§ 3. Неустранимая погрешность значения функций для приближенных значений аргументов. Погрешности арифметических операций.

Пусть - непрерывная дифференцируемая функция независимых переменных. Если значения аргумента даны неточно, а приближенно

- имеем неустранимую погрешность, то вместо y из (3) мы получим некоторую величину y*,

(6).

Требуется найти абсолютную погрешность , и относительную погрешность, характеризующие неустранимую погрешность функции (6).

Эту задачу в каждом конкретном случае можно совершенно строго решить при помощи методов математического анализа, исследуя область изменения y при .

Однако, при более или менее сплошной функции f применение точных методов математического анализа приводит к сложным вычислениям. Поэтому целесообразнее иметь в своем распоряжении приемы, позволяющие решить поставленную задачу более элементарно, хотя м.б. более грубо. Для их применения наложим некоторые дополнительные условия на функцию f и погрешности ее аргументов.

Будем предполагать:

1. Частные производные f изменяются достаточно медленно.

2. Относительные погрешности исходных данных достаточно малы.

По формуле конечных приращений получим:

где - значения производных- взятых в некоторой точке отрезка.Используя предположение 1), заменимна.

Получим

Отсюда (7)

Разделим (7) на y* и учитывая 1) и 2), получим приближенную формулу для относительной погрешности функции:

(8)

Если применить формулы (7) и (8) к случаю функции с одной переменной, то мы получим для оценки ее абсолютной и относительной погрешностей следующие формулы:

Лекция №2 Численные методы линейной алгебры

 

1. Решение систем линейных алгебраических уравнений СЛАУ с невырожденной (квадратной) матрицей.

2. Нахождение собственных значений и собственных векторов для квадратных матриц – алгебраическая проблема собственных значений.

1) Решение СЛАУ

(1)

С квадратной невырожденной матрицей:

Матрица А определяет отображение

2) Вычисление определителя матрицы:

(2)

3) Нахождение обратной матрицы А^-1 для невырожденной квадратной матрицы А:

(3)

 

Формальное решение. Устойчивость.

Формальное решение задачи (1) строится по известным формулам Крамера:

Формальное решение устойчиво, т.е. непрерывно зависит от входных данных A и f .

Действительно, варьируя , найдем:

Получаем, что:

(4)

Таким образом:

Нормы

Основные используемые в нормы:

1)        Норма вектора x.

Запишем разложение вектора по базису:

.

Базисные вектора образуют строку e , а координаты вектора `x - столбец X

1. Евклидова норма вектора

2. -Норма (при p=2 норма Гильберта - Шмидта)

(для конечномерного случая 1/n можно перед суммой опустить).

с) c - норма (равномерная или Чебышевская норма вектора x)

В имеют место соотношения:

т.е. в все эти нормыэквивалентны и сходимость в любой из них влечет сходимость в остальных нормах.

 

Проверим, например:

Имеем:

 

2). Норма матрицы А. Норма матрицы А, согласованная с нормой вектора x определяется следующим образом:

Отсюда

Это условие согласования норм ||x|| и ||A||.

Можно проверить, что введенная таким образом норма матрицы удовлетворяет неравенствам:

,

Для квадратных матриц наиболее употребительны следующие нормы:

(где - собственные значения симметричной самосопряженной матрицы,).

Первые две нормы не имеют специальных названий:

- называется максимальной,

- сферической или евклидовой,

- спектральной.

 

Умножая вектор х на матрицу А, получаем новый вектор Ах, норма которого может сильно отличаться от нормы вектора х.

Величину можно рассматривать как своеобразный«коэффициент растяжения» вектора х матрицей А. Для некоторых векторов он может быть малым, а для некоторых большим.

Если M и m – максимальное и минимальное значение коэффициента растяжения, то

Нормой матрицы А называется максимальное значение коэффициента растяжения:

Минимальное значение коэффициента растяжения также играет важную роль в линейной алгебре.

Если А – невырожденная матрица, то для нормы обратной матрицы справедливо равенство: