д У Н А И М Е Н Ь Ш И Х К В А Д Р А Т О В

Пусть выбран вид функциональной зависимости: у = ср (х, а0, а, , . . . , aJ .

Найдем минимум функции

п

Р {а0. о,1

а,п) = 3] ІУ/ ~

(А '"

r / '«'l"

пользуясь только необходимыми условиями экстремума

dF

J^L- = 0, k = 0, 1, 2 ,m, (4.2) aak

так как по смыслу задачи очевидно, что функция F(a0,

«,,...,«,„)

может иметь только минимум:

OF

"

= V

— 2 [у, -

о (*(, а0 ,

а,

rtffl)|

X

a?

(х„ a 0 ,

—

a j

Условия

(4.2)

принимают

вид

я

[у, -

» (*„ «,„

а „ . . . ,

a j ]

М

^

о

^

^

О

V

=

Q i ( 4 > 3 )

(Л

=

0,

1,

2

т) .

Таким образом, получена система т уравнений для опре­

деления т

неизвестных

аи

о 2 , . . . ,

ат.

Если функция

's

(х, йо,..., ат)

линейна относительно па­

раметров, т. е .

1

і

<р

(х, а0

, . . . , ат)

=

я 0 ©0 {х)

+

а, ?

1 (х) +

. . . - f am

<p„ (х) ,

то система

(4.3)

также

линейна

относительно

неизвестных

ЙО, а\, а2,...,

ат

и может

быть решена

одним

из

методов ре­

шения

алгебраической

линейной

системы уравнений.

§

4.2. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е

П А Р А М Е Т Р О В

П А Р А Б О Л Ы

В Т О Р О Г О П О Р Я Д К А М Е Т О Д О М Н А И М Е Н Ь Ш И Х

К В А Д Р А Т О В

Пусть функциональная зависимость у от х

представлена

многочленом второй

степени

у =

а0

- f

ах

х

-+ а2 х- .

(4.4)

Так как

;

дев

^

дъ

_

х

_t^p

^

^2

система (4,3) принимает вид:

У [Уі -

Oh

+

<*i *i +

a2

x2')] = 0 .

V

[УІ

-

К

+

a-i xt +

a,

x2 )] x< =

0 .

(4.5)

V!

[Уі — («u +

«і ** + a,

x2 )]

x2 =

0.

Введем

обозначения:

л

= V xs. ,

s = 1, 2, 3, 4 ,

(4.6)

[у]

=

У у і.

[*у] =

У *< Уі. I * 2

.уі = У 4 >'<• •

/=і

После

вычисления

этих величин,

система

(4.5)

принимает

вид:

па0

+

\х]

ах

+

[х2]

а,

=

[у]

,

\х]

а*+

[дг'-J

а,

4-

[х3]

а2

=

[ху]

,

(4.7)

[х2] я0

+ [х3] Я ! + [*4] а 2

= [х2 у]

§ 4.3. О Б О С Н О В А Н И Е М Е Т О Д А

Статистически установлено, что случайные ошибки измере­ ния подчинены нормальному закону распределения вероятнос­ тей. Поэтому, если Yt — случайная величина — результат из­ мерения в г-м опыте, то ее плотность распределения имеет вид:

//(У) -	2°1
	otV2r.

\где

з( — среднеквадратичное отклонение, характеризую­ щее точность измерения;

<р (Х() — математическое ожидание (истинное значение функции у = 'f(л") при г'-м измерении).

В результате п		измерений каждая		из случайных		величий
У,• приняла	значения у,		( / = 1 , 2, ... ,	п).	Ставится	задача:
подобрать значения		? (xt)	так, чтобы	вероятность		события
была максимальной.
Так как	К/— непрерывные случайные				величины, то мож­

но говорить лишь о ненулевой вероятности попадания их в ин­

тервал (yt, УіЛ-dyi),	і=\,2,...,п.
Считая, что а, = а,	/ = 1, 2 , п и измерения независимы,
находим

^ { У І О І < У . + ^ У І ; > ' 2 < ^ < > ' 2 + ^ ; •• • ; у л < к я < у д + 4 у я } =

= П р (У* <	г, <	У у +	<іУі) =• П Л	0',-) <*у/ -
і = і			/ - і
		- Л -	V [.v-?(.r.)]= /.
.	- : ,	Є	П	dVt .
	У 2г.			'

Эта вероятность является максимальной, если Ф ( Х ; ) тако­

вы, l tTO

я

V [у,- — ? (х,)]2 минимальна. Г"т

§ 4.4. В Ы П О Л Н Е Н И Е Л А Б О Р А Т О Р Н О Й РАБОТ Ы

К порядку выполнения. Экспериментальные данные в ко­ личестве десяти точек содержат два-верных, десятичных знака. Вычисления размещаются в таблице, где последовательно вы­ числяются значения

		х% х\,	X*,	xt	у і,	х\	ус ,
которые затем суммируются для получения								коэффициентов
системы		(4.7).
Во всех промежуточных вычислениях во избежание потери
точности следует оставлять кроме верных цифр								две запасные
сомнительные. Например,			если	х = —2,30 (три				верные знача­
щие цифры), а у =—0,33 (две				верные		цифры),		то в столбцах
х-.,	х],	х* будет по три верных			цифры,		а в столбцах х, у,		и
х? у і	— по две. После последней				верной		цифры оставляем		две

запасные, отделяя их точкой. Составляем табл. 4.1.

і	х і	Уі		х1			Х\		А		х і УІ			А . 7
1	- 3 , 0 0	2,20	9,00	00	• - 27,000				81,000		- 6 , 6 0	- 00		19 8 - 00
2 ,	- 2 , 3 0	- 0 , 3 3	5,29	• 00		-	12,167		27,9 • 84		0,75 • 90 - 1 . 7 .				46
3	- 1 , 6 0	- 1 , 6 2	2,56	• 00	'	—	4,09 • 60		6.55 • 36		2,59 - 201 - 4,14				• 72
4	- 1 , 2 0	- 1 , 9 8	1,44-0)			- -	7,72 • 80		2,07 • 36		2,37 • 60 - 2 , 8 5				• 12
5	- 0 , 7 0	- 1 , 8 8	0,49	- 00		-	0,34 • ЗО		0,24 • 01		1,3-	16	- 0 , 9 2		• 12
6	- 0 , 1 0	- 1 , 2 0	0,010 • 00				0,0010-0		0.00010		0,12-00		-	0.012 - 01
7	0,30	- 0 , 3 2	0,090 • 00				0,027	00	0,0081	-0	- 0.096 • 00		-	0.028 • 80
8	0,60	0,57	0,36	• 00			0 2 1 - 6 0		0,12 • 96		0,34 - 20			0,20 • 52
9	0,90	1,60	0,81	• 00			0,72 • 90		0,65 • 61		1,4-40			1.2 • 96
10	1,30	3,29	1,59	- 00			2,19 • 70		2,85-61		4,27 • 70			5.56	•01
	\х] =						i-v'l •-=		\хЦ ----		к у |	=		І**у]
	= - 5 , 8 0 =0,3 3		= 21,74-00			=	- 4 2 , 1	• 66	-- 121,5 - 01		= 6 , 5	- 26	- 1 7 , 1		: 55
								-
	Система (4.7) принимает вид:
			10 а0 — 5,80.^					+	21,74.00 а,		= 0,33 ;
	-	5,80.а0 -+ 21.74.00 а, -						42,1.66 а,		^	6,5.26 ;
	21,74.00 0 0 -			42,1.66 0,, +				121,5.01 а,		=	17,1.55 .
	Решение этой системы изложено в предыдущей											главе.

К О Н Т Р О Л Ь Н Ы Е В О П Р О С Ы

1.В каком случае может быть применен метод наименьших квадратов?

2.Каков критерий точности метода?

3.Какова математическая схема применения метода?

4.Каков результат применения метода для линейной отно­ сительно параметров функции?

Г л а в а 5

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Постановка задачи. В инженерной практике часто встре­ чаются функции, заданные или слишком сложным аналитиче­ ским выражением, или таблично. Возникает задача о замене этих функций такими, которые имели бы достаточно простое аналитическое выражение, и в рассматриваемом интервале из­ менения аргумента достаточно мало отличались от заменяе­ мых.

Процесс замены на каком-то интервале изменения аргумен­ та одних функций другими называется общей задачей интер­ полирования.

В данном интервале изменения аргумента заменяемые функции будем рассматривать непрерывными, однозначными и меняющимися не слишком быстро. Одним из самых распро­ страненных способов интерполирования является интерполи­ рование полиномами, или иначе называемыми параболами п-й степени:

						п
Рп (х) = ап х" +	a„_i х"-1		+ . . . + а,х		+ а0=	У akxk.	(5.1)
Для того чтобы полином (5.1) на заданном интервале воз­
можно меньше отличался от данной функции
			у = / ( * ) ,				(5-2)
требуют, чтобы	полином		(5.1)	и заменяемая		функция	(5.2)
равнялись друг другу		при	заранее назначенных			п+\ значени­
ях аргумента х0,	х{,...	,хп,	т. е. чтобы
Рп (*/) =	/ (*/) =		У, ,	і •= 0, 1	, п .		(5.3)

Геометрически нахождение интерполирующей функции сво­ дится к проведению такой кривой, которая совпала бы с дан­ ной в назначенных п+1 точках (рис. 5.1).

Описанный способ интерполирования называется парабо­ лическим точечным интерполированием, а выбранные точки M i (xf, Vі) — узлами интерполяции. Увеличивая на данном интервале число узлов (а следовательно, степень интерполя­ ционного полинома), в подавляющем большинстве случаев можно добиться в этом интервале лучшего совпадения данной функции и интерполяционного полинома.

Условие, что полином (5.1) берется л-й степени, т. е. С /1 + 1 коэффициентами, и должен совпадать с интерполируемой функцией (5.2) в д+1 - й точках, выбирается из соображений, чтобы коэффициенты полинома определялись однозначно.

§ 5.1. И Н Т Е Р П О Л Я Ц И О Н Н Ы Й П О Л И Н О М Л А Г Р А Н Ж А
	Чтобы полином (5.1) удовлетворял условию (5.3), Лагранж
предложил искать полином в виде:
		Рп	(х) ~	У	У і Q<	(х) ,		(5.4)
іде	Q'n(x)	— так называемые		фундаментальные			многочлены
/.'-й степени, обладающие			свойством:
				О,	і ф	k ,		(5.5)
		Q'„ (**)	=	і,	і	k.
	Из ЭТОГО УСЛОВИЯ При		/' Ф k	Следует, ЧТО ТОЧКИ Х0,				X\,...,Xi-\,
Хі.	і , . . . , хп являются		корнями		многочлена Q'„(x).			Следова­
тельно, этот многочлен можно записать в виде:
Qj,	(*) =" Ci	( * ~ *иМ* -	* д ) . . . (x-Xi-i)			(X — Xi : і)	. . . (X — Xn).