книги из ГПНТБ / Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие

Таким образом, найденное значение интеграла отличается от истинного его значения не более, чем на величину

А -}- | ги < 0,00038 + 0,00012 == 0,0005 < 0,001 .

Итак, полученный результат 1,463 удовлетворяет условию задачи.

Пример 7.4. Вычислить.

о,н

dx

1 4- хг

взяв п = 8, по формулам: прямоугольников (7.4) и (7.5), трапе­ ций (7.8), парабол (7.14). Погрешность оценить двумя спосо­ бами:

1)сравнением с точным значением интеграла;

2)вычислением по формуле (7.6) прямоугольников, с по­ мощью оценки (7.23) для формулы трапеций и оценки по­ грешности формулы парабол (7.28).

Р е ш е н и е . Для оценки погрешности формул трапеций и парабол вычисления придется проводить дважды: с шагом

0 , 8 ^

0

8

и с шагом, в два

раза

большим

h2

= 2h\ = 0,2. Точно

вычислим

данный в условии

интеграл:

0,8

0.8

/ =

Г — 4 ^ 4 -

^

arctg х

I =

arctg 0,8

=

38°39'35"= 0,67473.'

)о

l+x-

*

Jо

(Угол определили по таблицам и выразили его в радианах.)

Запишем расчетные формулы.

Формула прямоугольников:

.

У, •=

0,1

(г/0

+

yt

+

у2 +

yt

+

уІ

+

г/, +

ук

+

У7)

/ 2

:=

0,1

(г/,

- f

у,

+

Ул+

yt

+

ys

+

уа

+

У,

+

уь)

•

Формула трапеций:

•Л =

0,1 \J±±M^

+

У і

+

у2

+- У і

+

yt

+

у5

+ l

h +

у,

Ji =

о,2 [J»

+ У*

+

уг

+

у,

f

у,

130

Формула парабол:

	О		2 (/л'	4- //4 +	//е )	-I- 4 (у,	4- + //3 4-		/ / 7 ) | ;
	[і/о -Ь У* +
	0,2		2//4 +	4 («/а	+ //«)]
	(//о +	Ун +
	Нахождение	интерполяционных				узлов	оформим	в	виде
.табл. 7.3.
							Таблица 7.3
						К о э ф ф и ц и е н т		п р и V/,
k		1 \-	4		1	в ф о р м у л е п а р а б о л
				Vt. — •	1 +	.,	= 0,1	Л =	0,2
						h
0	0	1		1,0000			1	1
1	0,1	1,01		0,9901			4	0
2	0,2	1,04		0,9615			2	4
3	0,3	1,09.		0,9174			4	0
4	0,4	1,16		0,8621			2	2
5	0,5	1,25		0,8000			4	0
6	0,6	1,36		0,7353			2	4
7	0,7	1,49		0,6711			4	0
8	0,8	1,64		0,06098			1	I	т

Результаты вычислений оформим в виде табл."7.4.

ВЫ В О Д Ы

1.Рассмотренные формулы для оценки погрешностей дают завышенные значения по сравнению с истинными погрешнос­ тями.

2.Анализируя результаты, видим, что при одних и тех же данных формула трапеций более точна, чем формулы прямо­ угольников, а вычисления практически не усложняются, и осо­ бенно высокой точностью обладает формула парабол при

сравнительной ее простоте.

\

НазВаниє	Результат		О. ёсо/іЮпіНая				Относ	ительная
	вычисления		погреш		носгпь		no і ре UJ H ocmb
J,	0 693	75		001922			0	028^3%
				оогооо
1	0 65437						0,03	=	3%
прямоіго/tb
			=	С,09Ч<01
	ов?ч24			0,000/э			0,00073		-0,07%
X	0,6300?			0,04466			0,0066	~	0,66%
			~0	0/5<	0	02
J,я	0,67923			0,00000			0, ООО %
	0,67475			Oj	00002		0,00003	~	0,003%

парово*

?z0y00000l4< <. 0 00002

К О Н Т Р О Л Ь Н Ы Е В О П Р О С Ы

)

1. В каких случаях применяют численные методы вычисле­ ния определенных интегралов?

2. Что понимают под численными методами вычисления определенных интегралов?

3.Исходя из геометрических соображений, доказать фор­

мулы:

а) прямоугольников (7.4), (7.5); б) трапеций (7.8); в) парабол (7.14).

4.Доказать эти же формулы на основании интерполяцион­ ного полинома.

5.Как производится оценка погрешностей формул числен­ ного интегрирования:

а) в случае аналитического задания функции?

б) в случае табличного задания функции?

6. Можно ли произвести оценку погрешности формул (7.5) и (7.7) по формулам (7.19) и (7.20)?

J 32

7.Как применить формулу (7.6) для подсчета оценки по­ грешности формулы прямоугольников, если функция не моно­ тонна на отрезке [а; Ь]?

8.Какие формулы дают самую хорошую оценку погрешнос­ ти формул: прямоугольников, трапеций, или парабол?

9.Какова сравнительная точность формул прямоугольни­ ков, трапеций и парабол при одном и том же шаге разбиения?

Упражнения к главе 7

2dx

1.Вычислить \ по формуле Ньютона—Лейбница и по

формулам прямоугольников, трапеций и парабол, разбивая интервал интегрирования на 10 равных частей. Затем оценить в процентах относительную погрешность результатов, получен­ ных по приближенным формулам. (Все вычисления дел'ать с четырьмя десятичными знаками.)

Отв.: !п2~0,6931; 0,7188; 0,6688; 0,6938; 0,6932.

2. На сколько частей следует разделить интервал интегри-

чтобы вычислить его с точностью

до 10~2 по приближенным формулам: прямоугольников, тра­ пеций и парабол.

Отв.: пх> 100; л 2 > 4 ; пг> 1.

3. Площадь круга единичного радиуса равна ~. Взяв еди­ ничный круг с центром в начале координат, уравнение окруж­ ности которого х2 + у2= 1, и применив для вычисления площади этого круга интегрирование, получим

о

Пользуясь формулами прямоугольников, трапеций и пара­ бол, вычислить приближенно число г., разбивая интервал ин-, тегрирования [0; 1] на 10 частей. Полученные результаты сравнить между собой и с табличным значением числа г..

Отв.: По правилу	прямоугольников - ^2,904 (с	недостат­
ком) и rss3,305 (с избытком). По формуле трапеций		3,104.
По формуле парабол	3,127.
4. Вычислить
	10 dx

используя формулу парабол при и =10. Найти модуль перехо­ да от натуральных логарифмов к десятичным. Сравнить с таб­ личным значением.

	Отв.: 1п10~2,31;
	М =	1	0,433
		In 10

5. Вычислить по формуле парабол интеграл

1,35

\f(x)dx,

пользуясь табл. 7.5 значений функции f (х).

							Таблица 7.5
X	1,05	1,10	1,15 •	1,20	1,25	1,30	1,35
fix)	2,36	2,50	2,74	3,04	3,46	3,08	4,60

6. Под действием переменной силы F, направленной вдоль оси ОХ, материальная точка переместилась по .оси ОХ из поло­ жения х = 0 в положение х = 4. Вычислить приближенно рабо­ ту А силы F, если-дана табл. 7.6 значений ее модуля F. Вычис­ ление провести по формуле трапеций и по формуле Симпсоиа.

									Таблица 7.6
X	0,0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0
F	1,50	0,75	0,50	0,75	1,50	2,75	4,50	6,75	10,00

Отв.: По формуле трапеций — 11,625; по формуле Симпсо­

иа — 11,417.

7.Прямая линия касается берега реки в точках А и В. Для измерения площади участка между рекой и прямой АВ прове­

дены 11 перпендикуляров к АВ от реки	через каждые	5 м
(следовательно, прямая АВ имеет длину	60 м). Длины	этих

перпендикуляров оказались равными 3,28; 4,02; 4,64; 5,26; 4,98; 3,62; 3,82; 4,68; 5,26; 3,82; 3,24 м. Вычислить приближенное зна­ чение площади участка. •

Отв.: ^239 м2 по формуле парабол.

В примерах 8—16, пользуясь формулой парабол, вычислить данные интегралы, которые не могут быть найдены в конечном

виде с помощью				элементарных			функций. Число я разбиений
отрезка интегрирования указано в скобках,
8.	jі	У	1 -	Xя	dx	(10) .
	о
Отв.:		«0,837.
9.	jі	У	I +	XІ	dx	(10) .
	о
Отв.;		«1,09.
Ю.	5	dx
	J	- ^ - ( 6 )
		In	X
	2
Отв.:		-2,59.
11.	j	У	cos ?	df	(10) .
	о
Отв.:		«0,950.
12.	}	V	1 —	0,1	sin- ъ d'i		(6)
	о
Отв.:		«1,53..
13.	|	- ! ^ L . r f . r ( i o )
	о
Отв.:		«0,985.
, .	Т	sin X		,	.	. „ .
14.	о	— - —		dx	(10)
Отв.:		«1,371.
1 5 -	f - , s r ( 1 0 ' •
	2	«1,118.
Отв.:
16.	j	sin	(х-)	t/x	(10)
	о

Отв.: «0,157.

Вычислить с точностью до 0,01 следующие определенные интегралы:

1	dx
17. .	1 + х

Отв.:о 0,69.

1dx

18.J 1 4- XІ

Отв.:о 0,79

19.	і			dx
	J		1 +			xs
о
Отв.:		0,84.
	2		х			л- dx .
20.	j"			l g
	і
Отв.;	0,28.
21.	Jf			x	**-dx.
	і
Отв.:		0,10.
22.	J1"		S	[	x	x	dx.
					n
	0
Отв.:	1,61. .
23.	(		-	^		L ^	( i x _
	J				x
	0		1,85.
Отв.:
0 .	( 2		cos			x	,
24.	J				x		dx .
	і
Отв.:		0,09.
25.	ГС						dx .
	і*		-	—•
	J		1	+		*
	о		0,67.
Отв.:
	і		е~*г			dx .
26.	j	'
	о
Отв.	0,75.

Г л а в а 8

ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Очень важно уметь применять основные методы прибли­ женного решения дифференциальных уравнений, так как даже Б случае достаточно простых обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений не всегда удается выразить решение в квадра­ турах.

В зависимости от формы, в которой представляется прибли­ женное решение уравнения, методы приближенного интегриро­ вания дифференциальных уравнений можно разделить на три группы.

Аналитические методы предусматривают получение при­ ближенного частного решения уравнения либо в виде квадра­ тур, либо в виде степенных рядов, равномерно сходящихся, при определенных условиях, к точному решению. Среди ана­ литических методов основными являются:

—метод последовательных приближений;

—разложение решения в ряд по степеням независимой пе­ ременной или по степеням некоторых параметров уравнения;

—• разложение в ряд по степеням начальных данных. Графические методы предполагают приближенное построе­

ние интегральных кривых.

Численные методы дают приближения для значений точ­ ного решения лишь в отдельных точках и их оформляют в виде таблицы.

Цель настоящей главы состоит в том, чтобы дать достаточ­ но полное изложение численных методов решения обыкновен­ ных дифференциальных уравнений первого порядка, и потому для иллюстрации аналитических методов представлено лишь схематическое изложение первых двух из них.

$ 8.1. М Е Т О Д П О С Л Е Д О В А Т Е Л Ь Н Ы Х П Р И Б Л И Ж Е Н И Й

Изложим этот метод применительно к дифференциальному

уравнению первого порядка
У)	(8-1)
с начальным условием
У І-ї=і-„ = Уо •	(8.2)
Предположим, что в некоторой окрестности течки М0(х0,	уQ)

уравнение (8.1) удовлетворяет условиям теоремы существов„а- шія и единственности решения *.

Интегрируя	правую и левую части уравнения (8.1)		в преде-
- лах от х0 ДО х,	получаем интегральное	уравнение
	х
	У (*) = У, + J / (*,	//) dx .	(8.3)

Решение уравнения (8.3) удовлетворяет дифференциально­ му уравнению (8.1) и начальным условиям (8.2).

Если интервал (х0, х) достаточно мал, то приближенно можно полагать в нем функцию у(х) равной у0, и в качестве первого приближения выбрать функцию

х

Уі

(х) = у<>

+

\

f (х, yv) dx .

Подставив

затем

в правую часть уравнения

(8.3)

функцию

У І { Х ) , найдем второе приближение:

х

у,

(х)

=

у0

+

\

f

{х, yt)

dx .

Все дальнейшие

приближения

строятся

по

формуле

Уп (х)

-

X

/

(*. уп-i) dx

,

(8.4)

Уо +

J

* В о б л а с т и \х—Хо

\ < а, \у

у0,

<Ь

с у щ е с т в у е т е д и н с т в е н н о е

р е ш е н и е

у р а в н е н и я

(8 . )),

у д о в л е т в о р я ю щ е е

н а ч а л ь н ы м у с л о в и я м

(8.2),

если

в этой

о б л а с т и ф у н к ц и я f ( x , у) у д о в л е т в о р я е т у с л о в и ю Л и п ш и ц а

/ С*. УО" -

/ (-г,

у 2 )

I

, Л' | y L

-

у 2 '

,

где Л'' —

п о с т о я н н а я

Л и п ш и ц а

—

не

з а в и с и т

от

х, у\, уі;

в

к а ч е с т в е

Л' м о ж н о

в ы б р а т ь

max

; f'v

(х, у) | .

причем	имеет	место теорема,		устанавливающая,		что, если
функция	J (х, у)	в окрестности		точки Л10 (х0 , уо) удовлетворяет
условию	Липшица, то		последовательность		{у„ (х)}	на	некото-.
ром достаточно		малом	отрезке	[х0; xo + h]	равномерно		сходит­
ся к точному решению			у(х):

у (х) — lim у,г (х) .

Если f(x, у) определена и непрерывна в области

R {0 <	х — х0	<	а;		\ у — {/„ | <	Ь] ,
и
max 1 /	(х, у)	| <	М		при (х, у)	є R,
то за величину h можно принять						,
	h — mm			х,	М

Погрешность метода последовательных приближений опре­ деляют по формуле

з „ (х) = | у (х) - уп (х) | ; MN* - ^ П у Г '

Пример 8.1. Методом последовательных приближений най­ ти приближенное решение дифференциального уравнения у'~х—у, удовлетворяющее начальному условию у\х=о = Ь

Р е ш е н и е . Интегрируя уравнение от 0 до х, получаем

х

у — 1 -\- f (х — у) dx ,

I

о

откуда при ;/о =1

у1

=

1 +

\{у-

\)dx=]-x+

-

~

-

( - 1 ) 2 - 2 Т

о

х

х- \

,

..

,

.,

х?>

у,

=r.

1 +

\ (х

— 1 +

х

dx

—

—

-—-

1 —

х

-f

х2

у-

х

- x

+ 2 - j T

+ (-

I ) 3

~у

и аналогично