книги из ГПНТБ / Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие

Докажем теперь справедливость равенства (8.25) с точ­ ностью до слагаемых порядка А3:

- L (а, + 2% -!- 2 Т ; +		ч) =	- U / A +	2 ( / + А / ) / а.
А-	А +	2 { / 4- A D / +		Dff'y	+
	/ + hDf		А'2
					=Л/г
		\			k
				y=yk
		h-	A3
	= Akh + Bk-~-		4- C*
Точные оценки погрешности в общем случае отсутствуют.
Для грубой оценки часто пользуются так называемым					принци­

пом Рунге: при шаге А для точки Xi=x0		+ h по формуле Тейло­
ра находим
у (х\) =	у (А-о 4 А) = у (х{)) +	Л 4- . . . 4- - ^ - Ф - Д< ,
Г Д Є Х „ <	£ < -Х^ .

Иначе это равенство можно записать в виде:

у (* л = Уо + Дуо +- •' 4 ; w Л4

или

Вводя обозначение

М =

?y'v (?)

4 !

на первом шаге получаем погрешность.

I У (*,) - у,; = Л*А*

Для ориентировочного подсчета погрешности приближен­ ного решения в других точках предполагается, что погреш­ ность равна МЛ4 на каждом шаге. Тогда для точки x = x0 + 2kh имеет место равенство

Д В

| у

(х)

-

уи

| =

2/г Mh4 .

Для

определения

А

произведем

вычисления

с шагом 2Л,

допуская

при этом, что

погрешность на каждом

шаге равна

M(2h)4.

Тогда для

той-же

точки

x=x0

+ k2h

получаем

! У (х) — Ум I =

k М (2Л)< =

2k Mh* 2s

или

I U (х)

-

ук

і =

А23 .

Таким

образом,.

У (х) => у.ік

± А ,

у

(х)

= ;/Л +

23 А ,

откуда

А

1 У а * ~

-У * '

•

(8.31)

Выполнение лабораторной работы

Численно решить дифференциальное уравнение

2х

У ~ У

У

при начальном условии у |д—о = 1 на отрезке [0; 1,2] с шагом 0,2. Рабочие формулы:

а «	=	А/(дся ;		уп);
?n	=	hf(xn	+ ~ ;			Уп +			^	г
1я				2	'			'	2
о„ =		/tf (*„ +		Л;	у л		+	U	;
АУ„ =		-g" (*« +				+			4	В «) ;
		Уд-її	=	Уп 4		д	^	•

Результаты вычислений оформляются в виде табл. 8.2.

			2 ее	{(*-,		у) =
	X			--и -		2 х
		У'	У
				У		У
0	о	1	0	1					1,399378
			0,(8(518	0,9/8(82			0;У636 3G
	О, і
	о, 1	l,09/8(g	о, (83(80	o,90&fc38			о; (&1728		0, /85223
	О, 2	1,48(728	0, 338487	0,84 324 У			0	У68688
1	О, 21	1,(8522.9	0,338058	0, 845/71			0, (69о34		О, 9506Zfe
	<2,3	1,26774б	0,4732 59	о, 794467			0, /58855
	0,3	1, 262676	о, кг5181	0,78 7495-			0	/5	0, /58<V5§
		і , 34 072 8	0, 596690	о,	744038		о, 148808
2	о,4	1,341667	0, 5962 72	0,	7453^5		о, 14 9отд
	о,5	1, 416206	0, 706/Of?	0, 7/ 0097			о]	142 о 19
	о ,5	і, 412676	0, 707574	0	70 4а 02		о	/4 о 56о	О,	ІЦ16І5
	о,б	1,482627	О,80£У372	0,673255			j	1Ь465/
							0,
3	о, 6	! ; 4 8 3282	0, S09CX7	0,674265			0,	13^53	0, 775597
	0,7	1, 550708	0,9028 12	0/	64 7B9Q 0, 12 95 79
	о,т	4,548071	О, 90^Ъ51	0, 64 672 0			0,	1287 44	°, <292ЪЪ
	0,8	{,612026	0,992537	о, 6/91/89			о, /2 3858			•
Н 0,8		1,6/25/5	0,992235	0,62 02go			0, /240 56		0, 717770
		1,674543	1, 07*1921 0, 59962/				0, // ?924
		1,6724 77	1, 07ЫкЪ	0, 5962 bif			о, //9247		0, 119628
	/,о	1, 73/762	1,15^90^	0,576858			0,	//53Л?
5	1,0	1, 732/4-3	і, /5"4б4/	О, 5 77501			0, 115500		0,	67 /352
	л /	і, 70,9895	1,229/25"	О, 560768			0, 112151/
		1, 788170	1,23 0308	0, 557861			0t	111572	0, И1892
	<,2	1, 8 437/5	/, Зо/716	0,54		і999	0, 108 boo
s	',2	^, 844035

Для вычисления погрешности, если это требуется, следует составить табл. 8.3 с шагом 2Л = 0,4.

Таблица 8.3

N	X	У	2 х	2 х
				= </- у
0	• 0	і	0	і	0 , 4
	0,2	1,2	0,333333	0,866667	0, 346667
	0,2	1,175553	0,540910	0,832423	0,332969
	оА 1,532969		0,600167	0,732802	0,293121
1	0,4	1,342066	0 , 5 9 6 0 9 4	0,745972	0,298389
	0,6	1,491260	0,80//688	0,6865 72	0,274629
	0,6	1,479380	о , 8 ( ^ 5 о	0,668230	0,267292
	0,8	1,609358	0,994184	0,615174	0,246070
2	0 , 8	1,613450	0. 991663	0,621787	0,2487(5
	1,0	1,737808	1, (50873	0,586935	0,234774
	i,o	і', 730837	1,155508	о,575329	0,230(32.
	1,2	1,843582	1,301814	0,541768	0,216707
3	1,2	1,845989

!

6ДС) і

дС/

2,052393

0,3^2066

1,628301

0,271384

1,Ъ95234

0,232529

Вычислим погрешность для трех точек (табл. 8.4).

Таблица НА

					7
0,4		1 , $ 4 2 0 6 6		0 0 0 0 5 7
0 , 8	і ,6 125 15	1,6154 50	0,	ооо154
12	і,844035	i v 845<589	0	ООО	2J9
§ 8.6. М Е Т О Д	А Д А М С А — К Р Ы Л О В А
Метод, предложенный Адамсом и впоследствии усовершен­
ствованный	академиком	А. Н. Крыловым,	является		сравни­

тельно простым и при одном и том же шаге дает более точные

результаты, чем предыдущие				методы.
Метод излагается в применении					к уравнению		первого по­
рядка yr=f(x;	у) с начальным условием					у \х~х	Уо •
Введем функцию
	Ъ(х)	=	у' ( * ) А = / ( * ;			У) h .		(8.32)
Тогда величины		Аук	определяют		по формуле		Адамса
А/У* =	1	А т і*-і Н		5		3		(8.33)
	Ъ + —			— д : ' т	( * - 2 + -g- - ^ т і * - з

р. предположении, что третьи разности практически					постоянны:
Однако начать применение формулы Адамса можно толь­
ко тогда, когда известно значение Л3т(о,				т. е. для п >		3.
Следовательно, необходимо заполнить начало табл. 8.5.
Для	заполнения этой	таблицы	достаточно получить А//0 ,
Аг/1( Ау2,	так как тогда	становятся известными			уи	у2, уз по
формуле
	Учл-х = Ук +		Л/У*	,
а следовательно, известны и т( 1 ,			т(3	по формуле

•ч* = / ( * * ; гМ л •

11	X	У	Ау	г1	Дт,	А2т,	А8т,
0	xt)	Уо			А'%
1		Уі				А2Чо
	*1				Дії		A3rt„
2	х2					А-г( 1
		У-1		ГІ2	Дт) 2
3
	* 3	Уз		Т 13

Табл. 8.5 заполняется с помощью формул Крылова:

А«/о =• *10

+

4 "

Ат;

1

1

1

12

24

&Уі = - т

и

+

- у

10

+

5

• Д-

1

8

т

и

,

(8.34)

А-г

12

24

А

^ Ъ •+ -7Г А-<н Н

j | - Л-',0

+

3_

А: і

тІ 0

. в

8

Процесс заполнения табл. 8.5 осуществляется

с

помощью

четырех последовательных

приближений.

Первое приближение:

имея из условия

задачи

дг0>

Уо,

на­

ходим ті п =» f

(х0 ; у0)

h\

из формулы

(8.34а)

берем

Ауи

=

т;1),

получаем

УІ =• 0о +

Ду,,,

^

=

/ (*,;

ух)

h

,

Лт,,, =

тц

— т;„

и заполняем табл. 8.6

Таблица 8.6

п

У

Ау

Ат,

Д'-t)

А3т,

0

У»

Аг/0

ъ

•

1

X,

Ух

Второе приближение: в формулах

(8.38

а,

б)

сохраняем

по

два

слагаемых:

А(/0

== Ъ + 4"

•

Л

/ У

і

= а Т | і +

~<Г Л т '«

'

и находя
	Уі =• Уо + А У„ ;		У-і = Уі	Ь Ау, . т п =f(xl;	у J h\
Л,=/(л;2 ; г/.,) /г,		Л'І0 — т ц т іо>
заполняем табл. 8.7.
					Таблица 8.7
п	X	У	Ау		Д37,
0	х{)	Уо	Ау0	тю
1		Ух
			Ау,
	х2
		1'2		^2

Третье приближение: используем все три формулы Крыло­ ва с учетом в них трех слагаемых:

	Ау„ = т-о + -7Г			Л т ' 0		1	VV
	Ау, =		1, - f — А-/
			1			5
	Ау,	=	г12 + _	Дтц	-|	— - A2 YJ0		,
получаем табл. 8.8.
									Таблица 8.8
п	X	У	\ АУ				A l	А-т]	А-V,
0	х0	Уо	Ау0		тк>		A^io
1		Уі			т п			A 2 r w
	* 1		Ау,				Атп		А8 ТІ0
2
	• *г	Уг	Ау2				AYJ2
3		Уз			Із

Четвертое приближение: по формулам Крылова с учетом в них всех слагаемых уточняєм Ау0, Аг/,, Ау2. Таблица имеет

такой же вид, как в третьем приближении. После получения четвертого приближения табл. 8.9 продолжается по формуле Сдамся:

by* =

1

5

ь \

3

ь;

7 >з

+

Д т *з +

- т т г

+

-g- д : і ' і

Уі = У» + д г/3 ; ^ = / (xt; yt) h\

Д т і з

= ru

—

v >

Д

2 т і 2

= Д т / з

- Д Т І 2 ;

Д З т « і

=

Д 2 г і 2

—

A%;

1

5

З

Ьуі

=

І4 +

— А ї із

Л

Л 2

ї ' 2

+

Т Л

2 т

ц

и т. д.

Таблица 8.9

tl

X

У

*У

"1 •

Д2т,

Л3т,

0

Х<>

Уо

%

1

X,

У\

'

ЬУх

тп

Д %

2

Уг

Хі

&У2

7 І2

Д Ч

3

х3

Уз

Ьу3

ТІЗ

Д>

4

х4

У*

T U

5

&УІ

Уъ

Т І5

Вывод формул Адамса и Крылова

Интегрируя на отрезке \xk\

хк:\]

уравнение

y' = f(x:

у) с

начальным

условием у U~.v0 =

#0> с

учетом

(8.32)

получаем

У (х»+\)

- У (**) =

f

1 (*) —

dx .

.

(8.35)

*k

Для функции Tj (де) на отрезке l x * r 3 ;	хк\ строим	интерпо­
ляционный многочлен Ньютона, применяя формулу		(5.18) и
считая практически постоянными третьи	разности:

*l (х)	=	ті (хк + th) % ТІ,	-I- t	Лті*_і 4- / ( * 9 + ] )	Л3т,,_3 +
		+	1) (/	-і- 2)	,
			g	A"'( *-3 .	(o.obj
где	f	'
			х	xk
				h

Затем делая в правой части формулы (8.35) замену пере­ менной x=xk-\-th, dx = hdt, получаем

і

У ( * и і ) - У (хк) = f 7/ (•** + th) dt %

в

и, интегрируя, приходим к формуле Адамса:

1 .

, 5

. 3

з

Для вывода формул Крылова предположим, что третьи разности функции TJ (Х) постоянны:

	Д3 т„ -		Д37і*_! -			Д Ч _ 2		=	Д«т( ,_3 •		(8.37)
Заменим в формуле Адамса						Д3 т( й _з на				А3г1к_2:
Аук =	гік + 1-	Дт,,	,	+		Д2 %-2 +			| - Л'*|* -2 •		(8.38)
Из	определений		конечных			разностей			следует равенство
		Д2 Т|*-2 =			Д"% - 1		— A3 Tjft-2			,
тогда	из (8.37)	получаем
	1		5	4						1
=	*)*+ -Y	Л т ' * - і			Ї 2 ~ Л '"т '*->					24~" Д 8 т ' * - 2 •	( 8 - 3 9 )
Подставляя		в (8.38)
		Д'-Т.А-І		==- Д2тІА,		-	АЬІк	, ,
		Дт(*_,		=	Дтг;» — Д"Tjj			+	A ;	V - i ,

Д 3 Т і й _ ! = Д 3 Ї І А ,

получаем

А/Л =

Ъ

-г

~

Дч* -

-

~

A"f i*

4

д

: Ч

•

(8-40)

Полагая

в

(8.40)

« = 0, в

(8.39)

п=1,

в (8.38)

/( = 2,

получа­

ем формулы

Крылова:

Луо =

7 т

+- у

Д'/о

д "'ю "і'

- 9 4 -

д

К) '

А/Л *= ''її

+

1

Ат(п

-|-

- p5j -

Л Ч ,

^1

Д: : г( 0

,

1

5

3

А/А; =

М

+

- у

Д г п +

- т у

А'% +

8

А3

4; 8.7. В Ы П О Л Н Е Н И Е Л А Б О Р А Т О Р Н О Й

Р А Б О Т Ы

Численно

решить уравнение у' = 2х -{- Юху

при

начальном

условии у \ х

= 0

— 0,

с шагом h = 0,05

на отрезке [0; 0,3].

таблиц.

Результаты

вычислений

оформить

в

виде

двух

Табл. 8.10 — вспомогательная, служит для постепенного вы­

числения значений rt.

Табл. 8.11 — основная, такого вида,

как

в описании

метода.

Рабочие

формулы:

А//о =

гш

+

~-

Дт10

—

А\,

-f-

Ahlg

,

1

.

,

5

..,

1

A//i

^

ти

+

~2

Д т ' "

+

~УГ

А''ГІ° ~

~24~

•

1

5

3

А//2

-

ТІ2 +

- g - Дт„

+

—

—

Л2 Т,0 f

-g- Д%10

-

формулы Крылова для получения начала таблицы;

ЬУп =

1

5

+

~ [ Г "

А2 т1 Я _2

3

Д3 Т,„_з —

т ' « +

—

Д т

і я - - і

- f —

формула Адамса для продолжения таблицы

(п — 3,

4, 5,...).

Обе таблицы

заполняют

одновременно:

по табл.

8.10

под­

считывают У{, вносят в табл. 8.11, по ней находят разности и у, которые, в свою очередь, вносят в табл. 8.10 и т. д.

Замечание 1. Если в третьем приближении А3гш оказывает­ ся настолько малой, что в пределах заданной точности не из­ меняет значений Аук из формул Крылова, то четвертое при-

ближение не записывают. Если же, напротив, полные формулы Крылова дают существенное расхождение с третьим прибли­ жением, то после получения четвертого приближения необхо­ димо перечислить несколько раз. Если же результаты не устанавливаются, то необходимо уменьшить шаг таблицы.

ра н н е е

іп р и о л ,

[J irpuSn

l[j UpUO,v

							Таблица 8.10
n	X	н		OtLj	10	2x	= 2x+4 ?	=	k - y
0	0	0	0		1	0	1	0,	0 5
і	0,05	0 , 0 5	0,002 5		1,0058	0,10	1,1058	0 , 0 5 5 5
і	0,05	0 , 0 6 2 6	0 , 0 0 2 6		1,006 0	0,10	1,1060	0 , 0 5 5 5
2	0,10	о, Ц 0 5	0,0110		1,0257	0,20	1,22-57	0 , 0 6 1 5
L	0,05	0 , 0 5 2 5	0	, 0 0 2 6	і, 0 0 6 0	о д о	1,1060	0 , 0 5 5 5
2 0,10 0,1107			0 , 0 1 1 1		1,025 9	0,20 1,2259 0,06 0
	0,15	0 ,175 3	0	, 2 0 6 5	1 , 0 6 2 4	0,50	1,5624	0 ,068 1
і	0,05	0 , 0 5 2 5	0	, 0 0 2 6	1 , 0 0 6 0	0,10	І Д 0 6 0	0,055.5
2	о д о	0, i ( 0 7	0 , 0 1 4		1,025 9	0,20	1,2259	0	0615
3	0,15	0 ,175 5	0 , 0 2 6 5		1,0624	0,30	1,5624	0,068<
4 0,20		0 , 2 4 7 1	0,0494		1 ,120 5	o,4o	1,520 5	О 0 T 6 0
5	0,25	0,5277	0,0819		1 , 2 0 7 6	0,50	1 ,7076	0,08,54
6
	0 , 5 0 ; 0 , 4 1 8 6 j

і j

Замечание 2 . Если при выполнении работы необходим контроль вычислений, то после заполнения каждой новой стро­

ки в четвертом	приближении в табл. 8.11	следует вычислить
контрольное число:
/"* = -	(д У*-і + Ду*) + 2т;* +	— Д2 тік_і .

Уточненное значение ДуА образуют по формуле