- •Лекция 1
- •Введение
- •Метрические пространства. Определения и примеры
- •Лекция 2
- •Непрерывные отображения метрических пространств
- •Сходимость
- •Лекция 3
- •Замыкание
- •Замкнутые множества
- •Лекция 4
- •Открытые множества
- •Полные метрические пространства
- •Лекция 5
- •Теорема о вложенных шарах
- •Плотные подмножества. Теорема Бэра
- •Лекция 6
- •Полнота и разрешимость уравнений
- •Пополнение пространства
- •Лекция 7
- •Принцип сжимающих отображений
- •Применение принципа сжимающих отображений к интегральным уравнениям
- •Раздел II: Линейные метрические пространства и функционалы
- •Лекция 8
- •Нормированные пространства
- •Евклидовы пространства
- •Лекция 9
- •Ортогональные системы. Теорема об ортогонализации
- •Коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя
- •Лекция 10
- •Теорема об изоморфизме
- •Подпространства, ортогональные дополнения
- •Лекция 11
- •Функционалы: основные определения и примеры
- •Компактность и полная ограниченность
- •Лекция 12
- •Свойства непрерывных линейных функционалов
- •Лекция 13
- •Сопряженное пространство
- •Теорема об общем виде непрерывного линейного функционала на полном евклидовом пространстве
- •Лекция 14
- •Второе сопряженное пространство
- •Слабая сходимость
- •Лекция 15
- •Обобщенные функции
- •Производная обобщенной функции
- •Лекция 16
- •Дифференциальные уравнения в классе обобщенных функций
- •Лекция 17
- •Обобщенные функции нескольких переменных
- •Свертка обобщенных функций
- •Раздел III: Линейные операторы в пространствах Банаха
- •Лекция 18
- •Линейные операторы: основные определения
- •Норма оператора
- •Лекция 19
- •Пространство ограниченных линейных операторов
- •Компактные операторы
- •Лекция 20
- •Принцип равномерной ограниченности
- •Лекция 21
- •Замкнутые операторы
- •Теорема о замкнутом графике
- •Лекция 22
- •Сопряженный оператор
- •Операторные уравнения
- •Обратный оператор
- •Лекция 23
- •Непрерывная обратимость
- •Достаточные условия непрерывной обратимости
- •Лекция 24
- •Спектр оператора. Резольвента
- •Спектр компактного оператора
- •Раздел IV: Операторные уравнения в пространствах Гильберта
- •Лекция 25
- •Продолжение линейного непрерывного оператора на пополнение. Пространство Лебега
- •Множества меры нуль. Сходимость почти всюду
- •Лекция 26
- •Функции, интегрируемые по Лебегу
- •Основные свойства интеграла Лебега
- •Кратный интеграл Лебега
- •Лекция 27
- •Сопряженный оператор. Случай евклидовых пространств
- •Самосопряженные операторы
- •Лекция 28
- •Собственные значения самосопряженных операторов
- •Лекция 29
- •Базисы со свойством двойной ортогональности
- •Лекция 30
- •Теорема об итерациях операторов
- •Условия разрешимости уравнений первого рода
- •Лекция 31
- •Операторные уравнения второго рода
- •Теоремы Фредгольма
- •Лекция 32
- •Замечания к теоремам Фредгольма
- •Следствия из теорем Фредгольма
- •Лекция 33
- •Линейные интегральные уравнения второго рода
- •Лекция 34
- •Уравнения с вырожденными ядрами
- •Уравнения Вольтерра
- •Заключительные замечания
- •Список литературы
65
2.2Лекция 9
2.2.1Ортогональные системы. Теорема об ортогонализации
Наличие скалярного произведения позволяет ввести в евклидовом пространстве L не только длину вектора (т.е. норму), но и угол между векторами.
Определение 2.2.1. Число 0 ,
(x; y)
= arccos ; 0 ; kxkkyk
называется углом между векторами x; y 2 L.
В частности, если (x; y) = 0, то = =2.
Определение 2.2.2. Вектора x и y называются ортогональными, если (x; y) = 0. Система ненулевых векторов fx g из L
называется ортогональной, если (x ; x ) = 0 при 6= . Ортогональная система называется ортонормированной, если kx k = 1.
Очевидно, если fx g – ортогональная система векторов, то си-
стема f x g – ортонормирована.
kx k
Предложение 2.2.1. Если система векторов fx g из L ортогональна, то она линейно независима.
Доказательство. В самом деле, если Pnj=1 c j x j = 0, то в силу ортогональности системы мы имеем
0 |
|
|
n |
1 |
|
|
@ |
x k |
; |
Xj |
A |
= c kkx kk2 = 0: |
|
|
c j x j |
|
||||
|
|
|
=1 |
|
|
|
Поскольку kx kk 6= 0, то c k |
= 0 для всех 1 k n. |
|
66
Определение 2.2.3. Система векторов fx g L называется
полной, если L(fx g) = L.
Определение 2.2.4. Система векторов fx g L называется
ортогональным базисом, если она ортогональна и полна.
Пример 2.2.1. Пространство Rn2 со скалярным произведением
n
X
(x; y) = xjyj
j=1
является евклидовым. Один из ортонормированных базисов в нем образуют вектора ej, 1 j n (см. пример 2.1.7).
Пример 2.2.2. Пространство l2 со скалярным произведением
1
X
(x; y) = xjyj
j=1
является евклидовым. Один из ортонормированных базисов в нем
образуют вектора ej, j 2 N (см. пример 2.1.8). Ортонормированность этой системы очевидна. Вместе с тем она и полна: пусть x = (x1; : : : ; xn; : : : ) 2 l2 и x(k) = (x1; : : : ; xk; 0; 0 : : : ) 2 l2. Тогда x(k) есть линейная комбинация векторов e1; : : : ; ek и
(x(k); x) = kx(k) xk ! 0 при k ! 1.
Пример 2.2.3. Пространство C2[a; b] со скалярным произведением
b |
|
(x; y) = Z |
x(t)y(t) dt |
a
67
является евклидовым. Как известно из курса математического ана-
лиза, один из ортонормированных базисов в нем образуют вектора
1 |
|
1 |
|
2 nt |
1 |
|
2 nt |
||
|
; |
|
cos |
|
; |
|
sin |
|
; n 2 N: |
|
|
|
|
|
|||||
2 2 |
b a 2 b a |
Поскольку метод координат был очень плодотворен для изучения конечномерных пространств, важно ответить на вопрос о существовании ортогонального базиса в евклидовом пространстве. Мы ограничимся рассмотрением достаточно широкого класса сепарабельных евклидовых пространств.
Предложение 2.2.2. Пусть L – сепарабельное евклидово пространство. Тогда всякая ортогональная система в нем не более чем счетна.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, p
что fx g – ортонормированная система. Тогда kx x k = 2
при 6= и шары B(x ; 1=2) не пересекаются. Если счетное множество fy g всюду плотно в L, то в каждом таком шаре есть по крайней мере один элемент из fy g. Следовательно, число таких шаров (а значит, и элементов x ) не более чем счетно.
Теорема 2.2.1. (Теорема об ортогонализации) Пусть ffngn2N – линейно независимая система элементов в сепарабельном евклидовом пространстве L. Тогда в L существует система элементов f ngn2N, удовлетворяющая следующим условиям:
1)ортонормированность;
2)каждый элемент n есть конечная линейная комбинация
элементов f1; : : : ; fn:
n
X
n = anjfj; (ann 6= 0); j=1
68
3) каждый элемент fn есть конечная линейная комбинация элементов 1; : : : ; n:
n
X
fn = bnj j; (bnn 6= 0): j=1
Каждый элемент системы f ngn2N определяется условиями 1) – 3) однозначно с точностью до множителя 1.
Доказательство. Элемент 1 ищется в виде 1 = a11f1; при этом a11 определяется из условия ( 1; 1) = a211(f1; f1) = 1,
1 |
|
|
1 |
||
откуда a11 = |
b11 |
= |
p |
|
. |
(f1;f1) |
Ясно, что 1 определяется этим однозначно (с точностью до знака). Пусть элементы k (k < n), удовлетворяющие условиям 1) – 3), уже построены. Тогда положим
n 1
X
hn = fn bnj j; j=1
где коэффициенты bnk выбраны так, что (hn; k) = 0 при k < n. Именно, в силу ортогональности системы f kgnk=11 мы получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = (hn; k) = (fn bnj j; k) = (fn; k) bnk( k; k); |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. bnk = |
|
(fn; k) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
( k; k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Заметим, что (hn; hn) > 0. В самом деле, если (hn; hn) = 0, то |
||||||||||||||||||||
hn = 0, а значит, fn = |
|
n 1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
j=1 bnj j = |
|
j=1 cnjfj по условию 2), |
|||||||||||||||||||
что противоречит |
линейной независимости системы |
f |
f |
ng |
. Положим |
|||||||||||||||||
|
P |
|
P |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
hn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n = |
p |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(hn;hn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Из индуктивного построения ясно, что hn, а значит, и n, вы- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
ражаются |
|
через f1; : : : ; fn, т.е. n = |
|
jn=1 anjfj, |
где ann |
= |
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
= 0. Кроме |
того, система |
|
n |
|
ортонормирована, |
и |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
p(hn;hn) |
6 |
|
|
|
|
|
f |
|
g |
|
|
|
|
|
|
|