книги из ГПНТБ / Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие

На основании формулы (7.10) получаем следующие при­ ближенные равенства:

/ (х) dx ^ *2 Х° (у0 + 4у1 + х,) ;

4

х- 6	(у 2 +	+ У л);	\ (7.13)

J

f(x)dx^X>»

6Х'2п-2

ІУт-2

+

У-2П-Л V У2„)-

хїп-2

Так как

X.)

XQ

— Х^

Х'2 = = . - • =~= -^2/2

%2п—2 '—''b — а

то складывая

соответственно

левые

и правые

части

формул

(7.13),

получаем

/ (*)

dx ~

Ь Ы а

[У 0

+ У2п +

2

(Уі

+ У і +

• • • +

^ 2 й - 2 ) +

4 ( У і + У 8 + - + У 2 Я - і ) ] =

& -

а

Vя

(№г-2+4г/2/ -і + У 2 г ) .

(7.14)

6 / г

'

^

Эта формула называется формулой Симпсона или форму­

лой парабол.

§ 7.4. В Ы В О Д

Ф О Р М У Л

П Р Я М О У Г О Л Ь Н И К О В , Т Р А П Е Ц И Й

И П А Р А Б О Л НА О С Н О В А Н И И И Н Т Е Р П О Л Я Ц И О Н Н О Г О

П О Л И Н О М А

Формулы (7.4), (7.8) и (7.14)

можно получить на основании

формулы (7.1). Докажем это.

п = 0, т. е. PQ(X) =Уо=/(«)',

Положив

в формуле (7.1)

полу­

чим

j / (х)

dx ^

_[-/

(a)

dx=f

(а) (Ь -

а) .

(7.15)

Полагая в (7.1) п—\ и пользуясь формулой линейного ин­ терполирования (5.13), будем иметь:

Ь

I)

\

f (х)

dx

^

j P ,

(х) dx

=

а

а

I

= h

|

(у0

+

t Ау0)

dt

=

{b

-

а) [уи

+

^

Ayt)j

,

где связь между переменными х

и t

обеспечивается

формулой

t

=

х

7

x » -

=

* ~

fl

,(А = ft

-

а) .

Учитывая, что

Ау()=у1—г/0,

получаем

ft

^ +± 01

^ /

( А - а)

(7.16)

При п = 2 из формул (7.1) и (5.14)

следует:

ft

й

2

(*) rfjc »

f P,(x)dx=h

£ (y0 +

* Ді/() + i i L — ! 1 д - ' г / 0

j <ft

где
Л	b — a
т а к к а к
h =	b — a
	2
Итак, доказали формулу
ь
j ' / (*) rf* ж	А ^ + - і - Л2 */0 j .	(7.17)

Учитывая, что

Л2 г/0 =		Лг/, — Д / / 0 =		; / 2	—	2г/,	+ //„ ,
перепишем формулу		(7.17) в виде:
ь
/(x)dx^-j-			(у,	і	4//,	+	;,2 ) .	(7.18)
Наконец, разобьем отрезок [о; 6] на п равных частей и при­
меним к каждой части формулы				(7.15)		или (7.16), в		результа­
те суммирования	получим		формулу			прямоугольников (7.4)
или формулу трапеций (7.8).
Разбив отрезок [а; Ь] на отрезки
[х0 ;	х2 |,	[х,; х4] , . . . , \х<,п-2\					х.2п\
с длинами
		2А =			,
применим к каждому из этих отрезков						формулу (7.18), в ре­
зультате суммирования получим				формулу			парабол	(7.14).
§ 7.5. О Ц Е Н К А П О Г Р Е Ш Н О С Т И			Ф О Р М У Л

П Р Я М О У Г О Л Ь Н И К О В И Т Р А П Е Ц И И

Поскольку выводы оценок погрешностей формул прямо­ угольников, трапеций и парабол аналогичны, то сообщим со­ ответствующие результаты для формул прямоугольников и па­ рабол без доказательства, а доказательство подробно прове­ дем в § 6 для формулы парабол как образец.

Оценкой погрешности формулы прямоугольников (7.4) служит неравенство

k « | . < ( о ~ а ) -	max	f"{x)\,	(7.19)
list II	х є [а;	Ь\

го чаще пользуются менее точной, но зато более простой в вы­ числениях формулой

; г 0 | < ( Ь ? „ а У

max . / ' ( * ) : •

(7-20)

Однако формулы (7.19) и (7.20) нельзя применять, если неизвестно аналитическое задание функции у=){х). Тогда приходится пользоваться заведомо грубой оценкой погреш­ ности (7.6).

Погрешность формулы трапеций (7.8) оценивается по фор­ муле

I ' . K - ^ r	r ^ -	™ х	(7.21)
1^	И	х є [a; ft]

Если функция определена опытным путем, то для оценки погрешности формулы трапеций применяют формулу

\гЛ<	Ь ТТ-> а	m a x	Iх ' Ук I •	(7.22)
	М	ь

Иногда довольно хорошую оценку погрешности формулы (7.8) можно получить, применяя правило: если г, — ] У — У.,„ \ и оба приближенных значения У„ и У.,„ отклоняются от истин­ ного значения

		J		ь
			=	Г /	( Х ) rfjc
в одну и ту же сторону, то
		г,	<	- L | j	n _	Л„ j ,			(7.23)
где
У„ — результат формулы					(7.8)	при разбиении			отрезка
[а; Ь] на п частей;
Ля — результат той же формулы							при разбиении отрезка
[а; Ь] на 2п частей.
S 7.6. О Ц Е Н К А	П О Г Р Е Ш Н О С Т И Ф О Р М У Л Ы						П А Р А Б О Л
Оценку погрешности формулы парабол (7.18) получим, -по­
ложив в формуле (7.3)
	о				а +		b	'
г, <	М	(х	—	о)[х	f!~^-\(x~b)				dx=*
	3 !
где		Ma	=	max	| / " ' (JC)		І
				л € |о; ft]

Поскольку формула (7.14) получается суммированием п формул вида (7.18), то погрешность формулы (7.14) оценится величиной

.	Л13 { b — а	У	(Ь — а)1 -	.	. ч	о с .
Используя другие		рассуждения, покажем, что формула па­
рабол имеет более высокую точность, чем дает формула						(7.25).
Л именно, хотя формула			(7.14) содержит только разности вто­

рого порядка, ее погрешность выражается через разности чет­

вертого

порядка.

Для

доказательства

этого

предположим,

что на

отрезке

[х0; Хі] — [й\

b] функция

может

быть с достаточной точностью

представлена

интерполяционным

полиномом

Ньютона

(5.12)

четвертой

степени:

/ ( * )

^

Я 4

(х)

=

Р,_ (*)

+

-

С - ^ Н * - ? ) -

дз у{}

+

t

( t

- \ ) ( l - 2 )

(t.-

3)

Проинтегрируем

это приближенное

равенство

на

отрезке

[хо; х2].

Интеграл

от Р^{х)

даст

выражение

(7.18), следова­

тельно,

интегралы

от остальных

членов могут

служить-для

оценки

погрешности.

Простые вычисления

дают:

J

t (і —\)

(t—

2) (t -

3)

\4ytlhdt-=

4

і

^ - Д 4 /

/ 0

А .

. " (Для вычисления

пределов

переменной t

напомним,

что

связь между переменными х и / дается

формулой

і = 2 bХ — а

Величина

1

служит для оценки погрешности формул (7.17) и (7.18).

124

Так как суммирование п формул вида (7.18) приводит к формуле (7.14'), то погрешность формулы (7.14) оценивается величиной

- ~ -	max	Д< /А | Ип =	Ь]т"'~	max | A1 yk \ ,	(7.26)
где max'A''(/k |		берется по	всем	рассматриваемым	табличным
и
разностям	четвертого порядка.

Формула (7.26) показывает, что формула парабол дает до­ статочную точность, когда достаточно малы четвертые разнос­ ти, так что произведения

,., b — а

не превосходят допустимой поі решности расчета.
Но при этих условиях практически		V .
max | А4 ук \ =	/г1 max | / , v	(х) \ ,
к	х

и потому погрешность формулы парабол можно также оцени­ вать по формуле

( ^ W ^	m a x	l / ' V	W	>			m a x	/ ' V	W l >	(7.27)
18U	xe[a;b\				2 o » ( J П*		л є | я ; * |
где					b — a
				.
				h =	2n
Формулы		(7.25)	и	(7.27)	для	практического			применения
почти бесполезны, поскольку найти и оценить
		max	/ " '	(х) ,	и	max	[ / I V (х)	\
чаще всего трудно.
В свою очередь недостаток формулы (7.26), несмотря										на ее

применимость к функциям, полученным эмпирическим путем, заключается в том, что вычисление всех разностей функции до четвертого порядка является трудоемкой работой.

Гораздо более простым и надежным является прием, со­ стоящий в удвоении шага.

При удвоении шага (для этого следует брать п не только четным, некратным четырем) погрешность (7.26) возрастает в 16 раз. Поэтому погрешность результата, вычисленного с ша­ гом к, примерно в 15 раз меньше, чем разность между этим ре­ зультатом и результатом, вычисленным с шагом 2h. Следова­ тельно, если'

J —• J-in I = rv		т о		I J — Л ! — is Г, И
\ J - J , n \ ~	r	, <	-	\ b	\ J n - J 2 n \ .	(7.28)
Здесь^через / обозначено точное значение искомого инте­
грала
J		*		(х)	dx ,
	=	j '	/
		а
через Л я — результат	формулы				(7.14) при разбиении	отрез­
ка на 2п частей с длинами

через J„— результат при разбиении отрезка на п частей с дли­ нами

		п
Результат	выражения	(7.28) обычно формулируют в виде
следующего правила: в интеграле J2n			верных знаков на один
больше, чем совпадающих знаков в Jп			и /,„.
§ 7.7. Р Е Ш Е Н И Е	Т И П И Ч Н Ы Х	П Р И М Е Р О В
Пример 7.2. Вычислить		с помощью	формулы (7.14) значе­
ние интеграла			#
		dx
	J V	1 + Xі + Xі
	о

разбивая отрезок интегрирования на 8 частей, и оценить по­ грешность, используя формулу (7.28).

Р е ш е н и е . Значения функции вычисляем по табл. 7,1.

і

•*>

A

X I

0	0	0	U	1	1	1
1	0,25	0,0625	0,0039	1,0664	1,0327	0,9683
2	0,60	0,2500	0,0625	1,3125	1,1456	0,8729
3	0,75	0,5625	0,3164	1,8789	1,3707	0,7:196
4	1,00	1,0000	1,0000	3,0000	1,7321	0,5773
5	1,25	1,5625	2,4411	5,0039	2,2369	0,4470
6	1,50	2,:soo	5,0625	8,3125	2,8*31	0,3468
7	1,75	3.0625	9,3789	13,4414	3,6662	0,2728
8	2,00	4,0000	16,0000	21,0000	4,5826	0.2182

Значение интеграла	по формуле (7.14) равно
1	б • 4	И + 0,2182 4- 2 (0,8729 4-
,) V 1 + & + XІ
+ 0,5773 4- 0,3468) + 4 (0,9683 4- 0,7296 4- 0,4470 +
		I
+	0,2728)] = 1,2069 .

Для оценки погрешности вычислим значение этого интегра­

ла при удвоении	шага:
2
dx	6 • 4 [1 4 0,2182 +-2	• 0,5773
V 1 4- хг
4	4 (0,8729 4- 0,3468)] = 1,2086.
Разность между полученными значениями		1,2086—1,2069 =

= 0,0017. Это означает, что погрешность полученного значения 1,2069 около 0,0001. Так что все знаки в числе 1,207 можно счи­ тать верными.

Пример 7.3. С помощью формулы парабол вычислить с

точностью до 0,001 значение интеграла j ех~ dx .

о

Р е ш е н и е . Поскольку в условии примера задана точность, то для ее обеспечения надо выбрать соответствующее число 2п

разбиения	отрезка интегрирования [0; 1]. А так как, легко	най­
ти / ! V (х), то для нахождения 2п по заданной погрешности		вос­
пользуемся	формулой (7.27), обладающей наибольшей	точ­

ностью. Для этого продифференцируем последовательно четы­

ре раза функцию y—f(x)—ex~				и получим
yvi =		4е-г	( 4 j c i +		12JC2	+ 3) .
Очевидно, что
	у"	> о	и	і J/'V ; =		(/'v ,
а также, что производная				г/1У	возрастает при 0 <		х < 1
и, следовательно,	имеет наибольшее значение при х=\.						Итак:
max		| / 1 V ( * ) I		=	У У ( 1 ) = 76е>,
•V e |0; 1|				76 Є
				2880 «4
так как 6—а= 1.
Если мы возьмем п = 5., то получим
l	^ ^ w V <					0 - 0 0 0 1 2 -

Таким образом, погрешность, возникающая при пользова­ нии формулой парабол с 2п=10 для вычисления данного ин­ теграла, не превосходит 0,00012.

Переходим к вычислению интеграла. По формуле (7.14>

при п — 5,		h =	^
			10
і
е*	d x ~	~W~	^"	+	Уі" 4	4	(Уі	+ У з +	У:' 4 У і +	+
сі
			+	2	+	У *	+	г/і; +	.
Пользуясь таблицей					значений			показательной		функции
(табл.	7.2).

					1	і	Xl
і				Уі	;			Уі
0	0			1,0000		6	0,6	1,4333
1	0,1			1,0101		7	0,7	1,6323
2	0,2			1.04Q8		8	0,8	1,8965
3 '	0,3	'		1,0942		9	0,9	2,2478
4	0,4			1,1735		10	1	2,7183
5	0,5			1,2840
н ax-едим
J" е*г dx		- j j —		[1 +	2,71,83 -Ь 4 (1,0101 - f 1,0942 +
о
-f 1,2840 +		1.6323 +			2,2478) + 2 (1,0408 + 1.1735 -h
+	1,4333 +			1,8965)]		1,46267 ~ 1,463 .
Мы уже установили, что погрешность вследствие								примене­
ния приближенной			формулы парабол				не превышает 0,00012.
Однако нельзя		еще утверждать, что найденное значение инте-
.грала удовлетворяет				условию примера, т. е. отличается от ис­
тинного менее, чем на 0,001. Дело						в том, что использованные
нами значения уи			1/2,	• • •, У\о являются			не точными,	а прибли­

женными значениями соответствующих величин (значение у0 является точным). И требуется еще показать, что возникшая вследствие этого погрешность в сумме с погрешносіью форму­ лы парабол не превысит заданной точности.

Сделаем это.

Каждое из указанных значений взято нами с четырьмя де­ сятичными знаками, т. е. отличается от соответствующего ис­ тинного значения у не более, чем на 0,00005. Поэтому ошибка, сделанная при вычислении суммы, заключенной в квадратных скобках, не превосходит 29 • 0,00005. Поскольку перед этой сум-

мои стоит множитель-go", то ошибка, возникающая в результа­ те округления чисел, включая и погрешность из-за округле­ ния результата деления числа 43,8805 на 30 (эта погрешность < 0,00033), не превосходит величины

А = 29 • 0,00005 + 0,00033 < 0,00038 .

9. Зак. 428.

,

129