4.5. Логарифмический тренд и его свойства

Если изучаемый процесс приводит к замедлению роста ка­кого-то показателя, но при этом рост не прекращается, не стремится к какому-либо ограниченному пределу, то гипербо­лическая форма тренда уже не подходит. Тем более не подходит парабола с отрицательным ускорением, по которой замедляю­щийся рост перейдет со временем в снижение уровней. В указан­ном случае тенденция изменения лучше всего отображается логарифмической формой тренда: _i = а + blnt_i.

Логарифмы возрастают значительно медленнее, чем сами числа (номера периодов t_i), но рост логарифмов неограничен. Подбирая начало отсчета периодов (моментов) времени, мож­но найти такую скорость снижения абсолютных изменений, ко­торая наилучшим образом отвечает фактическому временному ряду.

Примером тенденций, соответствующих логарифмическому тренду, может служить динамика рекордных достижений в спорте: известно, что увеличение на 1 см рекорда прыжка в вы­соту или снижение на 0,1 с времени бега на 200 или 400 м требует все больших и больших затрат времени, каждый рекорд дается все большим и большим трудом. В то же время нет и «вечных» рекордов, все спортивные достижения улучшаются, но медлен­нее и медленнее, т.е. по логарифмическому тренду. Нередко та­кой же характер динамики присущ на отдельных этапах развития динамике урожайности или валового сбора какой-то культуры в данном регионе, пока новое агротехническое достижение не при­даст снова тенденции ускорения, что иллюстрирует рис. 4.5.

Рис. 4.5. Динамика валового сбора чая в Китае

Конечно, характер тенденции маскируется колебаниями, но видно, что рост валового сбора замедляется. Это показывают и средние уровни сбора чая:

за 1978-1983 гг. средний сбор равен 333 тыс. т;

за 1984-1989 гг. средний сбор равен 483 тыс. т, рост на 150 тыс. т;

за 1990-1994 гг. средний сбор равен 566 тыс. т, рост на 83 тыс. т.

На рис. 4.5 для убедительности нанесен и логарифмический тренд. Заметны также 5-6-летние циклические колебания валового сбора чая.

Основные свойства логарифмического тренда:

1. Если b>0, то уровни возрастают, но с замедлением, а если b<0, то уровни тренда уменьшаются, тоже с замедлением.

2. Абсолютные изменения уровней по модулю всегда умень­шаются со временем.

3. Ускорения абсолютных изменений имеют знак, противо­положный самим абсолютным изменениям, а по модулю посте­пенно уменьшаются.

4. Темпы изменения (цепные) постепенно приближаются к 100% при t.

Можно сделать общий вывод о том, что логарифмический тренд отражает, так же как и гиперболический тренд, посте­пенно затухающий процесс изменений. Различие состоит в том, что затухание по гиперболе происходит быстро при приближе­нии к конечному пределу, а при логарифмическом тренде зату­хающий процесс продолжается без ограничения гораздо медленнее.

4.6. Логистический тренд и его свойства

Логистическая форма тренда подходит для описания такого процесса, при котором изучаемый показатель проходит полный цикл развития, начиная, как правило, от нулевого уровня, сна­чала медленно, но с ускорением возрастая, затем ускорение ста­новится нулевым в середине цикла, т.е. рост происходит по линейному тренду, затем, в завершающей части цикла, рост за­медляется по гиперболе по мере приближения к предельному значению показателя.

Примером такого цикла динамики может служить измене­ние доли грамотного населения в стране, например в России, с 1800 г. до наших дней, или изменение доли семей, имеющих те­левизоры, примерно с 1945 до 2000 г. в России, доли жилищ в городах, имеющих горячее водоснабжение или центральное ото­пление (процесс, еще не законченный). В некоторых зарубеж­ных программах для компьютеров логистическая кривая называется S-образной кривой.

Можно, конечно, логистическую тенденцию считать объе­динением трех разных по типу тенденций: параболической с ускоряющимся ростом на первом этапе, линейной - на вто­ром и гиперболической с замедляющимся ростом - на третьем этапе. Но есть доводы и в пользу рассмотрения всего цикла развития как особого единого типа тенденции со сложными, переменными свойствами, но постоянным направлением из­менений в сторону увеличения уровней в рассмотренных нами примерах или уменьшения уровней, если взять противополож­ный процесс - сокращение доли неграмотных среди населе­ния, доли жилищ, не оборудованных газоснабжением или центральным отоплением, и т.д.

Рассмотрение таких временных рядов, как проявление еди­ной логистической тенденции, позволяет уже на первом этапе рассчитать всю траекторию развития, определить сроки пере­хода от ускоренного роста к замедленному, что чрезвычайно важно при планировании производства или реализации нового вида товара, спрос на который будет проходить все этапы логи­стической тенденции вплоть до насыщения рынка. Так, напри­мер, обеспеченность населения в России автомобилями в конце 1980-х годов находилась на начальном этапе логистической кри­вой, и это означало, что предстоит еще ряд лет или даже десяти­летий ускоренного роста спроса. В то же время обеспеченность фотоаппаратами уже достигла этапа замедления роста и это означало, что расширять производство или импорт прежних типов фотоаппаратов не следует. Расширение их рынка возмож­но было только для принципиально новых типов фотоаппара­тов, насыщенность которыми еще находится в самом начале первого этапа.

В вышеописанном диапазоне изменения уровней, т.е. от нуля до единицы, уравнение логистического тренда имеет вид:

При а₀>0, а₁<0 с ростом номеров периодов времени t_i полу­чаем логистическую тенденцию роста уровней, причем если нужно начать рост почти от нулевой величины, то а₀ должно быть примерно равно 10, тогда при t = 1= 0,000123 . Чембольше модуль а₁, тем быстрее будут возрастать уровни. При а₀<0, а₁>0 имеем логистический тренд со снижением уровней, причем, если снижение должно начаться почти от единицы, то а₀ должно быть примерно равно -10. Чем больше а₁ , тем быст­рее будут снижаться уровни, например, при а₀ = -10; а₁ = 1, уже при t_i = 20 уровни снизятся почти до нуля.

Если же диапазон изменения уровней ограничен не нулем и единицей, а любыми значениями, определяемыми исходя из су­щества задачи, обозначаемыми у_max и у_min,, то формула логис­тического тренда принимает вид:

Таблица 4.8