Методы Рунге – Кутта.

В процессе вычислений фиксированы некоторые числа:

0<j<iq;

Последовательно получаем:

и полагаем

Рассмотрим вопрос о выборе параметров

Обозначим - погрешность на шаге.

Если f(x,y)-гладкая функция своих аргументов, то тоже гладкие функции параметраh.

Пусть существуют производные авыбраны так что

Кроме того, предположим, что существует , для которой.

Согласно формуле Тейлора выполняется равенство:

,

где 0<<1 (15)

Величина (h)-называется погрешностью метода на шаге, а s-порядок погрешности метода.

1. При q=1 имеем:

Равенство выполняется для всех гладких функцийf(x,y) только при .

Этому значению соответствует метод Эйлера. Для погрешности этого метода на шаге, согласно (15) получаем выражение:.

Таким образом, s=1. Это метод первого порядка точности.

2. Рассмотрим q=2:

где .

Вычисляем производные , находим:

Соотношение , если

, если

Таким образом, при всех, если

3 уравнения, 4 параметра. Задавая один из них произвольно, получим различные методы Рунге-Кутта с погрешностью второго порядка малости по h.

Например:

, ,, что соответствует формулам (12) - метод Эйлера пересчётом.

,,, что соответствует формулам (14) - метод Эйлера с полуцелым шагом.

Так как , то нельзя построить формулы Рунге-Кутта сq=3, S=3;

3. Рассмотрим q=4, S=4.

(16)

Один из точных методов, S=4, он носит названиеметода Рунге – Кутта.

Численное решение дифференциальных уравнений высших порядков.

Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение порядка (r)

Задача Коши: требуется найти частное решение, удовлетворяющее (r) начальным условиям:

Одним из способов численного решения начальных задач для дифференциальных уравнений высших порядков является их сведение к соответствующим задачам для систем уравнений первого порядка.

Заменой переменных сводим задачу к системе (r) уравнений 1-го порядка.

Например: начальные условия перепишутся в видет. д.

Методы Рунге-Кутта легко распространяются на системы дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Например: рассмотрим систему

Приближённые решения иэтой системы в точкахпоследовательно вычисляется по формулам:

метод Эйлера

Метод Эйлера-Коши

Лекция № 16

1. Основные понятия теории разностных схем

Пусть на некотором отрезке D поставлена некоторая дифференциальная краевая задача.

, (1)

L - заданный дифференциальный оператор, f - заданная правая часть.

Будем предполагать, что решение u задачи (1) на отрезке существует.

На отрезке D конечное число точек, ,

Заменяем u(x) à таблицей значений этого решения в точках сетки.

Предполагается, что сетка зависит от параметраh>0.

Например, можно положить h=1/N , где N - некоторое натуральное число, и принять за сетку совокупность точек.

Искомая сеточная функция в этом случае в точке сеткипринимает значения, которое будем обозначать.

. (2)

Назовем ее разностной краевой задачей (разностной схемой).

Определение 1.

Будем говорить, что решение разностной краевой задачи (2) при сгущении сеткисходится к решению u дифференциальной краевой задачи (1), если

.

Если, сверх того, выполнено неравенство

(3)

где С>0, k>o – некоторые постоянные, не зависящие от h, то будем говорить, что имеет место сходимость порядка h^k или что разностная схема имеет k -й порядок точности.

В этом определении - проекция точного решения задачи (1) на сетку (- сеточная функция, компоненты которой есть значения точного решения в узлах сетки).

Предположим, что разностная задача (2) имеет единственное решение .

Если бы при подстановке в левую часть (2) вместо сеточной функции(проекции точного решения на сетку) равенство (2) оказалось бы в точности выполненным, то ввиду единственности решения имело бы место равенство=, идеальное с точки зрения сходимости.

Это означало бы, что решение разностной задачи (2) совпадает с искомой сеточной функцией, которую мы условились считать точным решением.

Однако, как правило, систему (2) не удается выбрать так, чтобы в точности ей удовлетворяла.

При подстановке в уравнение (2) возникает некоторая невязка:

Если эта невязка стремится к нулю при, так чтоудовлетворяет уравнению (2) все точнее, то будем говорить:

Определение 2.

Будем говорить, что разностная схема (2) аппроксимирует исходную дифференциальную задачу (1) на решении u, если

Если, сверх того, имеет место неравенство

(4)

где С>0, k>o – некоторые постоянные, не зависящие от h, то будем говорить, что имеет место аппроксимация порядка h^k или порядка к относительно величины h.

В случае аппроксимации можно считать, что уравнение (3) которому удовлетворяет , получается из уравнения (2) путем прибавления к правой части некоторой малой (при маломh) добавки .

Следовательно, если решение задачи (2)устойчиво относительно возмущения правой , т.е. мало изменяется при малом изменении правой части, то решениезадачи (2) и решениезадачи (3) отличаются мало, так что изаппроксимации

при следуетсходимость

, при

Определение 3.

Будем называть разностную схему (2) устойчивой, если существуют такие постоянные h₀ и d₀, что при любом h<h₀ и любой сеточной функции e_рÎF_h, такой, что

разностная задача

,

полученная из (2) добавление к правой части возмущения e^h имеет место и имеет только одно решение z^h, причем справедлива оценка

, (5)

где С₁ – некоторая постоянная, не зависящая от h.

Последнее неравенство означает, что малое возмущение e^h правой части разностной схемы (2) вызывает равномерно относительно h малое возмущение (z^h-u^h) решения u^h .

Определение 4.

Будем называть разностную схему (2) с линейным оператором L_h устойчивой, если при любой правой части f_hÎF_h уравнение имеет единственное решениеu_hÎU_h, причем

(6)

где С – некоторая постоянная, не зависящая от h.

Можно показать, в случае линейности разностного оператора L_h определения устойчивости 3 и 4 равносильны.

Теорема 1 (теорема Лакса о сходимости).

Пусть разностная схема (2) аппроксимирует задачу (1) на решении u с порядком h^k и устойчива.

Тогда решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной задачи, причем имеет место оценка

,

где С – некоторая постоянная, не зависящая от h.

Эта теорема позволяет свести вопрос о важнейшей с практической точки зрения проблеме исследования сходимости к вопросу исследования аппроксимации и устойчивости.

Доказательство:

Положим и. Тогда определение устойчивости (5)

примет вид, (привлекая условие (4))