Показатели динамики при параболическом тренде,

когда b>0, c>0: _i = 100 + 20t + 2t²

Номер периода ti	Уровень i	Абсолютное изменение	Цепные темпы, % к предыдущему периоду	Ускоре­ние
1	122	+22	122,0	-
2	148	+26	121,3	+4
3	178	+30	120,3	+4
4	212	+34	119,1	+4
5	250	+38	117,9	+4
6	292	+42	116,8	+4

Таблица 4.4

Показатели динамики при параболическом тренде,

когда b<0, c<0: _i = 200 - 20t - 2t²

Номер периода ti	Уровень i	Абсолютные изменения	Цепные темпы, % к предыдущему периоду	Уско- рение	Цепное относи­тельное измене- ние, % к преды- дущему периоду
1	178	-22	89,0	-	-11,0
2	152	-26	85,4	-4	-14,6
3	122	-30	80,3	-4	-19,7
4	88	-34	72,1	-4	-27,9
5	50	-38	56,8	-4	-43,2
6	8	-42	16,0	-4	-84,0

В тех случаях, когда по существу изучаемого процесса до­пустимо считать единым трендом обе ветви параболы, пред­ставляет большой интерес решение задачи о нахождении того периода или момента времени, когда уровень тренда достигает максимума (когда b>0, с<0) или минимума (если b<0, с>0). Эк­стремальная точка параболы = а+bt+сt² достигается при ну­левом значении первой производной:

Из равенства b + 2ct = 0 имеем: t =.

Например, если = 100 + 20t - 2t² , то максимум парабола имеет при t == 5.

Максимальное значение уровня тренда при t = 5 составит:

Если имеем параболу при b<0, а с>0, например: _i = 200 - 20t + 2t² , то минимальное значение тренда достигается при t === 5, и это минимальное значение составит: _min = 200–20∙5+ 2∙5² =150.

4.3. Экспоненциальный тренд и его свойства

Экспоненциальным трендом называют тренд, выраженный уравнением: _i = a ∙ k^t_i или в форме: _i = ехр[ln а + ln k ∙ t_i]. Свобод­ный член экспоненты а равен выровненному уровню, т.е. уров­ню тренда в момент или период, принятый за начало отсчета времени, т.е. при t=0. Основной параметр экспоненциального тренда k является постоянным темпом изменения уровней (цеп­ным). Если k>1, имеем тренд с возрастающими уровнями, при­чем это возрастание не просто ускоренное, а с возрастающим ускорением и возрастающими производными всех более высо­ких порядков. Если k<1, то имеем тренд, выражающий тенден­цию постоянного, но замедляющегося сокращения уровней, причем замедление непрерывно усиливается. Экстремума экс­понента не имеет и при tстремится либо кприk>1, либо к 0 при k<1.

Экспоненциальный тренд характерен для процессов, разви­вающихся в среде, не создающей никаких ограничений для рос­та уровня. Из этого следует, что на практике он может развиваться только на ограниченном промежутке времени, так как любая среда рано или поздно создает ограничения, любые ресурсы со временем исчерпаемы. Однако практика показала, что, например, численность населения Земли на протяжении 1950-1985 гг. возрастала примерно по экспоненте со среднего­довым темпом роста k1,018 и за это время возросла вдвое - с 2,5 до 5 млрд. чел. (рис. 4.3). В настоящее время темп роста насе­ления постепенно уменьшается.

Экспоненциальный рост объема реализации и производства происходит при возникновении новых видов продукции и их освоении промышленностью: при появлении цветных телеви­зоров, видеомагнитофонов, пейджеров и т.п., но когда произ­водство начинает наполнять рынок, приближаться к спросу, экспоненциальный рост прекращается.

Рис. 4.3. Рост народонаселения Земли

Основные свойства экспоненциального тренда:

1. Абсолютные изменения уровней тренда пропорциональ­ны самим уровням.

2. Экспонента экстремумов не имеет: при k>1 тренд стремит­ся к +, приk<1 тренд стремится к нулю.

3. Уровни тренда представляют собой геометрическую про­грессию: уровень периода с номером t = m есть a ∙ k^m.

4. При k>1 тренд отражает ускоряющийся неравномерно рост уровней, при k<1 тренд отражает замедляющееся неравномерно уменьшение уровней. Поведение основных показателей дина­мики в этих случаях рассмотрено в табл. 4.5 и 4.6.

В табл. 4.5 и 4.6 в последней графе приведены редко приме­няемые показатели динамики III порядка: ускорение (или при­рост) ускорения и замедление ускорения. Эти абсолютные показатели даны для наглядного пояснения главного отличия экспоненциального тренда от парабол любого порядка: экспо­нента не имеет постоянных производных любого порядка по времени. Постоянен только цепной темп изменения.

Таблица 4.5

Экспоненциальный тренд при k>1: _i = 100 ∙ 1,2^t

Номер периода ti	Уровень i	Абсолют­ные изменения (цепные)	Цепные темпы, % к предыдущему периоду	Уско- рение	Прирост ускорения к предыдущему периоду
1	120,00	+20,00	120	-	-
2	144,00	+24,00	120	+4,00	-
3	172,80	+28,80	120	+4,80	+0,80
4	207,36	+34,56	120	+4,76	+0,96
5	248,83	+41,47	120	+6,81	+ 1,15
6	298,60	+49,77	120	+8,30	+ 1,39

Таблица 4.6

Экспоненциальный тренд при k<1: _i = 200 ∙ 0,8^t

Номер периода ti	Уровень i	Абсолют­ные изменения (цепные)	Цепные темпы, % к предыдущему периоду	Уско- рение	Замедление ускорения
1	160,00	-40,00	80	-	-
2	128,00	-32,00	80	+8,00	-
3	102,40	-25,60	80	+6,40	-1,60
4	81,92	-20,48	80	+5,12	-1,28
5	65,54	-16,38	80	+4,10	-1,02
6	52,43	-13,11	80	+3,27	-0,83

Читатель может заинтересоваться и таким вопросом: как на­звать тенденцию динамики, при которой и темп изменения был бы непостоянен, а имел постоянное абсолютное или относи­тельное изменение, например, уравнение типа _i = а(k + bt_i)^t_i или _i = аk и т.д. Подобные «гиперэкспоненты» не применяются статистикой, ибо любой, сколь угодно быстрый, сколь угодно ускоряющийся рост может быть отображен обычной экспонентой, - стоит лишь уменьшить период, за который происходит возрастание (или сокращение) уровней в k раз. По своему суще­ству экспоненциальное развитие процесса и есть предельно воз­можное, предельно благоприятное по условиям развития, так как оно осуществляется в среде, не ограничивающей развитие данного процесса. Но следует помнить, что это происходит толь­ко до определенного времени, так как каждая среда, каждый ре­сурс в природе ограничен. Единственный спорный в науке процесс, по которому до сих пор нет доказательства ограничен­ности его во времени, - это экспоненциальное замедляющееся расширение Вселенной. Ограничено ли оно и сменится ли со временем сжатием или будет продолжаться бесконечно, зави­сит от значения средней плотности вещества и излучения во Вселенной, которую пока науке установить не удалось, ибо не все формы существования вещества и полей науке извест­ны. Зато интересно знать, что самый фундаментальный про­цесс, охватывающий всю известную Вселенную, уже по крайней мере 12-15 млрд. лет развивается по экспоненте.