Показатели динамики при линейном тренде

к увеличению уровней: _i = 100 + 20t_i.

Номер периода, ti	Уровень i	Абсолютное изме­нение к предыду­щему периоду	Темпы (цеп­ные), %	Ускоре­ние
1	120	+20	120,0	-
2	140	+20	116,7	0
3	160	+20	114,3	0
4	180	+20	112,5	0
5	200	+20	111,1	0
6	220	+20	110,0	0

Таблица 4.2

Показатели динамики при линейном тренде

сокращения уровней: _i = 200 - 20t_i.

Номер периода, ti	Уровень i	Абсолютное изме­нение к предыду­щему периоду	Темп к предыдущему периоду, %	Ускоре­ние
1	180	-20	90,0	-
2	160	-20	88,9	0
3	140	-20	87,5	0
4	120	-20	85,7	0
5	100	-20	83,3	0
6	80	-20	80,0	0

4.2. Параболический тренд и его свойства

Под названием параболического будем иметь в виду тренд, выраженный параболой II порядка с уравнением

Параболы III порядка и более высоких порядков редко приме­нимы для выражения тенденции динамики и слишком сложны для получения надежных оценок параметров при ограничен­ной длине временного ряда. Прямую линию, с точки зрения ма­тематики, можно также считать одним из видов парабол - параболой I порядка, которая уже рассмотрена ранее.

Значения (смысл, сущность) параметров параболы II поряд­ка таковы: свободный член а - это средний (выровненный) уро­вень тренда на момент или период, принятый за начало отсчета времени, т.е. t=0; b - это средний за весь период среднегодовой прирост, который уже не является константой, а изменяется рав­номерно со средним ускорением, равным 2 с, которое и служит константой, главным параметром параболы II порядка.

Следовательно, тренд в форме параболы II порядка при­меняется для отображения таких тенденций динамики, кото­рым свойственно примерно постоянное ускорение абсолютных изменений уровней. Процессы такого рода встречаются на практике гораздо реже, чем процессы с равномерным измене­нием, но, с другой стороны, любое отклонение процесса от строго равномерного прироста (или сокращения) уровней можно интерпретировать как наличие ускорения. Более того, существует строгое математическое правило: чем выше поря­док параболы, тем ближе линия тренда к уровням исходного временного ряда. Если это правило довести до крайнего пре­дела, то любой ряд из п уровней может быть точно отображен параболой (п-1)-го порядка! (Через любые две точки прохо­дит одна прямая, через три точки - одна парабола II порядка и т.д.) Такое «приближение» линии тренда к эмпирическому ряду, содержащему как тенденцию, так и колебания, нельзя считать достижением научного анализа. Напротив, применяя параболу более высокого порядка там, где сущность процес­са этого не требует, а только ради уменьшения остаточной суммы отклонений (или их квадратов) отдельных уровней от тренда, исследователь уходит от цели, смешивая тренд с коле­баниями.

Парабола II порядка, как уравнение тренда, применяется к различным процессам, которые на некотором, как правило не­продолжительном, этапе развития имеют примерно постоян­ное ускорение абсолютного прироста уровней. Такими бывают рост населения отдельных городов или регионов, ускоренное увеличение объема продукции в фазе циклического подъема, как, например, динамика экспорта Японии в 1988-1995 гг., при­веденная на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Динамика экспорта Японии

Основные свойства тренда в форме параболы II порядка та­ковы:

1. неравные, но равномерно возрастающие или равномерно бывающие абсолютные изменения за равные промежутки вре­мени;

2. парабола, рассматриваемая относительно ее математи­ческой формы, имеет две ветви: восходящую с увеличением уровней признака и нисходящую с их уменьшением. Но отно­сительно статистики по содержанию изучаемого процесса изменений трендом, выражающим определенную тенденцию развития, чаще всего можно считать только одну из ветвей: либо восходящую, либо нисходящую. В особых, более конкретных, ситуациях мы не отрицаем возможности объединения обеих ветвей в единый тренд;

3. так как свободный член уравнения а как значение показа­теля в начальный момент (период) отсчета времени, как правило, величина положительная, то характер тренда определяется знаками параметров b и с:

а) при b>0 и с>0 имеем восходящую ветвь, т.е. тенденцию к ускоренному росту уровней;

б) при b<0 и с<0 имеем нисходящую ветвь - тенденцию к ускоренному сокращению уровней;

в) при b>0 и с<0 имеем либо восходящую ветвь с замедляю­щимся ростом уровней, либо обе ветви параболы, восходящую и нисходящую, если их по существу можно считать единым про­цессом;

г) при b<0 и с>0 имеем либо нисходящую ветвь с замедляю­щимся сокращением уровней, либо обе ветви - нисходящую и восходящую, если их можно считать единой тенденцией;

4) при параболической форме тренда, в зависимости от со­отношений между его параметрами, цепные темпы изменений могут либо уменьшаться, либо некоторое время возрастать, но при достаточно длительном периоде рано или поздно темпы роста обязательно начинают уменьшаться, а темпы сокращения уровней при b<0 и с<0 обязательно начинают возрастать (по абсолютной величине относительного изменения).

Ввиду ограниченного объема учебника рассмотрим не все четыре случая параболических трендов, а лишь два первых (табл. 4.3 и 4.4).

Таблица 4.3