§ 2. Абсолютная и относительная погрешности

Остановимся несколько подробнее на анализе вычислительной погрешности d₄y , возникающей из-за погрешностей округления при реализации численного алгоритма.

Если a – точное значение некоторой величины, а a^* - известное приближение к нему (а @ a^*), то погрешностью a^* называют величину

Абсолютной погрешностью a^* называют некоторую величину , про которую известно, что

(1)

Относительной погрешностью называют некоторую величину , про которую известно, что

(2)

Относительную погрешность часто выражают в %. Наименьшие из верхних границ в неравенствах, которые можно найти из имеющейся информации, называют предельной абсолютной и предельной относительной погрешностями соответственно.

Относительная ошибка определена, если знаменатель дроби не равен нулю, и нередко является полезной мерой достигнутой точности, поскольку меньше зависит от способа масштабирования данных. Так, если мы решим измерять веса в граммах, а не в килограммах, то относительная ошибка не изменится, тогда как ошибка умножится на 1000.

Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой.

Пример: а=0.04057 - 4 цифры, а=0.0405700 - 6 цифр. Абсолютную или относительную погрешность обычно записывают с 1 или 2 значащими цифрами

Информацию о том, что а* является приближенным значением числа а с абсолютной погрешностью , иногда записывают в виде, числаа*, принято записывать с одинаковым числом значащих цифр после запятойа=1,123+-0,004 или а=1,123+-4 10^-3. Это означает, что 1,123-0,004<а<1,123+0,004.

Соответственно, а*, являющееся числом с относительной погрешностью запишем в виде

Верные цифры и запись приближенных чисел.

Способы записи приближенных чисел, рассмотренные выше, не дают полного представления об их погрешности.

Если необходимо записать большую таблицу приближенных чисел, то эти способы становятся неудобными.

В вычислительной практике часто прибегают к различным приемам, позволяющим только по записи только самого числа судить о его погрешности.

Пусть приближенное число а* записано в системе счисления с основанием q:

(3)

Выберем некоторый числовой параметр . Цифруа_к числа будем называть верной, если для абсолютной погрешности этого числа имеет место неравенство

(4)

В противном случае цифру а_к называют сомнительной. Очевидно, что если цифра а_к верная, то и все предшествующие ей цифры тоже верные.

ПРАВИЛО записи приближенных чисел в той или иной системе счисления состоит в следующем:

Записывают приближенное число без указания его погрешности, требуют, чтобы все записанные цифры были верными.

Например, запись p= 3.14 означает, что абсолютная погрешность ,n=0, k=3, n-k+1=-2.

Практически используют только два значения параметра: 1 и 1/2 . В соответствии с этим для десятичной системы счисления имеем 2 определения понятия верной цифры:

Определение 1: W=1/2. Значащую цифру называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит 5-ти единиц разряда, следующего за этой цифрой.

Определение 2: W=1. Значащую цифру называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит 1 разряда, соответствующего этой цифре.

Таким образом, если мы знаем цифру приближенного числа, то сразу же можем оценить последнюю верную величину его абсолютной погрешности.

Установим теперь аналогичную связь между количеством верных цифр приближенного числа и его относительной погрешностью.

Пусть теперь относительная погрешность задана, тогда k является целочисленным решением неравенства

, (5)

то данное число а* с первой значащей цифрой а₁ имеет по крайней мере k верных значащих цифр. Действительно:

, что означает, что цифра а_k верная.

Пример: а*=2.14865, ,W=1/2. Здесь, а =2, q=10. Имеем:

0.000023<0.5/3 10^k-1 , 0,0000138 10^k <=1

Это неравенство выполняется при k=4. Следовательно, а* имеет по крайней мере 4 верных знака.