Лекция № 17 Разностные схемы для уравнений параболического типа.

Одномерное уравнение теплопроводности (уравнение диффузии) является параболическим уравнением в частных производных. Задача состоит в отыскании функции U(x, t), удовлетворяющей в области D={(x, t); } уравнению

( a=Const>0), (1)

начальному условию U(x,0)=f(x) (2)

и краевым условиям первого рода

(3)

Замена переменных приводит уравнение (1) к безразмерному виду

,

поэтому в дальнейшем будем считать a=1.

Построим в области D равномерную прямоугольную сетку с шагом h в направлении x и шагом, t- в направлении t (рис.1).

Обозначим узлы сетки через (x₀,t₀), ..., (x_i ,t_n), ..., а приближенные значения функции U(x,, t) в этих узлах - .

Тогда

x_i = ih, i=0, 1, ...,n, h=l/n; t_n = nt, n =0, 1, ..., m, t = T/m.

1. Явная схема

Погрешность аппроксимации равна о(t/h²).

Условие устойчивости

При использовании простого уравнение теплопроводности явного метода решается последовательным продвижением (маршем) от линии, на которой заданы начальные условия.

Явная схема оказывается устойчивой только при , т.е. при.

Это означает, что вычисления по явной схеме придется вести с очень малым шагом по t, что, конечно, может привести к большим затратам машинного времени.

2. Неявная схема

получаем неявную двухслойную схему:

(4)

которая аппроксимирует уравнение (1) с погрешностью о(t/h²).

Здесь r=t/h².

Схема (4) аппроксимирует уравнение (1) только во внутренних узлах сетки, поэтому число уравнений в схеме (4) меньше числа неизвестных . Недостающие уравнения получают из краевых условий

(5)

Схема (4)-(5) неявная, поэтому значения находят как решение системы линейных уравнений (4).

Для решения системы (4) можно применять метод прогонки, система (4) обладает трехдиагональной матрицей. Таким образом, решив систему разностных уравнений, найдем значения функции U на временном слое n+1, если известно решение на временном слое n.

Итак, алгоритм численного решения задачи имеет следующий вид.

На нулевом временном слое (n = 0) решение известно из начального условия

На каждом следующем слое искомая функция определяется как решение системы (4)-(5).

Замечательным свойством неявной схемы (4) является ее устойчивость при любых значениях параметра r=th/²>0.

3. Схема Кранка-Николсона.

Множитель перехода

погрешностью о(t² , h²). Правая часть определяется полусуммой производных на n и n+1 слоях

Абсолютно устойчивая разностная схема, решается методом прогонки.

4. Схема Ричардсона

погрешность аппроксимации о(t² , h²).

Абсолютно неустойчивая разностная схема.

5. Схема Дюфорта-Франкела.

Абсолютно неустойчивый метод Ричардсона можно сделать устойчивым , заменив

Явная трехслойная разностная схема

погрешность аппроксимации о(t² , h² ,(t/h)²).

Чтобы удовлетворить условию согласованности, нужно чтобы

Если , то разностная схема Дюфорта-Франкела апрроксимирует другое уравнение (гиперболического типа).

6. Комбинированный метод (схема с весами).

где

Все предыдущие методы являются частными случаями 6:

При - простой явный метод;

При - неявный метод;

При - метод Кранка – Николсона.

Погрешность аппроксимации равна , за исключением трех частных случаев:

1. - метод Кранка – Николсона,

2.

3. и

Метод абсолютно устойчив (неявный) при

Если , то метод устойчив при