книги из ГПНТБ / Альтшуллер Г.Б. Кварцевая стабилизация частоты

для прямоугольной пластины
F = -	„	я / ,	я Ь	(2.3)
	- cos2	а г -----cos2 а2-----

'Ьп

где Дп— диаметр круглой пластины; <1п— длина кварцевой пласти­ ны; Ьп — ширина кварцевой пластины; |„ю — амплитуда смещения в центре пластины; а — коэффициент, характеризующий изменение

Рис. 2.1. Распределение ампли­ туды смещения по пластине для:

а) плоской пластины; б) плос­

кой	п..астппы с	фасками;
в) п.юсковыиуклой		и дпояко-
пыиук.юй пластины

амплитуды смещения по поверхности кварцевом пластины; сц, ад— коэффициенты, характеризующие изменение амплитуды смещения ло длине и ширине прямоугольной пластины соответственно.

Рассмотрим подробнее коэффициент а, характеризующий изме­ ненле амплитуды смещения по поверхности круглой пластины.

Для плоских пластин круглой формы амплитуде смещения кра­ ев пластины |тп не равна нулю:

гГтгт п/Ето = cos2 а (я/2).
Из выражения (2.4)
а -= (2/л) arc cos	о-

Сддугой стороны и 'Можно определить как

а^ D„'Da,

(2.4)

(2-5)

(2.6)

:де Оa— диаметр окружности условного пересечения поверхностей

/•’ и кварцевой пластины. Для	плоских пластин а<1. Для пластин
с фасками величина а близка	к 1. При «=1 Da = Dn н |т и=1. Для
в ы п у к л ы х пластин величина а	может быть больше 1 и Da<.Dn. Для

20

них выражение (2.5) теряет смысл и следует воспользоваться выра­ жением .(2.6).

Решение ур-ния (2.1), приведенное в [4 57] с учетом выражений (2.2) и (2.3), позволяет получить следующие выражения для пара­ метров эквивалентной электрической схемы кварцевого резонатора с электродами в виде пленки .на пластине (рис. 2.2):

эквивалентная индуктивность

эквивалентная емкость

эквивалентное сопротивление

статическая емкость

В этих выражениях kL,	kc, kR, k0 — коэф-	Рис. 2.2. Эквивалент­
		ные схемы кварцево-
фициенты, зависящие от ориентации кварце-		го резонатора
вой пластины; п — номер	механической гар­

моники, на которой возбуждается кварцевая пластина; Se — пло­ щадь электродов кварцевой пластины; — площади кварце­ вой пластины; 5 Яфф — эффективная площадь кварцевой пластины, равная площади пластины с равномерным распределением ам­ плитуды смещений и имеющей такие же параметры, что и реаль­

ная пластина.	площадь			для круглой	пластины
Эффективная
I" j F d cp dr	2п	ге	F (a,	cp, r)d ф dr,	( 2. 11)
	=	j
s,	о	0
для прямоугольной пластины
		^e	F (a,	/, b) d id b.	(2. 12)
■5Эфф=	= J	^
s,	о	0

Рассмотрим круглую кварцевую пластину с круглыми элект­ родами, расположенными в центре пластины.

Эффективная площадь такой кварцевой .пластины

(2.13)

0 0

Первый интеграл я J гйг=яг2е/2.

о

Второй интеграл

а я ге	а л ге
	Гп re sin •

я г cos а л — dr =		л	+	а л
J	гп
Таким 'образо,м,		эффективная площадь кварцевой пластины
		а л ге	а л ге
		COS ■	ге sin ■	1	(2.14)
<- ’эфф — 5 П	+	Г П	+
				а2л2
L	2 г;		а л гп

где Sn — площадь кварцевой пластины.

Эффективная площадь пластины может быть выражена через площадь кварцевой пластины и коэффициент Ат определяемый значением а и отношением радиуса электрода « радиусу пластины (рис. 2.3). Тогда выражение (2.14) примет вид

5 эфф= Sn Ап (а, ге/гп),		(2.15)
а л ге	а л ге
cos-------	гс siп --------	__1___
гп	г п
а 2 л2	+	а2л2
	а л гп

Из выражений (2.14), (2.15) и рис. 2.3 видно, что эффектная площадь кварцевой пластины уменьшается при уменьшении отноше­ ния rt,/rn и увеличении коэффициента а.

Представляет интерес выразить эффективную площадь кварце­ вой пластины через площадь Se. Используя выражение (2.14), получаем

■5Эфф=	Se	■cos	а Л Ге		sin		а л ге		2	“I
				' П
				а ге Л			гп		а А л2
=	S e	( а 1 —								(2.16)
где
А с { а 1 ^ ) =			а л ге	,		■sin		а л rf
		■COS----------1-
				а ге л				Г П	а 2г*л 2
Завнсп.чость коэффициента .1, (а,				—	)	от отношения				.радиуса
				Г П

электрода к радиусу пластины для различных коэффициентов а по­ казана на рис. 2.4.

Рис. 2.3. Зависимость коэффициента А„	Рис. 2.4. Зависимость коэффициента
от отношения ге/гп	Ае от отношения г0/гп

Рассмотрим эффективную площадь п,рямоугольной кварцевой пластины с прямоугольными электродами, расположенными в ее центре. Эффективная площадь .кварцевой пластины с учетом вы­ ражений (2-3) и (2.12)

/е /2

6е/2

S 3tM, = 4 1 dl	[ cos-	l cos- л а 2 bd b.	(2.17)
о	ln	bn
	0

После простых преобразовании

4 Ьп /п

‘d°-

. л а,

/

4 a

[ 1

,

1

2 я <*! , /

1

•^эфф —

Г

р

л2 a-L а 2

.! d -

/„

J

I T

^

T

cos—

' | ( т +

■cos

2 л а 2 Ь

\

ла..

(2. 18)

Ьп

После решения

этих

интервалов

выражение

для

примет

вид

5эфф =

5п—лг----- (я ai ~

+

sin я

у - j ("л а2

е -fsinncc2

). (2.19)

1

4 Я- Й! Clj

\

/п

‘ п / V

Ьп

оп /

Широко применяются кварцевые резонаторы с пластинами круг­ лой формы, поэтому в дальнейшем будем рассматривать круглые

пластины с круглыми электродами.

Рассмотрим изменение реактивных параметров кварцевых резо­

наторов при изменении диаметра электрода.

Отношение индуктивности кварцевого .резонатора (рис. 2.5) с диаметром электрода 2гг к индуктивности кварцевого резонатора

23

при равенстве диаметров электрода и пластины LKn п будет равно:

		1	cos а л			sin а л	1
^КВ		2 ' а 2 л2				ал	а 2 л2	( 2. 20)
^кп п	О		Ге			sin а л -	Ге
		cos ал —		L	ге		гп	1
	те		Гп
	2 '2		а 2 л2	'	/•„	2л		а 2 л2

Как видно из ф-лы (2.20) и рис. 2.5, индуктивность увеличива­ ется при уменьшении диаметра электрода. На рис. 2.5 показаны данные эксперимента для пластины с плоокопараллелыны1М'И по-

Pile. 2.5. Зависимость относительного изменения эквивалентной индуктивно­ сти кварцевого резонатора от отно­ шения г( ги

Рис 2.6. Зависимость относительного изменения эквивалентной емкости киа; ..>'Бого р«,.юнатора от отношения

верхпостями. Как видно из рис. 2.5, эксперимент хорошо подтверж­

дает аналитические выражения со значением а = 0,8.									(рис. 2.6)
Относительное			изменение			эквивалентной емкости
	т быть найдено из (2.8),					(2.15)	и имеет вид
	•:		Ге				Гв
		cos ал —		,	ге	sin а л ------		1
	гп ,	________ >Т|				________Гп
(-кп	о Л	а - л2		' г„		ал	а 2 я2		(2.21)
	__ _п________ _________________________ _
С,,ь „		1	cos ал		sin а л		1
		2 1 а 2 л2				ал	а 2 л2
ная	К ■Iк видно из анализа				выражения (2.21)			и рис- 2.6, эквивалент­
	емкость	убывает		по	мере уменьшения			диаметра	электрода.

21

Экспериментальное исследование (коэффициента а, характери­ зующего распределение амплитуды смещения плоских кварцевых пластин, позволило найти среднее значение а » 0,8. Измерения экви­ валентных индуктивности и емкости кварцевых резонаторов при различных размерах электродов, 'проведенные на частоте 13 МГц, показаны на рис. 2.5 и 2.6 .точками. Как видно из анализа рис. 2.5 и 2.6, результаты экспериментальных исследований подтверждают теоретические исследования.

Следует отметить, что выведенные в этом параграфе формулы справедливы для кварцевых резонаторов е толщинно-сдвиговыми колебаниями и их не следует применять к .кварцевым резонаторам с другими видами колебаний.

Эквивалентные параметры кварцевых резонаторов можно из­ мерить различными методами. Рассмотрим кратко некоторые из них.

Метод измерения при помощи пассивного четырехполюсника.

Рассмотрим рис. 2.7. Исследуемый кварцевый резонатор включа­

	Рис. 2.7.	Структурная схема из­	ГСС
			или
	мерении	эквивалентных пара­
	метров кварцевых резонаторов		УКГ

ется между активными сопротивлениями. На четырехполюсник по­ дается напряжение с генератора стандартных сигналов или с управляемого кварцевого генератораНапряжения на входе и вы­ ходе кварцевого резонатора измеряется вольтметрами. Ключ Кл\

.подключает последовательно с кварцевым резонатором емкость CY Генератор настраивается на частоту последовательного резонанса /кв по минимуму напряжении на выходе кварцевого резонатора (минимум показаний вольтметра ДВЫх).

Эквивалентное сопротивление кварцевого резонатора

Якв = [(^вых - - USX)/UBX] R.

(2.22)

Для повышения точности величина R должна быть одного .по­ рядка е эквивалентным сопротивлением кварцевого резонатора.

Величина статической емкости кварцевого резонатора может быть измерена любым способом аналогично измерению емкости конденсатора на частотах, отличных от резонансных частот кварце­ вого резонатора.

После измерения частоты /,;П нажатием ключа Кл\ последова­ тельно с кварцевым резонатором включается емкость С, и фикси­ руется частота последовательного резонанса Д/ь Для определения величин емкостного отношения m и эквивалентной емкости Скв вос-

25

пользуемся формулой, полученной в [32], которая при начальной частоте последовательного резонанса имеет вид

	Д е 1 =	А /1	Ху 1	С0	(2.23)
		1	1 — •VJ/1	Ci + Со

— т к в

'Гак как

ху — Хс j \хс 0|— Cq/Cj ,

из выражения (2.23) получаем расчетные формулы:

т -	2	A/l	( l +	Cl	),	(2.24)
		/кв	1	С0 /
Скв =		2 4 ^	(С0 +	Q .		(2.25)
		/КП
	Величина эквивалентной .индуктивности
L	—		1		1	(2.26)
		4 л2 4 с кв			в^ / и вД / Л С . + С,)
	Добротность кварцевого резонатора
<3кв -			‘		1	(2.27)
		2л /кв Скв /?кв			4 я А /у (Св +	Ci) RKB

Если величина статической емкости предварительно не измеря­ лась. ее можно найти, используя структурную схему рис. 2.7 при дополнительном измерении изменения частоты последовательного резонанса А/2 с счетом включения последовательно с кварцевым резонатором емкости С2. Приравнивая значения емкости Свк, вы­ численные по ф-ле (2.25), при включении емкости Ci и С2 получа­ ем следующее уравнение для нахождения величины статической емкости кварцевого резонатора:

^	(Q С,) =	(С0 + Q ,	(2.28)
	/кв	/кв

/ткуда находим величину статической емкости кварцевого резона­

	тора
	С0 = А к С2 -	А/, Ct	(2.29)
	А Л — А /г
	Формулы для определения величин эквивалентных емкости и ин­
	дуктивности	кварцевых резонаторов	имеют вид соответственно:
	2 А Л А / 2 (С„ - Ct)		(2.30)
	/кв (А /, — А /г)
	А к — А /г		(2.31)
	L к»

8 л2 А Д Д / 2 ( С , - С х)

На высоких частотах следует применять ‘компенсацию статической емкости кварцевого резонатора.

26

Данный метод измерений эквивалентных /параметров обеспечи­ вает достаточную точность измерений, но является довольно трудо­ емким.

Значительно упростить измерения эквивалентных параметров-, кварцевых резонаторов можно при осцилляторном методе, при котором не нужен даполиительный генератор, а сам измеряемый кварцевый /резонатор возбуждается /в /генераторной схеме. В ка­ честве /измерительной схемы генератора обычно попользуется схема на двух транзисторах с включением измеряемого кварцевого резо­ натора в /цепь обратной связи между двумя малыми сопротивления­ ми (рис. 2.8). Один из каскадов генератора, обычно второй, имеет

Рис. 2.8. Структурная схема измерительного кварце­ вого генератора

перестраиваемый /колебательный /контур, настройкой которого на', максимум /показаний .напряжения U2 обеопечивается режим гене­ ратора вблизи последовательного резонанса при замкнутом пере­ ключателе Кл{. При его нажатии включается емкость С, и фикси­ руется изменение частоты Д/V Значения реактивных эквивалентных параметров кварцевого резонатора вычисляются по ф-лам (2-25) и (2.26) /при известном значении статической емкости /кварцевого резонатора. Величина эквивалентного сопротивления может быть измерена способом замещения или /вычислена по ф-ле (2.22). Точ­ ность этого метода измерения несколько меньше, чем при пассив­ ном четырехполюснике, но и трудоемкость измерения значительно меньше.

Высокую точность измерения эквивалентных параметров квар­ цевых резонаторов обеспечивает метод свободных затухающих колебаний. Этот метод измерений основан на зависимости време­ ни затухания свободных колебаний от добротности кварцевого ре­ зонатора.

Действительно, амплитуда свободных затухающих колебаний

А = Ане	- Ч <	(2.32)
	,

где Ап — амплитуда колебаний кварцевого резонатора в начальный момент времени (t = 0). Измеряя время при котором свободно затухающие колебания уменьшаются с амплитуды Аи до амплитуды

27

/11, можно нз выражения (2.32) найти значение добротности кварнового резонатора

n f t 1

Qkd (2.33)

1п(Л1!/Л1) ‘

Для определения указанным методом эквивалентных парамет­ ров кварцевого резонатора необходимо измерить его эквивалент­ ную добротность с учетом последовательного включения с кварце­ вым резонатором эталонного активного 'Сопротивления R. В этом случае свободно затухающие колебания уменьшаются до амплиту­ ды .-Д за время t% Значение эквивалентной добротности QKdi 'Квар­ цевого резонатора с учетом сопротивления R могут быть вычислены аналогично (2.33):

QКВ 1	Л f tо					(2.34)
	In AH/Al
Из выражений		(2.33)	и	(2.34) отношения добротностей
QkB _ j М^-кв j / / в* ^-кв '				RkbН- R _ t1		(2.35)
QkbI	\ Якв •/ ' Rkb“Ь R
				* К »	^2
Из	выражения	(2.35)	эквивалентное сопротивление кварцевого
резонатора
Rкв	R					(2.36)
	h l h — 1
Величины эквивалентных				емкости	и индуктивности можно найти

по известным значениям добротности и эквивалентному сопротив­ лению:

Скв	1/2 n fQ R KB,	(2.37)
LKB =	QRKB;2nf.	(2.38)

Рассмотрим рис. 2.9. Кварцевый резонатор вместе с эталонны­ ми емкостями С\ и С2 включен в генератор, который настраивает-

Рис. 2.9. Структурная схема измерений эквивалентных параметров квар­ цевых резонаторов методом свободно затухающих колебаний:

I — генер in p ; 2 — усилитель; 3 — детектор; -1 — электронно-счетный частотомер

ся па частоту, близкую к частоте последовательного резонанса. При помощи ключа /(^кварцевый .резонатор вместе с эталонными емко'тям-и отключается от генератора и в кварцевом резонаторе

происходят свободно затухающие колебанияЭти колебания после усилителя поступают на детектор. С детектора напряжение пода­ ется па амплитудные селекторы АСЛи АСц определяющие уровни, соответствующие амплитудам Ан и At .соответственно. Время зату­ хания от Ац до Ai измеряется электронно-счетным частотомером, работающим в режиме измерения времени. По измеренным значе­ ниям частоты и времени затухания вычисляется значение добротно­ сти кварцевого резонатора QKB. Затем при помощи ключа К.Н последовательно с кварцевым резонатором включается сопротивле­ ние R и измерения повторяются. По приведенным выше формулам вычисляются значения эквивалентных параметров кварцевых резо­ наторов. Этот метод обеспечивает высокую точность измерений па­ раметров прецизионных кварцевых резонаторов и положен в осно­ ву измерителей1) эквивалентных параметров кварцевых резонато­

р о в .

2.2.СВОЙСТВА КВАРЦЕВОГО РЕЗОНАТОРА ВБЛИЗИ РЕЗОНАНСА

При изменении частоты кварцевый резонатор будет изменять свое сопротивление подобно эквивалентной электрической схеме. Для удобства анализа поведения кварцевого резонатора вблизи резонанса представим электрическую схему (ом. рис. 2.2а) экви­ валентным ей последовательным соединением реактивного сопро­ тивления АД,-в и активного сопротивления R 'Kri (рис. 2.26).

Эквивалентная электрическая схема кварцевого резонатора со­ стоит из параллельного соединения двух ветвей:

=	Якв - Г 1 1ш Ькв------------ --------) = RKB+					1^ К В	= - ---------		=
			ШСкв		'		1СОСо
где А со----- 1/соСо.
Тогда
j		Z' Z"	1Ас о IRkb Т-		•А кв)	Акв X q q -f- i RKB х с q
		Z' т Z"	RKB + i (X I(B -f		Xc 0)	^ kb +	1(AKB +	Ac 0)
	После простых преобразований получаем
у	_	—^кв А~с 0 + 1Ас о		+	Хкв (Х кв +	х с д)]			(2.39)
			^кв +	+	ХС о)2*
	*)	В диапазоне частот		10— 1000 кГц		типа	ИПР-1;	в	диапазоне частот

10—30 МГц типа ИПР-2. Эти приборы обеспечивают погрешность измерений [1791:

добротности	3% ; эквивалентного сопротивления 3—4%; реактивных параметров
6—7%. При	этом большие погрешности измерений возникают при измерениях
на частотах	10—30 МГц.

29