Лекция № 6 Метод Зейделя (модификация метода итераций).

При решении системы линейных алгебраических уравнений вида (1) методом итераций значение вычисляется по значениям с предыдущей итерации,, ... ,путем подстановкив правую часть системы(4).

Можно ожидать, что приближения будут быстрее сходиться к решению системы, если сразу же после вычисления, при вычислении последующихиспользовать, а нев правой части(4).

Процедура вычисления через,,...,,,называется методом Зейделя и записывается в развернутой форме в виде:

(9)

Запишем метод Зейделя в векторной форме, для этого представим матрицу a в виде суммы двух треугольных матриц L и U, где

,

Тогда систему (9) можно записать в виде матричного равенства:

(10)

Матрица (E-L) - неособенная, т.е. имеет обратную (E-L)^-1, следовательно, можно выразить х^(k+1) из (10)

Из (10) получаем, что

Обозначим

тогда

(11)

Следовательно, метод Зейделя для системы (1) эквивалентен методу простой итерации x = ax + b для системы x = Px + Q, где матрица P и вектор Q определены выше.

Теперь для сходимости (11) достаточно, чтобы ||P||₁ < 1 или ||P||₂ < 1.

Используя собственные значения матрицы P можно дать необходимое и достаточное условие сходимости процесса итераций для системы (11):|l(P)| < 1

Здесь в качестве матрицы a выступает матрица P , а в качестве вектора b - вектор Q .

Если для одной и той же системы методы итерации и Зейделя сходятся, то метод Зейделя предпочтительнее.

Достаточное условие сходимости процесса Зейделя.

ТЕОРЕМА: Если для линейной системы

х = aх + b (2)

выполнено условие , где, то процесс (9) для системы (2) сходится к единственному решению при любом выборе начального приближения.

Доказательство:…………………………………………………………

Оценим погрешности приближений по методу Зейделя.

Пусть и- две последовательные итерации процесса Зейделя.

Применяя к этим итерациям преобразования, получим:

Выполним аналогичные (как для МПИ) преобразования для разности между (k+m)- м и k -м членами последовательных приближений по Зейделю при некотором mÎN :

Рассматривая итоговое равенство при , переходя к пределуполучим утверждения теоремы:

, где

Тогда условие окончания итерационного процесса Зейделя будет иметь вид:

или

Тогда или

,

Лекция № 7 Методы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений.

Дано уравнение (скалярное)

f(x)=0, (1)

где f(x) определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале a<x<b.

Всякое значение x, обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. такое, что

f(x)=0 .

называется корнем уравнения (1) или корнем (нулем) функции f(x)

f(x) – нелинейная функция, может иметь множество корней в рассматриваемом интервале.

Мы будем считать, что уравнение (1) имеет лишь изолированные корни, т. е. для каждого корня уравнения (1) существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения (1) обычно складывается из двух этапов:

1. Локализация или отделение корней, т. е. установление возможно тесных промежутков, в которых содержится один и только один корень уравнения (1);

2. Уточнение приближенных корней, т.е. доведение их до заданной степени точности.

Для отделения корней используется графический способ, а также полезна известная теорема из математического анализа:

Теорема 1. Если непрерывная функция принимает значения разных знаков на концах отрезка,, то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения f(x)=0, т. е. найдется хотя бы одно число xÎ(a, b) такое, что f(x)=0.

Эта теорема не дает ответ о количестве корней.

Корень x заведомо будет единственным, если производная f’(x) существует и сохраняет постоянный знак (т. е. строго монотонна) внутри интервала (a, b), т. е. f’(x)>0 (или f’(x) <0) при a<x<.b