книги из ГПНТБ / Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие

	Это же свойство	(5.5) дает:
откуда
Г;	(Хі — Х „ ) ( X ; —	Х ; ) . . . ( Х ; — Хі- ) ) ( Х ; — Xi + l) . . . ( X ; — Х „ )

Подставив найденные фундаментальные многочлены в фор­ мулу (5.4), получаем полином Лагранжа в виде:

=_	v v	(Х-х»^х~х^---(х-*'-1)(*—*<11)•	• • (х-хп)	. (5.6)
	/==0	(xi-xl)){xl~xl)...(xl—xi.-i){xl—xi..i)...(xi—xn)
	Пример 5.1. Построить интерполяционный полином			Лагран­
жа	для	функции г/ = 1пх с узлами	интерполяции	в точках

х= 2, 3, 4, 5.

Ре ш е н и е . Из таблиц логарифмов выписываем значения функции в узлах интерполяции (табл. 5.1).

					Таблица 5.1
Хі	Х о	2	х1 = '3	х 2 ••- 4	х3 = 5
Уі =- і11 Xj	0,6931		1,0986	1,3863	1.6094

В данном примере я = 3, поэтому по формуле (5.6) получаем

Ръ	(х) = 0,6931					(х - , 3 ) (х — 4)				(х — 5)
						(2	-	3) (2 - 4)		(2 -		4) +
	+	1,0986	•	-	(х -		2) (х -		4) (х - '		5)
					(3	- 2 ) ( 3 .			- 4 ) ( 3 - 5 )			+
	+	1,3863 •		-	(* — 2 ) (х — 3) (х -						5)	+
					(4	-	2) (4 -		3) (4 -		5)
	-Ь	1,6094		(х		-	2) (х -		3) (х -		4)
					(5	-	2) (5 -		3) (5 -		4)
=	0,0089 Xі		-	0,1387 х 2				+ 0,9305 х		-	0,6841

§ 5.2. Д Р У Г О Й В И Д И Н Т Е Р П О Л Я Ц И О Н Н О Г О П О Л И Н О М А

Л А Г Р А Н Ж А

При теоретических расчетах пользуются формулой (5.6), а для практических расчетов применяют полином Лагранжа в

другой форме. Для ее получения рассмотрим						полином		I I (х)
степени п + 1 , определяемый				равенством
	II	(х) е. (х — х0 )		(* — * , ) . . . ( * — х„) .
Очевидно, что производная будет иметь вид:
	п
П'(х)	= У	(х-х0)	(х—х{).	.. (х—ХК	і ) [х-х„,л)...			(х~хп).
Ее значение в точке х1 равно
	я
п ' 0<) = У		(х—х0)	(Хі—xJ	...(xi—xk-i)(xl-xk.;i)...{xi—xn)				*=
= (Xi -	Х0) (Х/ — X,)		. . . {Xt	— Xi-i) [xt	— x i + l	) .	. . (xt -	x „ ) ,
т. е. знаменатель в /-м слагаемом в формуле (5.6)							равен	1Г (х,).

Выражение в числителе в этом же слагаемом можно выразить

тоже через I I (х):
(х—х0) ( х - х , ) . . . ( х ~ х / _ , ) ( х - х / , ,) . . . ( * - * „ ) _ = — П ^	.
Тогда полином Лагранжа можно записать в виде:

'

W = | * (х - " , ) 1 г W •

( 5 ' 7 )

Пример 5.2. Построить полином по формуле (5.7), прохо­ дящий через узлы М 0 (1; 2), Мі (3; 1), М2 (5; 8).

Р е ш е н и е . Имеем:

х0 ^ 1,

х, =

3,

х., =

5,

уо =

2,

y t

=> 1,

у 2

.= 8,

я = 2 .

П ( х ) =

( х ~

1)(х

-

3)(х -

5),

р ( х )

- о

( * - 1 ) ( х - 3 ) ( х - 5 )

і

2

{Х)

-

z-

_ з ) ( і

_ 5 )

1

,

і

(х

-

1)

(х

-

3)

(х -

5)

• > - 3 " ) t ( 3 - 1) (3 —5)

о

( * - 1 ) ( л с - 3 ) ( х - 5 )

.

2 _

9

, Л _ .

'

(•* -

5)

(5 -

1) (5 -

3)

~

*

2 Х

^

2

6 Зак. 428.

81

Формулы (5.6) и (5.7) годятся как для равноотстоящих значений аргумента, так и для неравноотстоящих. Однако по­ строение интерполяционного полинома Лагранжа требует больших вычислений и оценить по самой формуле точность результата невозможно. Если же для повышения точности на­ до повысить степень интерполяционного полинома, то это нель­ зя сделать прибавлением дополнительных слагаемых, а при­ дется все коэффициенты пересчитать заново. Только для рав­ ноотстоящих значений аргумента более удобными являются формулы Ньютона, основанные на исчислении разностей. А применение формул (5.6) и (5.7) оправдано только для тех случаев, когда значения аргумента даны через неравные ин­ тервалы и потому применение более простых с вычислитель­ ной точки Зрения формул Ньютона невозможно.

§ 5.3. Р А З Н О С Т И Р А З Л И Ч Н Ы Х П О Р Я Д К О В

Пусть г/о, у и у2, • • • ,Уп				• • • —	значения некоторой функции
(5.2)	соответственно		при	равноотстоящих			значениях аргумен­
та х0,	Хи х2,	. • •, хп, ...	, (хп	== х0	nh).	Тогда		разности
Уі -	>'0 -	А У 0 . У і -	Уі =	А У і . • •	• • Уа	-	У я - 1	= • АУп-1

называются разностями первого порядка или просто первыми разностями.

Разности первых разностей называются разностями второ­ го порядка, или вторыми разностями, и обозначаются следую­ щим образом:

ЬУі - А Уо = Д2Уо> А Уз - А Уі = Д'Уі

Аналогично определяются последующие разности. Так, раз­ ности (п+\)-то порядка получаются из разностей п-то поряд­ ка по формулам:

А" у : — А" у„ - А» ' 1 у0 ; А"у, — Д " ^ = Д«+і У і , . . .

Таблица разностей строится согласно схеме (табл. 5.2). Каждое число этой таблицы есть разность двух смежных

чисел столбца		слева.
Производя		последовательные подстановки, можно пока­
зать, что					_
Д'Уо =	У-г -		2ух	+	Уо ;
д ; ! Уо =	Уз -		Зу3	+	3j/! — Уо ;

X	у	±У	Д г у		Д З у	Д-'У
X<S	Уо
		д У о
Xl	У і		У-Уо
					^Уо
1
	>'2		ЬгУі			Д 4 у 0
		Д у 2			^Уі	А ; ' У о
			Д 2	у 2		Д4У1
					Д 3 у 2
	У*		Д 2	у .
		ДУ4
Хо	У'"'
		•

Например:			,		'
Д8Уо =	Д'ІУі -	А''Уо = ЬУг ~ А Уі	— (Д Уі	-	А Уо) =
= Уз - Уз -	2(у2 -	Уі) -Ь (Уі - Уо) =	Уз -	Зу2	+ Зу, — Уо •
Для любого п

Д - У і	= £ ( - 1 ) » ^ ~ 1 Ь , ^ ~ ' + 1 )				•
Основные		свойства	разностей. Из	определения	разности
Ду = / ( л	+	h) — f(x)	непосредственно	следует, что	разность

суммы функций равна сумме разностей слагаемых и что посто­ янный множитель можно выносить за знак разности:

1.	Д	[ / ( * )	+	?(*)] = А/(х) + Д?(ж) .
2.	Д	[с/(х)\		=	сА/(х).

Ясно, что свойства 1 и 2 имеют место для разностей любого порядка.

Первая разность от многочлена степени п является много­

членом степени п—1.
Для многочлена Р (х) — хп			это утверждение			очевидно:
А (х)" = (х + h)r	- х" =	nhxn-1	+ П	1	^ А-'	х"-2
На основании	свойств	1 и 2 утверждение			справедливо для

любого многочлена. Отсюда вытекает следующее свойство: 3. Разность порядка п от многочлена степени п равна по­

стоянной величине и, следовательно, все разности более высо­ кого порядка равны нулю.

Рассмотренные три основных свойства разностей аналогич­ ны соответствующим свойствам производных и дифференциа­ лов.

Разности/для функций, заданных.в									виде таблицы, играют
роль, подобную			той,		которую			играют	дифференциалы для
функций с непрерывно изменяющимся									аргументом. Это следу­
ет из следующего				свойства.
	4,		/<»		(х) -	l i m		A" v
								- г ±
						п-уО		"
или при малых			h =		Ах
					А" у		/<*> (х) к"		.		(5.8)
Из определения производной следует, что
# ,	ч	=	,•		/ ( *	4-	h)	- f{x)	,.	Av	•
fix)			hm		^		j-	^ —	= lim	- j —
			H-+0				«		h-*o	ft
Теперь найдем				-
i ; m *ІУ. -				i ; m	fix	+	2h)-2fjx		- f h)	+ f	(x)
W>				Hill				, 9

Считая функцию f(x) дважды непрерывно дифференцируе­ мой, применим два раза правило Ло'питаля при постоянном х и переменном h:

,. А3 у ,. 2/' (х + 2А) - 2/' (х + h)

- lim [2/" (x 4- 2A) — / " (x + h)\ = /" (x) . Аналогичноft-*0 доказывается свойство 4 и в общем случае.

Свойство 3 позволяет по таблице разностей функции судиґь о наивыгоднейшей степени заменяющего функцию интерполя­ ционного полинома.

Действительно, если разности порядка п функции (5.2) поч­ ти постоянны, то можно считать (5.2) мало отличающейся от многочлена степени п и заменять ее многочленом именно такой степени.

Пример 5.3. Составить таблицу разностей функции (5.2) по данным табл. 5.3.

							Таблица 5.3
X	0	1	2	3	4	5	6
f(x)	0	1	8	27	64	125	216

Выяснить наиболее подходящую степень соответствующего интерполяционного многочлена.

Р е ш е н и е . Составляем табл. 5.4.

Таблица 5.4

	X	у	Ду	Д'-у	Д:>у	Д<у
	0	0	1
	1	1		6
			7
	2	8		12	6	0
			19		6
	3	27		_ 18		0
			37		6
	4	64		24		0
			61		6
	5	125		30
			91
	6	216

Функцию (5.2) заменяем многочленом третьей степени, так как разности третьего порядка постоянны.

Пример 5.4. Выяснить наиболее подходящую степень ин­ терполяционного многочлена, предназначенного для представ­ ления функции, заданной табл. 5.5.

X

0

0,5

1.0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

fix) 7,50 6,50 5,50 4,50 3,60 2,70 2,00 1,'Ю

Р е ш е н и е . Составляем табл. 5.6 разностей. '

						Таблица 5.6
X	у	А2 у		My		Дбу
0	7,50	1,00
	-
0,5	6,50	0,00		0,00
	-	1,00
1,0	5,50	0,00		0,10	0,10	- 0,30
	-	1,00
1,5	4,50	оло		-	0,20	0,80
	-	0,90	--	0,10		0,50
•2,0	3,60	0,00			0,30	- 1,10
	—	0,90		0,20		- 0,60
2,5	2,70	0,20		—	0,30
	- 0 , 7 0		—	0,10
3,0	2,00	0,10
	-	0,60
3%	1,40

Выбираем в таблице столбец, разности в котором с наи­ большим основанием могут считаться постоянными. При этом разности следующего за ним столбца должны быть близки к нулю. Такими столбцами в данном случае являются А-у й Д3 у. Поэтому функцию следует заменить многочленами второй сте­ пени.

Замечание. Обычно у функций, полученных эмпирическим путем, разности низших порядков меняются закономерно и с повышением порядка приближаются к постоянным. Но, миноЕЗВ столбец, где они ближе всего к нулю, разности теряют вся­ кую закономерность и начинают быстро возрастать. Это объяс­ няется неизбежными ошибками; содержащимися в значениях самой функции, а также погрешностью, накопляющейся в про­ цессе составления таблицы.

Практическую ценность имеет та часть таблицы, где харак­ тер изменения разностей является плавным и закономерным.

Пример 5.5.	Составить таблицу разностей функции	Igsinx
для значений х	от 37' до 43', взятых через каждую	минуту

/ (значения lg sin х взяты из семизначных таблиц логарифмов). 1

	Из соображений удобства в разностях высших порядков не
выписываются		все нули после запятой, например, 111 означает
-0,0000111.
								Таблица 5.7
X	Ig sin X	\ у		Д 2 у	Л-'у
				*
37'	8,0319205	115804
38'	8,0435009		-	2999
		112805			143
39'	8,0547814	'	— 28? 6			- -	002
40'	8,0657763	109949			141		—	109
		107234	-	2715	030	—	111	512
4 Г	8,0764997		- 2 6 8 5				292	403
		104549			332
42'	8,0869646		— 2363
		102186
43'	8,0971832

I

Как видно из таблицы, функцию igsinx можно с хорошей точностью заменить многочленами второй степени, так как раз­

ности второго порядка практически постоянны.

§ 5.4. П Е Р В А Я И Н Т Е Р П О Л Я Ц И О Н Н А Я Ф О Р М У Л А Н Ь Ю Т О Н А

Пусть для функции (5.2) заданы значения vf r = / (хк) для равноотстоящих значений независимой переменной xk = x0 -f&/z (/? = 0, 1,2,..., п). Число h называют шагом интерполяции.

Будем искать интерполяционный полином (5.1), удовлетво­ ряющий условию (5.3), в виде:

Рп	(х)	: = ао	+ &\ U	— *<>) + <h (х — х„) (х — х^			f
+ aa	(х — х0)		{х — х,) (х - X,) +		. . . -+ ап (х —	х0)	X
			X (х — х,) . . , . ( * -		Хп-i) •		(5.9)
Задача		состоит в определении коэффициентов ак.				Полагая
в (5.9) х = х0 , получаем				г/о = йоПри х = Х\ имеем
			Уі =	Уо + а (дс, — х0 ) ,

откуда

Так как при х =

х2

Уг =

Уо + -^Р-

(х-2

— хо)

+

аа

О,

-

хп) (х.

~h

то

а., —

У2

-

Уо -

2Ау0

2А

• /г

а подставив

Д у 0 = у , —j ' 0 .

получим

у,, — 2yt

+

у0

^

_ А2

Уо

2й2

"

~2

ГЛ2"

Последовательно продолжая этот процесс, находим

Л*Уо

k = 0,

1/2

, п

,

ft!.А*

где

Д° уо =

у0 .

значения

коэффициентов

в (5.9),

Подставляя найденные

получаем интерполяционный полином

Ньютона:

рпw

-Уо + r h

( х

" Х о )

+

~ 2 ч ? ~ ( х ~ Х о ) ( х ~ X i ) +

+

• • • +

-jjjpr

(*

— *о)

(*

~

~ Хк-,)

•+

. . . -+

'

Л

Й -

( х — х о)

(х

— *,)

. . . (х

— х„-\)

•

(5.10)

п

! Л"

Из этой формулы видно, что в отличие от полинома Лагранжа, в котором каждый член зависит от всех узлов интерполя­ ции, любой ft-й член полинома Ньютона зависит только от k первых узлов интерполяции. Таким образом, добавление новых узлов интерполяции вызывает в формуле (5.10) лишь добавле­ ние новых членов без изменения первоначальных. Это является существенным преимуществом полинома Ньютона по сравне­ нию с полиномом Лагранжа.

Пример 5.6. Построить полином Ньютона в условиях при­ мера 5.1.

Р е ш е н и е . Используя условие, составляем табл. 5.8 раз­ ностей.

							Таблица 5.8
			1
		X	у	Ду	Дг у
		2	0.С931
		3	0,4055		— 0,1178
			1,0986
			0,2877				0,0532
		4	1,3863		— 0,0646
			0,2231
		5	1,6094
ТакЧкак л = 3, h — 1, по формуле					(5.10)		получаем
					О	1178
Р3 (х) = 0,6931 +			0,4055 (х -	2) -			(х - 2) (х — 3) -[-
О	0^3 9
+	' в	(лс -- 2) (х — 3)		( х - 4 ) =		-	0,6841 + 0,9305 х —

-0,1387 х2 + 0,0089 х 8 .

Как и следовало ожидать, полученный полином Ньютона в этом примере и полином Лагранжа в примере 5.1 совпали друг с другом. Это справедливо и в общем случае в силу единствен­ ности интерполяционного полинома данной степени.

Для практического использования формулу Ньютона (5.10) обычно записывают в несколько, преобразованном виде. С этой

целью вводят новую переменную t по формуле
/ • = _ Ц і і о . ,			(5.11)
где t — число шагов, необходимых	для достижения		точки X,
при начальной точке х0 .
Тогда
(х — х0 ) (х — х,) . . . (х — xk-i) _	х — х0	' х — хц	— h
h"	h	h
. . . J ? L Z - ^ L ( * _ - . L ) A = / (t -	l ) . . . (t - k f 1) ,

k = 1, 2

n