196

4.2Лекция 26

4.2.1Функции, интегрируемые по Лебегу

Сейчас мы докажем теоремы, позволяющие установить однозначное соответствие между элементами пространства L1[a; b] и некоторыми классами эквивалентных (относительно равенства почти всюду) функций.

В следующей теореме доказывается, что предельные функции эквивалентных последовательностей из Le1[a; b] совпадают почти всюду.

Теорема 4.2.1. Если x = [fxng] = [fyng] 2 L1[a; b] и, при

п.в. п.в.

n ! 1, xn ! x0(t), yn ! y0(t), то x0(t) y0(t).

Доказательство. По условию, jjxn ynjjL1 ! 0; n ! 1, поэтому существует подпоследовательность fxnпk.в. ynkg, (см. следствие 4.1.2), для которой limk!1(xnk ynk) = 0. Значит,

п.в.

y0(t) = lim yn

n!1

п.в. lim xnk(t) =

k!1

п.в.	п.в.
(t) =	lim ynk(t) =
	k!1

п.в.

lim xn(t) = x0(t):

n!1

Тем самым, мы получаем корректно определенное отображение из пространства L1[a; b] в множество классов эквивалентных (относительно равенства почти всюду) функций на [a; b]. Следующая теорема утверждает, что это отображение инъективно.

Теорема 4.2.2. Пусть x = [fxng] и y = [fyng] две точки

из L1[a; b]. Если при n ! 1	п.в.	п.в.
	xn ! x0	и yn ! x0, то x = y.

197

Доказательство. Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что последовательности fxng и fyng состоят из многочленов. С помощью оценок, наподобие тех, что были исполь-

зованы в доказательстве теоремы 4.1.2, докажем,	что jj(xn
yn)jjL1 ! 0 при n ! 1. Детали см. [2, с. 85–87].

Определение 4.2.1. Функция x(t) называется интегрируемой по Лебегу на отрезке [a; b], если существует фундаментальная в ин-

тегральной норме пространства L1[a; b] последовательность непре-

п.в.

рывных функций fxn(t)g такая, что xn ! x(t) при n ! 1. В этом случае интегралом Лебега функции x(t) по отрезку [a; b]

называется limn!1 Rab xn(t) dt.

Доказанные ранее теоремы мы теперь можем переформулировать следующим образом:

Пространство Лебега L1[a; b] изометрично факторпространству пространства интегрируемых по Лебегу на [a; b]

функций по отношению эквивалентности “равны почти всюду”.

Понятие интеграла Лебега позволяет существенно расширить понятие длины множества и определить меру Лебега множества на прямой, играющую важную роль не только в функциональном анализе и теории функций, но и в теории вероятностей.

Определение 4.2.2. Подмножество A отрезка [a; b] называется измеримым, если характеристическая функция A множества

A, равная 1 в точках из A и 0 в точках, не принадлежащих A, интегрируема по Лебегу. В этом случае, мерой Лебега множества A

называется интеграл по [a; b] от характеристической функции A.

Легко доказать, что если функция интегрируема по Риману, то она интегрируема по Лебегу и интеграл Лебега от нее равен интегра-

198

лу Римана, поэтому мы в дальнейшем все встречающиеся интегралы будем понимать как интегралы Лебега.

Пример 4.2.1. Если функция равна нулю почти всюду, то она интегрируема по Лебегу и интеграл Лебега от нее равен нулю. Например, хорошо известно, что функция Дирихле (см. пример 4.1.2) не интегрируема по Риману, но по Лебегу она интегрируема (так как равна нулю почти всюду) и интеграл от нее равен нулю.

4.2.2Основные свойства интеграла Лебега

Так как интеграл Лебега расширяет понятие интеграла Римана, то все хорошо известные свойства интеграла Римана остаются справедливыми и для интеграла Лебега. Для полноты картины в следующем предложении мы перечислим эти свойства.

Предложение 4.2.1. 1) Если x1(t), x2(t) 2 L1[a; b], то для любых чисел и x1 + x2 2 L1[a; b] и

Z b Z b Z b

x1 + x2 dt = x1 dt + x2 dt:

a a a

2) Если x(t) 2 L1[a; b], то jx(t)j 2 L1[a; b] и

Z b

Z b

x(t) dt jx(t)j dt:

a

a

3) Если x1(t), x2(t) 2 L1[a; b] и x1(t) x2(t) почти всюду,

то

Z b Z b

x1(t) dt x2(t) dt:

a a

4) Если x(t) 2 L1[a; b], x(t) 0 и Rab x(t) dt = 0, то x(t) = 0 почти всюду.

x+(t) :=

x (t) :=

199

5) Если x1(t) 2 L1[a; b], x2(t) 2 L1[a; b], то maxfx1(t); x2(t)g 2 L1[a; b] и minfx1(t); x2(t)g 2 L1[a; b].

Докажем свойство 5). Доказательство остальных свойств оставляем в качестве несложного упражнения.

Для заданной функции x(t) определим ее положительную и отрицательную части следующим образом:

(

x(t); если x(t) 0,

0; если x(t) < 0,

(

0; если x(t) > 0, x(t); если x(t) 0.

Ясно, что x+(t) = (jx(t)j+ x(t))=2 и x (t) = (jx(t)j x(t))=2, поэтому по свойствам 1) и 2) x+(t) 2 L1[a; b] и x (t) 2 L1[a; b]. Доказываемое утверждение теперь следует из формул

maxfx1(t); x2(t)g = (x1(t) x2(t))+ + x2(t); minfx1(t); x2(t)g = maxf x1(t); x2(t)g:

Следующая теорема обобщает 4.1.2. Ее несложное доказательство мы оставляем в качестве упражнения (см. также [2], с. 92).

Теорема 4.2.3. Если fxn(t)g L1[a; b] и jjxn(t) x(t)jjL1 !

0 при n ! 1, то существует подпоследовательность fxnk(t)g

п.в.

такая, что xnk(t) ! x(t) при k ! 1.

Теорема 4.2.4. (Теорема Беппо Леви о монотонной сходимости) Если fxn(t)g неубывающая последовательность интегрируемых по Лебегу функций, причем интегралы от xn(t) рав-

200

номерно ограничены, ab xn(t) dt C, то xn(t) почти всюду схо-

дится к	интегрируемой по Лебегу функции x(t) и
	R
	n!1 Za	b	n( )		=	b
		x		dt		Za
	lim		t			x(t) dt:

Доказательство. Из свойства 3) предложения 4.2.1 и условия

теоремы следует, что последовательность интегралов fRab xn(t) dtg

сходится, как монотонная, ограниченная сверху числовая последо-

вательность. А так как для любого p 1, xn+p(t) xn(t) 0, то Rab jxn+p(t) xn(t)j dt ! 0; n ! 1, то есть, fxn(t)g ф.п. в L1[a; b]. Но L1[a; b] полно, значит, найдется x0(t) 2 L1[a; b] такая, что xn(t) ! x0(t) в L1[a; b]. Следовательно, по теореме

4.2.3 существует сходящаяся почти всюду подпоследовательность

п.в.

xnk(t) ! x0(t). Утверждение теоремы теперь легко следует из простого факта: если сходится подпоследовательность монотонной

последовательности, то сходится и сама последовательность.
	Следствие 4.2.1. Пусть fxn(t)g				2 L1[a; b] такая
невозрастающая последовательность, что найдется K такой,
x(t)		L1[a; b]	R: xn(t) п.в.	x(t) при n		и	ab x(t) dt =
что для всех n;			ab xn(t) dt	K, тогда существует функция
limn!1 Rab xn(t) dt.					! 1		R
	2		!

Теорема 4.2.5. (теорема Лебега об ограниченной схо-

димости) Пусть xn(t) последовательность интегрируемых по Лебегу функций и jxn(t)j y(t), где y(t) 2 L1[a; b]. Если

п.в.	R	b
xn(t) ! x(t) при n ! 1, то x(t) 2 L1[a; b] и		a x(t) dt =
limn!1 Rab xn(t) dt.
Доказательство. Положим

'n(t) = inffxn(t); xn+1(t); : : :g = lim minfxn(t); xn+1(t); : : : ; xn+k(t)g:

k!1

201

По следствию из теоремы Беппо Леви и свойству 5) предложения 4.2.1 'n(t) 2 L1[a; b]. Далее, 1) f'n(t)g не убывает; 2) 'n(t) xn(t) и 3) j'n(t)j y(t) 2 L1[a; b].

Аналогичными свойствами обладает последовательность

n(t) = supfxn(t); xn+1(t); : : :g;

то есть, 1) f n(t)g не возрастает; 2) xn(t) n(t); 3) j n(t)j y(t) 2 L1[a; b].

Пусть теперь xn(t0) ! x(t0); n ! 1, тогда для всех " > 0 существует N такой, что для любого n > N,

x(t0) " < xn(t0) < x(t0) + ";

поэтому

x(t0) "

n(t0) =

sup

fxk(t0)g x(t0) + ";

k n>N

x(t

)

"

'

(t

) =

k

inf

x

t

x t

0) +

":

0

n

0

n>Nf

k( 0)g

(

Следовательно,

п.в.

п.в.

п.в.

lim xn(t):

lim 'n(t) = lim

n(t) = x(t) =

n!1

n!1

n!1

Значит, по теореме Беппо Леви

n!1 Za

b

n

b

n(

)

=

b

(t) dt =

n!1 Za

dt

Za

lim

'

lim

t

x(t) dt;

а так как

Zab 'n(t) dt Zab xn(t) dt Zab

n(t) dt;

то limn!1 Rab xn(t) dt = Rab x(t) dt

Следствие 4.2.2. (Теорема Фату) Пусть xn(t) последовательность интегрируемых по Лебегу, неотрицательных на [a; b]